Сборник задач по физике (часть 2)


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
САМАРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕСИТЕТ
Кафедра ОФиФНГП
сборник задач по физике
и примеры их решения
ЧАСТЬ
Самара 2015
ББК 22.5
УДК 530.1
УДК 535.(075.8)
Авторы: Т. Н. Голованова, А. М. Штеренберг
Сборник задач по физике и примеры их решения. Часть II /Голованова Т. Н., Штеренберг А. М. – Самара: Самар. гос. техн. ун-т, 2015. – 70 с. ил.
Сборник содержит основные законы и формулы, необходимые для решения задач. Даны примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Пособие предназначено для студентов-заочников инженерно-технических специальностей вузов. Может быть использовано студентами дневных отделений вузов.
Ил. 18. Табл. 2. Библиогр.: 7 назв.
Печатается по решению редакционно-издательского совета СамГТУ
ПРЕДИСЛОВИЕ
Сборник содержит основные законы и формулы, необходимые для решения задач. Даны примеры решения типовых задач и задачи для самостоятельного решения. Числовые данные приведены с учетом точности соответствующих величин и правил действия над приближенными числами.
Учебное пособие предназначено для оказания помощи студентам-заочникам инженерно-технических специальностей вузов при изучении курса общей физики. Может быть полезным для студентов дневных отделений вузов. Пособие составлено в соответствии с действующей программой по курсу физики для технических университетов.
Даны две таблицы вариантов контрольных работ по электродинамике с волновой оптикой (контрольная работа № 3) и квантовой оптике с атомной и ядерной физикой (контрольная работа №4). Таблицы содержат варианты для специальностей, учебными планами которых, предусмотрено по курсу физики четыре контрольных работы. Кроме того, в пособии даны методические указания к решению задач и выполнению контрольных работ, а также, справочные материалы.
программа курса физики
для инженерно -технических специальностей заочного отделения вуза
Часть II
ЭЛЕКТРОДИНАМИКА
Сила и плотность электрического тока. Закон Ома для однородного участка цепи в дифференциальной и интегральной форме. Электродвижущая сила и напряжение. Закон Ома для неоднородного участка цепи в дифференциальной и интегральной форме. Правила Кирхгофа. Закон Джоуля – Ленца.
Индукция магнитного поля. Сила Лоренца и сила Ампера. Закон Био – Савара. Контур с током в магнитном поле. Магнитный момент. Теорема Гаусса для магнитного поля. Работа при перемещении проводника стоком в магнитном поле. Молекулярные токи. Намагниченность. Напряженность магнитного поля. Пара- и диамагнетики. Ферромагнетики. Магнитный гистерезис.
Явление и закон электромагнитной индукции. Правило Ленца. Явление самоиндукции. Индуктивность. Энергия магнитного поля. Ток смещения. Система уравнений Максвелла.
Колебательный контур. Свободные незатухающие и затухающие колебания. Логарифмический декремент затухания. Вынужденные незатухающие колебания. Резонанс напряжения. Переменный электрический ток. Мощность переменного тока. Электромагнитные волны, их свойства. Энергия электромагнитных волн.
Волновая и квантовая оптика
Интерференция света. Условия интерференции. Интерференция от двух линейных когерентных источников света и в тонких пленках. Дифракция света. Принцип Гюйгенса – Френеля. Метод зон Френеля. Дифракция Френеля на круглом отверстии и диске. Дифракция Фраунгофера на одной щели и дифракционной решетке. Поляризация света. Естественный и поляризованный свет. Поляризация света при отражении и преломлении. Закон Брюстера. Двойное лучепреломление. Поляроиды и поляризационные призмы. Закон Малюса. Дисперсия света. Области нормальной и аномальной дисперсии. Фазовая и групповая скорости.
Тепловое излучение, его характеристики. Законы Кирхгофа и Стефана – Больцмана. Закон смещения Вина. Квантовая гипотеза и формула Планка. Внешний фотоэффект и его законы. Уравнение Эйнштейна для внешнего фотоэффекта. Фотоны. Энергия, импульс и масса фотона. Эффект Комптона. Давление света.
Атомная И Ядерная физика
Постулаты Бора. Теория Бора для атома водорода. Гипотеза и формула де Бройля. Соотношения неопределенностей. Волновая функция и ее статистический смысл. Уравнение Шредингера для стационарных состояний. Свободная частица. Туннельный эффект. Частица в одномерной, прямоугольной, бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии и импульса частицы. Линейный гармонический осциллятор. Атом водорода. Главное, орбитальное и магнитное квантовые числа. Опыт Штерна и Герлаха. Спин электрона. Спиновое квантовое число. Фермионы и бозоны. Принцип Паули. Распределение электронов в атоме по состояниям. Спектры атомов и молекул. Поглощение, спонтанное и вынужденное излучения. Понятие о лазерах.
Состав ядра. Нуклоны. Заряд, масса и размеры атомного ядра. Массовое и зарядовое числа. Момент импульса и магнитный момент ядра. Свойства и природа ядерных сил. Дефект масс и энергия связи ядра. Закономерности и происхождение α-, β-и γ-излучений атомных ядер. Ядерные реакции и законы сохранения. Реакция деления ядер.
Цепная ядерная реакция. Понятие о ядерной энергетике. Термоядерная реакция. Элементарные частицы, их классификация и взаимопревращаемость. Фундаментальные взаимодействия.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Детлаф А. А., Яворский Б. М. Курс физики: учеб. пособие / А. А. Детлаф Б. М. Яворский. – М.: Академия, 2003. – 720 с.: ил.
2. Иродов И. Е. Электромагнетизм. Основные законы: / И. Е. Иродов. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. – 320 с.: ил.
3. Иродов И. Е. Квантовая физика. Основные законы: – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002 – 272 с.: ил.
4. Савельев И.В. Курс общей физики: кн. 2: Электричество и магнетизм: учеб. пособие /И.В. Савельев.– М.: Астрель, 2004. – 254с.
5. Савельев И. В. Курс общей физики: кн. 4: Волны. Оптика: учеб. пособие / И. В. Савельев. – М.: Астрель, 2002. – 256 с.: ил.
6. Савельев И. В. Курс общей физики: кн. 5: Квантовая оптика. Атомная физика. Физика твердого тела. Физика атомного ядра и элементарных частиц: учеб. пособие / И. В. Савельев. – М.: Астрель, 2002. – 368 с.: ил.
7. Волькенштейн В. С. Сборник задач по общему курсу физики. Изд. 3-е, исп. и доп. – СПб.: Книжный мир, 2005. – 328 с.
Контрольная работа №3
Электродинамика. волновая оптика
Основные формулы
Электродинамика
1. Сила электрического тока
, (1Ф)
где dq – элементарный заряд, переносимый через поперечное сечение проводника за время dt. Для постоянного тока
(2Ф)
2. Плотность тока
, (3Ф)
где S – площадь поперечного сечения проводника; q0 – заряд частицы (например, электрона); n – концентрация частиц; <v> – средняя скорость упорядоченного движения частиц.
3. Закон Ома для:
а) однородного участка цепи (не содержащего э. д. с.)
, (4Ф)
где – U = φ1 – φ2 – напряжение или разность потенциалов на концах участка цепи; R – сопротивление участка цепи;
б) неоднородного участка цепи (содержащего э. д. с.)
I = (φ1 – φ2 + E )/R12, (5Ф)
где E – э. д. с. источника тока; R12 – полное сопротивление участка цепи (сумма внешнего сопротивления R и внутреннего сопротивления r источника тока R12 = R + r).
4. Электрическое сопротивление проводника
, (6Ф)
где ρ – удельное сопротивление, зависит от материала проводника и его температуры; l – длина проводника; S – площадь его поперечного сечения.
5. Сопротивление системы проводников при:
а) последовательном соединении
R = ∑Ri ; (7Ф)
б) параллельном соединении
, (8Ф)
где Ri – сопротивление i – го проводника.
6. Законы Кирхгофа:
а) первый закон
∑Ii = 0. (9Ф)
Сумма токов в узле равна нулю. Условились силам токов, текущим к узлу, приписывать знак «плюс», а текущим от узла – «минус»;
б) второй закон
∑IiRi = ∑Ei. (10Ф)
Сумма произведений сил токов в отдельных участках замкнутого контура на их сопротивления равна сумме э. д. с., действующих в этом контуре.
7. Мощность тока для однородного участка цепи
Р = I2R = U2/R. (11Ф)
Первой формулой удобно пользоваться при последовательном соединении проводников, второй – при параллельном.
8. Закон Джоуля – Ленца в интегральной и дифференциальной формах:
Q = I2Rt; dQ = I2Rdt, (12Ф)
где Q – количество теплоты, выделяемой на участке цепи сопротивлением R по которому течет ток I в течении времени t.
9. Закон Био – Савара для тонкого проводника
dB = μ0Isinα4πr2dl, (13Ф)где dB – модуль магнитной индукции поля, создаваемого элементом dl проводника с током I; μ0 – магнитная постоянная, находится из таблицы; α – угол между радиус – вектором r, проведенным от элемента dl к точке, где определяется магнитное поле.
10. Магнитная индукция в центре кругового тока
B = μ0I2R , (14Ф) где R – радиус кругового витка.
11. Магнитная индукция на оси кругового тока
B = μ0IR22(R2+a2)3/2, (15Ф)где a – расстояние от центра витка до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.
12. Магнитная индукция поля бесконечно длинного прямолинейного проводника с током
B = μ0I2πa, (16Ф)где a – кратчайшее расстояние от оси проводника до точки, в которой вычисляется магнитная индукция.
13. Магнитная индукция поля соленоида
B = μμ0nl, (17Ф)где n – число витков соленоида, приходящееся на единицу его длины, μ – магнитная проницаемость.
14. Модуль силы, действующей на проводник с током, находящийся в магнитном поле (закон Ампера),
dF = IBdlsinα, (18Ф)
где α – угол между направлением тока I в проводнике и магнитной индукцией B. Это выражение справедливо для однородного магнитного поля и проводника длиной dl (элемента проводника).
15. Сила взаимодействия двух параллельных проводников с токами I1, I2F = μ0I1I22πdl, (19Ф)где d – расстояние между проводниками; l – длина проводников.
16. Сила Лоренца
F = q[vB], или F = qvBsinα, (20Ф)
где v – скорость заряженной частицы; α – угол между скоростью v и магнитной индукцией B.
17. Магнитный поток через поверхность:
а) в случае однородного поля и плоской поверхности
Ф = BScosα, или Ф = BnS, (21Ф)
где S – площадь контура; α – угол между нормалью к плоскости контура и магнитной индукцией B; Bn – проекция вектора B на нормаль к плоскости контура;
б) в случае неоднородного поля и произвольной поверхности
Ф =sBndS, (22Ф)
где интегрирование ведется по всей поверхности.
18. Работа по перемещению контура с током в магнитном поле
A = I∆Ф, (23Ф)
где ∆Ф – приращение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром.
19. Э. д. с. индукции (закон электромагнитной индукции)
Ei= –dФdt, (24Ф)где знак минус обусловлен правилом Ленца: индукционный ток нап-
равлен таким образом, чтобы своим магнитным полем препятствовать изменению магнитного поля, которое вызвало его.
20. Э. д. с. индукции в проводнике длиной l, движущемся со скоростью v в магнитном поле индукции В,
Ei = Blvsinα, (25Ф)
где В и v – модули магнитной индукции и скорости проводника; α – угол между скоростью v и магнитной индукцией В.
21. Индуктивность контура
L = ФI. (26Ф)22. Э. д. с. самоиндукции
Es= – LdIdt. (27Ф)23. Индуктивность соленоида:
L = μμ0n2V, (28Ф)
где n – число витков, приходящееся на единицу длины соленоида; V – объем соленоида.
Волновая оптика
24. Скорость света в среде
v = c/n, (29Ф)
где с – скорость света в вакууме; n – абсолютный показатель преломления среды (находятся из таблицы).
25. Оптическая разность хода интерферирующих монохроматических волн
, (30Ф)
где n1, n2 – абсолютные показатели преломления сред, в которых распространяются когерентные волны; r1, r2 – расстояния от когерентных источников до точки, где наблюдается интерференция.
26. Разность фаз световых волн
, (31Ф)
где λ – длина световой волны, распространяющейся в вакууме.
27. Условие интерференционных максимумов (максимальной интенсивности света)
, m = 0, ±1, ±2, …, (32Ф)
где m – порядок интерференции.
28. Условие интерференционных минимумов (минимальной интенсивности света)
. (33Ф)
29. Ширина интерференционной полосы (расстояние между соседними максимумами или минимумами)
, (34Ф)
где L – расстояние от линейных источников света (щелей) до экрана, где наблюдается интерференция; d – расстояние между щелями.
30. Оптическая разность хода монохроматических когерентных волн при отражении от тонкой пленки, находящейся в воздухе,
, (35Ф)
или
, (36Ф)
где n – показатель преломления пленки; d – толщина пленки; β – угол преломления света в пленке; α – угол падения.
31. Радиус светлых колец Ньютона в отраженном свете (или темных – в проходящем)
EQ (37Ф)
где m – порядок интерференции или номер кольца; R – радиус кривизны плосковыпуклой линзы
32. Радиус темных колец Ньютона в отраженном свете (или светлых – в проходящем)
rmin = mλR. (38Ф)
33. Условие дифракционных максимумов при дифракции света на дифракционной решетке (формула дифракционной решетки)
dsinφ = mλ, m = ± 1, ±2, ±3, …, (39Ф)
где d – период или постоянная решетки; φ – угол дифракции (угол между нормалью к поверхности решетки и направлением дифрагированных лучей); m – порядок дифракционного максимума или спектра. При освещении решетки белым светом число m называется порядком дифракционного спектра.
34. Закон Малюса
, (40Ф)
где I0, I – интенсивность плоско поляризованного света, вышедшего соответственно из поляризатора и анализатора; α – угол между плоскостями пропускания поляризатора и анализатора.
35. Закон преломления света
, (41Ф)
где α – угол падения; β – угол преломления; n1, n2 – абсолютные показатели преломления первой и второй сред; n21 – относительный показатель преломления второй среды относительно первой.
36. Закон Брюстера
, (42Ф)
где αБ – угол Брюстера (угол падения, при котором отраженная световая волна является полностью поляризованной, и колебания све-
тового вектора Е происходят в плоскости, перпендикулярной плоскости падения света).
37. Угол поворота плоскости поляризации монохроматического света при прохождении через оптически активное твердое вещество:
= αl, (43Ф)
где α – постоянная вращения, зависящая от природы вещества и длины волны; l – длина пути, пройденного светом в оптически активном веществе (толщина пластины, через которую проходит свет).
Примеры решения задач
Пример 1. К источнику тока с э. д. с. E=24 В и и внутренним сопротивлением r=1,0 Ом подключен нагревательный прибор, который потребляет тепловую мощность P=80 Вт. Найти силу тока в цепи и к. п. д. η источника тока.
Решение
E = 24 В,
r = 1,0 Ом,
P = 80 Вт.
I = ? η = ?
Силу тока выразим по закону Ома для замкнутой цепи, который получается из закона для неоднородного участка цепи (5Ф). Для нашей задачи разность потенциалов φ1 – φ2 = 0 и сопротивление R12 = R + r.
I=ER+r. (1)Сопротивление внешней цепи R найдем из первой формулы мощности (11Ф)
R= P I2. (2)Подставляя (2) в (1), получим квадратное уравнение относительно тока I:
I2- E rI+ P r=0.Решая это квадратное уравнение, найдем силу тока в цепи:
I1=20 А; I2=4,0 А. (3)
Два значения тока соответствуют двум сопротивлениям внешней цепи (см. (2))
R1=PI12, R2=PI22 .Очевидно, величина IE есть полная мощность, выделяемая во всей цепи. Тогда к. п. д. источника тока
η=PIE. (4)Учитывая (3) и условие задачи, получим:
η1=PI1E=0,17; η2=PI2E=0,83.Пример 2. Два последовательно соединенных источника тока имеют одинаковые э. д. с. и разные внутренние сопротивления r1 и r2. При каком внешнем сопротивлении R разность потенциалов на полюсах источника с внутренним сопротивлением r1 будет равна нулю?
r1,
r2,
φ1-φ2 = 0.
R = ?
Решение
φ11
r1φ22
φ3 r2IРис. 1
R EE+
3

Последовательное соединение источников тока, замкнутых на внешнее сопротивление R, показано на рис. 1. Используем закон Ома для неоднородного участка цепи (обобщенный закон Ома) (5Ф). Выбранные направления обхода участков цепи (на рис. показаны стрелкой) совпадают с направлением действия сторонних сил и с направлением тока в цепи. Следовательно, э. д. с. E>0 и I>0. Используя эти правила знаков и обозначения на рисунке, запишем закон Ома для участков (1–2), (2–3) и (3–1):
Ir1=φ1-φ2+E, (1)
Ir2=φ2-φ3+E, (2)
IR=φ3-φ1 , (3)
где φ1, φ2, φ3 - потенциалы в точках 1, 2, 3 (см. рис. 1). Складывая уравнения (1) – (3), получим:
I=2Er1+r2+R. (4)Учитывая условие задачи φ1-φ2=0, выразим ток I из (1)
I=Er1 . (5)Из уравнений (4), (5) найдем искомое внешнее сопротивление
R=r1-r2.
Для нахождения тока I (см. (4)) можно использовать также второй закон Кирхгофа (10Ф). Этот закон выводится из обобщенного закона Ома (в нашей задаче из уравнений (1) – (3)).
Пример 3. Источник тока замыкается один раз на резистор сопротивлением R1=4 Ом, другой – на резистор сопротивлением R2 = 6 Ом, в обоих случаях на них выделяется одинаковая мощность. При каком сопротивлении R мощность будет максимальной?
Решение
R1 = 4 Ом,
R2 = 6 Ом,
P1 = P2,
P = Pmax.
R = ?
Используем формулу мощности (11Ф)
P=I2R. (1)
Сила тока находится из закона Ома для замкнутой цепи
I=ER+r, (2)где E - э. д. с. источника тока; R - внешнее сопротивление; r - внутренне сопротивление источника. Учитывая (2), имеем из (1):
P=E 2RR+r2. (3)Получили зависимость мощности P от внешнего сопротивления R. По условию задачи мощности, выделяемые на резисторах сопро-
тивлением R1 и R2, равны: P1=P2 или, учитывая (3), получим:
R1R1+r2=R2R2+r2.Решая это уравнение относительно внутреннего сопротивления r, получим:
r=R1R2=5 Ом. (4)Для нахождения сопротивления R, при котором мощность будет максимальной, необходимо зависимость (3), или функцию P(R) исследовать на экстремум, т. е. производную мощности P по сопротивлению R приравнять нулю
P'=E 2R+r2-E 2R∙2R+rR+r4 = 0.Откуда имеем R=r, или, учитывая (4), найдем сопротивление, при котором мощность будет максимальной
R=R1R2=5 Ом.
Пример 4. От источника тока с э. д. с. E=250 В и внутренним сопротивлением r=0,10 Ом необходимо протянуть к потребителю двухпроводную линию на расстояние l= 100 м. Определить наименьшее сечение алюминиевого провода, необходимого для этого, если максимальная мощность потребителя P= 22 кВт и он рассчитан на напряжение U= 220 В.
Решение
E= 250 В,
r= 0,10 Ом,
l=100 м,
P=22∙103 Вт,
U= 220 В.
S = ?
Запишем для нашей задачи закон Ома для замкнутой цепи
I=ERпр+R+r. (1) Здесь ток I находится из формулы мощности потребителя P=IU I=PU . (2)Сопротивление проводов (см. (6Ф))
Rпр=2ρlS, (3)где ρ = 25 нОм.м (при 20о С) – удельное сопротивление алюминия (находится из таблицы); S – искомое минимальное сечение проводов; коэффициент 2 учитывает двухпроводную линию. Сопротивление R потребителя находится из второй формулы мощности (11Ф)
R=U 2P. (4)Подставляя формулы (2)-(4) в (1), найдем из полученного уравнения:
S=2ρlPE-UU-Pr=28∙10– 6 м2 = 28 мм2.Найденное сечение является минимальным, т. к. при меньшем сечении проводов увеличивается их сопротивление и уменьшается ток в цепи. Следовательно, мощность не будет максимальной.
Пример 5. Ток I = 5,0 А течет по тонкому замкнутому проводнику (рис. 2). Радиус изогнутой части проводника R = 120 мм, угол φ=π/4. Найти магнитную индукцию B в точке О.
Решение
I = 5,0 А,
R = 0,12 м,
φ=π/4.
B = ?
Рис. 2
I
dI
l
αφα2α1φ
r
B
C
A
O
a
R
Магнитная индукция B в точке О складывается из индукции B1, создаваемой током I, текущим в круговой части l контура и индукции B2 от прямого участка контура AC (рис. 2). По правилу правого винта индукции B1 и B2 в точке О направлены в одну сторону «от нас», следовательно, искомая индукция B также направлена «от нас» (на рис. показана крестиком ). Тогда модуль индукции B равен
B = B1+ B2. (1)
Величина B1 находится из закона Био – Савара, записанного для модуля индукции dB, создаваемой элементом dl контура с током (см. (13Ф) и рис. 2)
dB = μ0 Idlsinα 4πr2, (2)Из рис. 2 видно r = R и α=90 (sinα=1). Интегрируя выражение (2) по длине l кривой части контура, получим:
B1 = μ0Il4πr2 = μ0I π – φ2πR. (3)Учли, что длина дуги l = (2π-2φ)R (см. рис.). Модуль индукции от участка AC контура находится по формуле (выводится из закона Био – Савара (13Ф))
B2 = μ0I4πa (cosα1 – cosα2). (4)Из рисунка видно: α1 = π2- φ; α2=π2+ φ; a = R cos φ – расстояние от прямолинейного проводника AC до точки О. С учетом этого, из (4) имеем:
B2 = μ0I tg φ 2πR . (5) Учитывая (3) и (5), из (1) найдем модуль искомой индукции:
B = μ0 I 2πR (π– φ + tg φ) = 28 мкТл.Пример 6. Определить индукцию магнитного поля B в точке О, если проводник с током I = 5,0 A имеет вид, показанный на рис. 3 Радиус изогнутой части проводника R = 10 см, прямолинейные участки проводника предполагаются очень длинными.
Решение
I = 5,0 А,
R = 0,10 м.
В=?
O
α12
α1R
I
α23
1
α2Рис. 3
Заданный проводник с током можно разбить на три участка (см. рис. 3). Полуокружность 1 радиусом R и два прямолинейных проводника 2 и 3, уходящих одним концом в бесконечность. Магнитная индукция B в точке О находится по принципу суперпозиции магнитных полей
B=B1+ B2+ B3, (1)
где B1, B2, B3 – магнитные индукции в точке О, создаваемые токами, текущими соответственно на участках 1, 2 и 3. По правилу правого винта векторы B1, B2, B3 направлены перпендикулярно плоскости рисунка «от нас» и векторное равенство (1) можно заменить арифметическим
B=B1+ B2+B3. (2)
Модуль магнитной индукции B1 находится по формуле индукции в центре кругового тока (см. (14Ф)). У нас магнитное поле создается половиной кругового тока (см. рис.). Поэтому
B1=μ0 I 4R. (3) Для нахождения индукций B2 и B3 воспользуемся формулой
B=μ0 I 4aπ (cosα1-cosα2). (4) В нашей задаче для проводника 2 углы α1=π/2, α2=π. Для проводника 3 имеем: α1 = 0; α2=π/2 (см. рис.). Расстояние от точки О до прямолинейных проводников a = R.
В результате из (4) имеем
B2=B3=μ0 I 4πR. (5)Используя (3) и (5), получим из (2) искомую индукцию:
B = μ0I(π+2) 4Rπ= 26 мкТл.Пример 7. Проводник в виде тонкого полукольца радиусом R = 10 см находится в однородном магнитном поле с индукцией В = 50 мТл. По проводнику течет ток I = 10 А. Найти силу F, действующую на проводник, если плоскость полукольца перпендикулярна линиям магнитной индукции.
Решение
R = 0,10 м,
В = 50.10–3 Тл,
I = 10 A.
F = ?
На элемент проводника dl с током I, находящийся в магнитном поле с индукцией B, действует сила Ампера, модуль которой (см. (18Ф))
dF=IBdlsinα. (1)
Направление силы dF, действующей на элемент проводника dl, определяется по правилу левой руки (см. рис. 4). По условию задачи магнитная индукция B перпендикулярна плоскости полукольца (на рисунке показана крестиком , что означает направление «от нас»). Следовательно, угол α между элементом dl и вектором B во всех точках проводника равен π2 (см. рис.) и в формуле (1) sinα=1. Из рисунка видно также, что dl=Rdφ. В результате выражение (1) запишется
dF=IBRdφ. (2)
Для нахождения модуля силы F, действующей на все полукольцо, уравнение (2) нельзя интегрировать, т. к. сила dF, действующая на разные элементы полукольца, направлена в разные стороны и сумма модулей dF не равна модулю суммы (dF≠F) (см. рис.). Запишем проекции силы dF на оси X и Y
dFx=dFcosφ, dFy=dFsinφ. (3)
Из соображений симметрии (осью симметрии для полукольца является ось Y) следует, что для любой пары симметричных точек полукольца сумма проекций dFx равна нулю. Остаются только проекции dFy, имеющие один знак (см. рис.). В результате с учетом (2) второе равенство в (3) примет следующий вид:
dFy=IBRsinφ∙dφ.
φ
dl
Рис. 4
Y

dF
Х
B
R
0
F
φ
I
dFy
dFx
dF
dFx
dFy
Это равенство можно интегрировать по углу φ в пределах от 0 до π (см. рис.)
Fy=IBR0πsinφ∙dφ. (4)
Очевидно, сумма проекций dFy равна модулю искомой силы F, действующей на полукольцо. Вычисляя интеграл (4), получим ответ:
F=2IBR=0,10 Н.Направление силы F показано на рисунке 4.
Пример 8 Протон, ускоренный разностью потенциалов U = 500 кВ, пролетает поперечное однородное магнитное поле с индукцией B = 0,51 Тл. Толщина области с магнитным полем d = 10 см. Найти угол α отклонения протона от первоначального направления движения.
Решение
U = 5,0.105 B,
В = 0,51 Тл,
d = 0,10 м.
α = ?
Рис. 5
R
αB
C
αvvdAFлOp На протон, движущийся в магнитном поле, действует сила Лоренца (20Ф) Fл=qvB, перпендикулярная скорости v частицы и магнитной индукции B. Направление силы Fл определяется по правилу левой руки (см. рис. 5). Так как скорость протона v ⊥B, то частица движется в магнитном поле по дуге окружности радиуса R (рис.). При вылете из магнитного поля (т. С на рис. 5) скорость частицы направлена под искомым углом α к направлению первоначальной скорости v. Сила Лоренца не совершает работы, так как F⊥v, следовательно, кинетическая энергия протона при его движении в магнитном поле не изменяется. Отсюда следует, что модуль скорости протона будет один и тот же при в ходе и выходе из магнитного поля (на рис. точки А и С). Учитывая, что угол между скоростью v и индукцией B равен π2, и заряд протона равен элементарному заряду e, запишем модуль силы Лоренца
Fл=evB. (1)
Используем второй закон Ньютона man = Fл для протона, считая его нерелятивистской частицей,
mv2R= evB. (2)
Учли нормальное ускорение протона an=v2R. Из уравнения (2) имеем:
R = mveB. (3)
Для нахождения скорости v воспользуемся связью работы электрического поля A=eU с приращением кинетической энергии частицы Wк2 – Wк1 = mv2/2 (учли, что начальная кинетическая энергия протона при движении в электрическом поле Wк1 = 0)
eU =mv22.Откуда

Подставим это выражение в (3)
R=1B2mU e. (4) Из рисунка видно sinα=dR. Учитывая (4), найдем искомый угол:
α=arcsinBde2mU =30°. Пример 9. Круговой контур радиусом R = 10 см , в котором течет ток I = 100 А, находится в магнитном поле с индукцией B = 0,10 Тл. Плоскость контура составляет угол φ=60° с линиями магнитной индукции. Какая работа совершается внешними силами, если при постоянной силе тока в контуре изменить его форму на квадрат?
Решение
R = 0,10 м,
I = 100 A,
В = 0, 10 Тл,
φ = 60о.
А = ?
Работа магнитных сил (сил Ампера) равна произведению силы тока в контуре на приращение магнитного потока через поверхность, ограниченную контуром (см. 23Ф) Aм=IФ2-Ф1 , где Ф1, Ф2 – магнитные потоки соответственно через поверхность, ограниченную круговым контуром и квадратом. Работа внешних сил A=-Aм, или
A=IФ1-Ф2. (1)
BI
R
φαnРис. 6
Используем формулу магнитного потока Ф=BScosα, где S – площадь контура; α– угол между нормалью n к плоскости контура и магнитной индукцией B (см. рис. 6). Из рисунка видно α=90°-φ. Учитывая это, запишем потоки Ф1 и Ф2:Ф1 = ВS1sinφ, Ф2 = ВS2sinφ, (2)
где S1= πR2 – площадь кругового контура. При изменении формы контура на квадрат его площадь S2=a2, где сторона квадрата a находится из равенства 2πR=4a. В результате S2=π2R24. Подставляя найденные площади S1 и S2 в равенства (2), получим:
Ф1=πR2Вsinφ,
С учетом этих формул, из (1) найдем работу внешних сил:
A=πR2IB1-π4sinφ=58 мДж.Пример 10. Между полюсами электромагнита находится катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Катушка имеет N = 15 витков площадью S=2,0 см2. При повороте катушки на угол φ=180° вокруг ее диаметра через подключенный к ней гальванометр протекает заряд q=4,5 мкКл. Найти модуль индукции магнитного поля В между полюсами, если сопротивление электрической цепи R=40 Ом.
Решение
N = 15 витков,
S = 2,0.10– 4 м2,
φ = 180о,
q = 4,5.10– 6,
R = 40 Ом.
В = ?
При повороте катушки вокруг ее диаметра изменяется магнитный поток через поверхность, ограниченную витками катушки. В соответствии с явлением электромагнитной индукции, в катушке, содержащей N витков, возникает э. д. с. индукции (см. (24Ф))
Ei=-dФdtN. (1)Воспользуемся законом Ома для полной цепи I=EiR, где I=dqdt – мгновенное значение силы тока. Отсюда
Ei=dqdtR. (2)Из (1) и (2) имеем
Rdq=-NdФ.Интегрируя это уравнение, получим:
qR=NФ1-Ф2, (3)
nnBВРис. 7
Поток Ф1 соответствует первоначальному положению катушки, когда угол между нормалью n к плоскости витков катушки и магнитной индукцией B равен α1=0 (см. рис. 7). Для этого положения катушки Ф1=BScosα1=BS. Поток Ф2 образуется при повороте катушки вокруг диаметра на угол φ=180°. В этом случае α2=180° (см. рис. 7) и Ф2=-BS. В результате из (3) имеем
qR=2BSN,
откуда искомая индукция магнитного поля
B=qR2NS=30 мТл.Пример 11. Рамка из одного витка площадью S=200 см2 вращается с линейной частотой ν=10 Гц относительно оси, лежащей в плоскости рамки и перпендикулярной линиям магнитной индукции. Модуль индукции B=0,20 Тл. Найти среднее значение э. д. с. индукции за время, в течение которого магнитный поток через поверхность площадью S изменится от максимального значения до нуля.
Решение
S = 200.10– 4 м2,
ν = 10 Гц,
В = 0,20 Тл.
Eср = ?
Среднее значение э. д. с. индукции находится из закона электромагнитной индукции (24Ф)
Eср=-∆Ф∆t, (1)где ∆Ф=Ф2-Ф1 – изменение магнитного потока за время ∆t. По условию задачи Ф1 – максимальный поток, Ф2=0. Магнитный поток определяется по формуле
Ф=BScosα , (2)
где α – угол между нормалью n к плоскости рамки и магнитной индукцией B. Из формулы (2) видно, что максимальному значению Ф1 соответствует положение рамки, при котором α1=0 и cosα1=1, т. е. нормаль n совпадает по направлению с индукцией B. Следовательно, из (2) имеем Ф1=BS. Поток Ф2=0 соответствует положению рамки, при котором угол α2=π2 и cosα2=0 (см. (2)). Таким образом, изменение потока в формуле (1) ∆Ф=-BS. Из изложенного следует также, что заданное изменение потока происходит при повороте рамки на угол π2, т. е. за время, равное четверти периода ∆t=T4. Учитывая сказанное, формула (1) запишется
Eср=4BST,где период T=1ν. Таким образом, средняя э. д. с. индукции
Eср=4BSν=0,16 В.
Пример 12. На поверхности стекла находится пленка воды с показателем преломления n = 1,3. На нее падает свет с длиной волны = 0,68 мкм под углом падения α = 30о. Найти скорость, с которой уменьшается толщина пленки (из-за испарения), если интенсивность отраженного света меняется таким образом, что промежуток времени между последовательными максимумами отражения ∆t = 15 мин.
Решение
λ = 0,68 мкм,
α = 30о ,
∆t = 0,25 ч,
n = 1,3.
v = ?
В задаче рассматриваются последовательные максимумы отражения, следовательно, оптическая разность хода равна целому числу волн (см. (32Ф))
Δ = m. (1)
Воспользуемся формулой оптической разности хода волн при отражении от пленки воды, находящейся в воздухе (36Ф),
(2)
Рис. 8
dd
α α α
1
2
n
nст
В нашем случае пленка воды находится на стекле (nст = 1,5), поэтому потеря полволны /2, учитывающая отражение света от оптически более плотной среды, имеет место для обеих когерентных волн: отраженная от верхней поверхности пленки (1) и вышедшая из пленки (2), которая отражается от более плотной среды (стекло) (см. рис. 8). Следовательно, в формуле (2) величина /2 будет отсутствовать. Тогда с учетом (1) условие максимума отражения для первоначальной толщины пленки d1 запишется
, (3)
где m – целое число (порядок интерференции). Через время ∆t толщина пленки из-за испарения уменьшится и станет равной d2 < d1 . При этом разность хода волн Δ также уменьшится (см. формулу (2)). Следующий максимум отражения будет наблюдаться, когда разность хода уменьшится на длину волны и станет равной (m – 1) . В результате условие максимума для толщины пленки d2 запишется
. (4)
Из (3) и (4) получим изменение толщины пленки
. (5)
Это изменение толщины произошло за время ∆t. Следовательно, скорость, с которой уменьшается толщина пленки v = (d1 – d2)/∆t, или учитывая (5), получим ответ задачи:

Пример 13. На каком расстоянии друг от друга находятся на экране две линии спектра первого порядка с длинами волн λ1 = 577 нм и λ2 = 579 нм? Спектр проецируется на экран линзой, помещенной вблизи дифракционной решетки с периодом d = 2,0 мкм. Расстояние от линзы до экрана (фокусное расстояние) L = 1,6 м. Лучи падают на решетку нормально.
Решение
λ1 = 5,77·10–7 м,
λ2 = 5,79·10–7 м,
m = 1,
d = 2,0·10–6 м,
L = 1,6 м.
∆l = ?
0
Э
l1
l2
λ1
∆l
2
1
φ2
φ1
L
Л
ДР
Рис. 9
λ2

Расстояние между двумя линиями данного спектра (см. рис. 9)
,
где ; . Тогда
. (1)
Используем формулу дифракционной решетки (39Ф)
. (2)
В нашей задаче порядок дифракционного спектра m = 1; λ – длина волны, соответствующая определенной линии в спектре. Применяя формулу решетки (2) для длин волн λ1 и λ2, получим:
sin φ1 = λ1/d; , (3)
откуда
1 = arcsin(1 /d) = 16o46; 2 = arcsin(2 /d) = 16о50.
Подставляя эти углы в (1), найдем искомое расстояние между заданными линиями спектра:

Используя числовые данные задачи, получим:
Δl = 2,1 мм.
Пример 14. Во сколько раз уменьшится интенсивность естественного света, прошедшего через два николя (поляризатор и анализатор), плоскости пропускания которых образуют между собой угол α = 30º? В каждом николе за счет поглощения и отражения теряется k = 10% = 0,1 падающего на него светового потока.
Решение
α = 30о,
k = 0,10.
Iест /I = ?
I0
П
О
Рис. 10
А
I
Iест

Интенсивность естественного света Iест в первом николе (поляризаторе П, см. рис. 10) в результате двойного лучепреломления уменьшится в два раза. Кроме этого теряется k = 0,10 интенсивности в результате поглощения и отражения света в поляризаторе. Таким образом, интенсивность света, вышедшего из поляризатора (см. рис.)
. (1)
Запишем закон Малюса (40Ф) без учета потери интенсивности на поглощение и отражение во втором николе (анализаторе А, рис.)
. (2)
Если учесть потери интенсивности на поглощение и отражение света в анализаторе, то (2) запишется
I = I0(1 – k) cos2. (3)
Подставим сюда (1)
,
откуда искомое уменьшение интенсивности света, прошедшего через два николя,

Таким образом, интенсивность света уменьшится в 3,3 раза.
Таблица вариантов к контрольной работе №3
Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых предусмотрено четыре контрольных работы
Вариант Номера задач
1 2 3 4 5 6
0 301 311 321 331 341 351
1 302 312 322 332 342 352
2 303 313 323 333 343 353
3 304 314 324 334 344 354
4 305 315 325 335 345 355
5 306 316 326 336 346 356
6 307 317 327 337 347 357
7 308 318 328 338 348 358
8 309 319 329 339 349 359
9 310 320 330 340 350 360
Задачи для самостоятельного решения
301. Найти суммарный импульс электронов в прямом проводе длиной l=1000 м, по которому течет ток I=70 А.
302. Найти среднюю скорость упорядоченного движения электронов по медному проводу при плотности тока j=10 Амм2. Считать, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон.
303. По прямому медному проводу длиной l=1000 м и сечением S=1,0 мм2 течет ток I = 4,5 А. Считая, что на каждый атом меди приходится один свободный электрон, найти время, за которое электрон переместится от одного конца провода до другого.
304. Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен стеклом с удельным сопротивлением ρ=100 ГОм∙м. Емкость кон-денсатора C=4,0 нФ. Найти ток утечки через конденсатор при подаче на него напряжения U=2,0 кВ.
305. Даны 12 элементов с э. д. с. E=1,5 В и внутренним сопротивлением r=0,4 Ом каждый. Как нужно соединить эти элементы, чтобы получить максимальную силу тока Im во внешней цепи, имеющей сопротивление R=0,30 Ом? Найти этот ток.
1
E12
E2R2Рис. 11
R1306. Найти разность потенциалов φ1– φ2 между точками 1 и 2 схемы (см. рис. 11), если R1=10 Ом, R2=20 Ом, E1=5 В и E2=2 В. Внутренние сопротивления источников тока не учитывать.
307. В схеме (рис. 12) E=5,0 В, R1=4,0 Ом, R2=6,0 Ом. Внутренне сопротивление источника тока r=0,10 Ом. Найти токи, текущие через сопротивления R1 и R2.
308. Найти величину и направление тока, текущего через сопротивление R в схеме (см. рис. 13), если E1=1,5 В, E2=3,7 В, R1 = 10 Ом, R2=20 Ом, R=5,0 Ом. Внутренние сопротивления источников тока пренебрежимо малы.
309. При замыкании источника тока на резистор напряжение на нем U1 = 5,0 В. Если сопротивление резистора увеличить в n = 6 раз, то напряжение на нем U2 = 10 В. Найти э. д. с. источника тока.
R2R1r Рис. 12
EРис. 13
R2R1E2E1R
310. При сопротивлении внешней цепи R1 = 1 Ом напряжение на зажимах источника тока U1 = 1,5 В, а при сопротивлении R2 = 2.Ом напряжение U2 = 2 В. Найти э. д. с. и внутреннее сопротивление источника.
311. Источник тока с э. д. c. ℰ = 2,1 В находится на расстоянии l = 20 м от потребителя электрической энергии. Найти внутреннее сопротивление источника тока и напряжение на его зажимах, если при сопротивлении потребителя R = 2,0 Ом ток в цепи I = 0,70 А. Провода медные и имеют диаметр d = 1,2 мм.
312. Определить длину и площадь поперечного сечения нихромовой проволоки, необходимой для изготовления электрического кипятильника мощностью Р = 480 Вт, рассчитанного на напряжение U = 120 В. Допустимая плотность тока в проволоке j = 10.А/мм2.
313. Сколько витков никелиновой проволоки диаметром d = 0,20 мм необходимо намотать на керамический цилиндр диаметром D = 1,5 см, чтобы изготовить кипятильник на напряжение U = 120 В, в котором за время = 10 мин закипает вода массой m = 240 г, имеющая начальную температуру t = 10С? К. п. д. кипятильника = 0,60.
314. Определить внутреннее сопротивление и э. д. с. источника тока, если при силе тока I1 = 30 А мощность, выделяемая во внешней цепи, Р1 = 180 Вт, а при силе тока I2 = 10 А мощность Р2 = 100.Вт.
315. Резистор сопротивлением R, подключенный к источнику тока, потребляет мощность Р. Если к нему подключить параллельно еще такой же резистор, то вместе они потребляют такую же мощность. Найти внутреннее сопротивление и э. д. с. источника?
316. Источник тока с э. д. с., равной E и внутренним сопротивлением r, замыкается на резистор. При какой силе тока тепловая мощность, выделяемая на резисторе, будет максимальной? Найти эту мощность.
317. К источнику тока с внутренним сопротивлением r подключены три одинаковых резистора сопротивлением R каждый. Резисторы соединены между собой перемычками, сопротивлением которых можно пренебречь (см. рис. 14). При каком значении R мощность, выделяемая на внешнем участке цепи, будет максимальной?
R r Рис. 14
R R 318. Электрический утюг, рассчитанный на напряжение U0 = 120 В, имеет мощность P=400 Вт. При включении утюга напряжение в розетке падает с U1 = 127 В до U2 = 115 В. Найти сопротивление подводящих проводов.
319. Источник тока был замкнут сначала на резистор сопротивлением R, а затем на резистор сопротивлением 5R. При этом на резисторах выделяется одинаковая тепловая мощность. Найти внутреннее сопротивление r источника тока.
320. От источника тока нужно передать на расстояние l=5,0 км мощность P=500 кВт. Напряжение на зажимах источника U=10 кВ. Допустимая потеря напряжения в медных проводах k=0,010 от напряжения U. Найти минимальное сечение проводов. Во сколько раз следует повысить напряжение на зажимах источника тока, чтобы снизить потери мощности в 100 раз в той же линии при передаче той же мощности?
321 Электрический чайник имеет две обмотки. При включении одной из них вода в чайнике закипает через t1=15 мин, при включении другой - через t2=30 мин. Через сколько времени закипит вода, если включить обе обмотки последовательно? параллельно?
322. Электрический чайник объемом V = 1,5 л имеет нагревательный элемент сопротивлением R = 80 Ом, к. п. д. η = 80 % и работает при напряжении U = 220 В. Начальная температура воды t1 = 20 0C. Найти мощность, потребляемую чайником, силу тока в нагревательном элементе и время, в течении которого вода в чайнике закипит.
323. Ток величиной I течет по тонкому проводнику, который имеет вид правильного n – угольника, вписанного в окружность радиусом R. Найти магнитную индукцию в центре данного контура. Исследовать полученное выражение при n → ∞.
324. Найти индукцию магнитного поля в центре контура, имею- щего вид прямоугольника, если его диагональ d = 16 см, угол междудиагоналями α = 30о и ток в контуре I = 5,0 А.
325. Электрон движется в магнитном поле с индукцией В = 1,0.мТл по окружности радиусом R = 0,50 см. Определить кинетическую энергию электрона.
326. Электрон начинает двигаться в электрическом поле из точки с потенциалом 1 = 100 В в точку с потенциалом 2 = 600 В и далее влетает в магнитное поле перпендикулярно его силовым линиям. Определить радиус окружности, по которой двигается электрон, если магнитная индукция В = 0,12 Тл.
327. Одновалентный положительный ион начинает двигаться в электрическом поле из состояния покоя и, пройдя ускоряющую разность потенциалов U, влетает в магнитное поле с индукцией В. Ион описывает в магнитном поле окружность радиусом R. Найти импульс иона, его скорость и массу.
328. Протон движется по окружности радиусом R = 10 см в магнитном поле с индукцией В = 10 мТл. После вылета из магнитного поля протон полностью тормозится электрическим полем. Чему равна тормозящая разность потенциалов (1 – 2)?
e–
d
В
Рис. 15
329. Магнитное поле с индукцией В образовано в полосе шириной d (рис. 15). Пучок электронов летит перпендикулярно полосе и индукции В. При какой скорости электроны не пролетят на другую сторону полосы (отразятся от «магнитной стенки»)?
330. Одновалентные ионы, массовые числа которых А1 = 20 и А2 = 22, разгоняются в электрическом поле при разности потенциалов U = 4,0 кВ, а затем влетают в магнитное поле с индукцией В = 0,25 Тл перпендикулярно силовым линиям. Описав полуокружность, ионы вылетают двумя пучками. Определить расстояние между пучками.
331. Пучок протонов влетает в магнитное поле с индукцией В = 0,10 Тл перпендикулярно силовым линиям. Протоны движутся по окружности радиусом R = 20 см и попадают на заземленную мишень. Найти количество теплоты, выделенной в мишени за единицу времени, если ток в пучке I = 0,10 мА.
332. Электрон, ускоренный разностью потенциалов U = 1,0 кВ, влетает в однородное магнитное поле под углом α = 30о к магнитной индукции В, модуль которой В = 29 мТл. Найти шаг винтовой траектории электрона.
333. В магнитное поле индукции В влетает под углом к полю со скоростью v частица массой m и зарядом q. Найти радиус R и шаг h винтовой линии, по которой двигается частица.
334. Заряженная частица влетает в магнитное поле под углом = 45 к его силовым линиям и движется по винтовой линии с шагом h = 2,0 см. Магнитная индукция В = 10 мТл, заряд частицы q = 1,610–19 Кл. Найти импульс частицы.
335. Электрон влетает в магнитное поле со скоростью v = 400.км/с под углом = 60 к вектору магнитной индукции, модуль которой В = 1,00 мТл. Сколько витков опишет электрон вдоль силовой линии магнитного поля на расстоянии s = 2,00 м?
336. В магнитном поле находится плоский виток площадью S = 10,0 см2 перпендикулярно силовым линиям поля. Сопротивление витка R = 1,00 Ом. Какой заряд проходит по витку, если поле с постоянной скоростью уменьшается от В1 = 100 мТл до В2 = 0?
337. Рамка, содержащая N = 10 витков площадью S = 5,0 см2, присоединена к гальванометру и находится в магнитном поле, перпендикулярном плоскости рамки. При повороте рамки на 180 вокруг оси, лежащей в плоскости рамки, по цепи протекает заряд q = 30 мкKл. Найти магнитную индукцию, если сопротивление цепи R = 60 Ом.
338. Прямолинейный проводник длиной l = 1,0 м равномерно вращается в горизонтальной плоскости с частотой = 10 Гц. Ось вращения проходит через конец проводника. Вертикальная составляющая магнитного поля Земли В = 50 мкТл. Найти разность потенциалов на концах проводника.
339. Какой ток идет через гальванометр сопротивлением R = 100 Ом, присоединенный к железнодорожным рельсам, когда к нему приближается поезд со скоростью v = 20 м/с? Вертикальная составляющая магнитного поля Земли В = 50 мкТл. Расстояние между рельсами l = 1,5 м. Сопротивление рельс, колес, осей и соединительных проводов не учитывать.
340. Из двух одинаковых проводников равной длины изготовлены два контура: круговой и квадратный. Оба контура помещаются в одной плоскости в изменяющееся во времени магнитное поле. В круговом контуре индуцируется постоянный ток I1 = 0,40 А. Найти силу тока I2 в квадратном контуре.
341. Сила тока в катушке уменьшается от I1 = 12 А до I2 = 8,0 А. При этом энергия магнитного поля уменьшилась на W = 2,0 Дж. Найти индуктивность катушки и энергию ее магнитного поля при заданных токах.
342. При увеличении силы тока, проходящего через катушку, в n = 2 раза энергия магнитного поля возросла на W = 3 Дж. Найти начальные значения силы тока и энергии поля, если индуктивность катушки L = 0,5 Гн.
343. Между полюсами электромагнита находится небольшая катушка, ось которой совпадает с направлением магнитного поля. Площадь поперечного сечения катушки S = 3,0 мм2, число витков N = 60. При повороте катушки на 180о вокруг ее диаметра через подключенный к ней гальванометр протекает заряд q = 4,5 мкКл. Найти модуль индукции магнитного поля между полюсами, если сопротивление катушки R = 40 Ом.
I
а
b
О
О
Рис. 16
а
344. Квадратная проволочная рамка со стороной а и прямой проводник с постоянным током I лежат в одной плоскости (рис. 16). Сопротивление рамки R. Ее повернули на 180о вокруг оси ООʹ, отстоящей от проводника с током на расстояние b. Найти количество электричества, протекшее в рамке.
345. Катушка индуктивностью L = 0,30 Гн соединяется параллельно с резистором и подключается к источнику тока с. э. д. с. ℰ = 4,0 В и внутренним сопротивлением r = 2,0 Ом. Какое количество теплоты выделится в катушке и резисторе после отключения их от источника тока? Активным сопротивлением катушки и рассеянием магнитного поля пренебречь.
346. На тонкую пленку с показателем преломления n = 1,33 падает параллельный пучок белого света. Угол падения α = 52о. При какой толщине пленки зеркально отраженный свет будет наиболее сильно окрашен в желтый цвет с длиной волны λ = 0,60 мкм?
347. Найти минимальную толщину тонкой пленки с показателем преломления n = 1,5, если при освещении белым светом при углах падения α1 = 45о и α2 = 60о пленка будет красной.
348. Расстояние между пятым и двадцать пятым светлыми кольцами Ньютона l = 8,60 мм. Радиус кривизны линзы R = 15,0 м. Найти длину волны монохроматического света. Наблюдение ведется в отраженном свете.
349. Диаметры десятого и пятнадцатого темных колец Ньютона в отраженном свете равны d1 = 1,00 мм и d2 = 1,50 мм. Радиус кривизны линзы R = 12,5 см. Найти длину волны света.
350. Найти расстояние между третьим и шестнадцатым темными кольцами Ньютона, если расстояние между вторым и двадцатым темными кольцами l = 5,4 мм. Наблюдение ведется в отраженном свете.
351. Дифракционная решетка содержит 100 штрихов на 1 мм ее длины. Определить длину волны монохроматического света, падающего на решетку нормально, если угол между направлениями на симметричные максимумы первого порядка α = 8о.
352. На дифракционную решетку нормально падает пучок света.
На какую линию в спектре третьего порядка накладывается красная линия (λ1 = 6,7.10– 8 м) в спектре второго порядка?
353. При нормальном падении света на дифракционную решетку угол дифракции для линии λ1 = 0.65 мкм во втором порядке φ1 = 45о. Определить угол дифракции φ2 для линии λ2 = 0,50 мкм в третьем порядке.
354. Найти длину волны монохроматического света, падающего нормально на дифракционную решетку с периодом d = 2,2 мкм, если угол между направлениями на дифракционные максимумы первого и второго порядков Δφ = 15о.
355. Для линии λ1 = 5,89.10–7 м в спектре первого порядка угол дифракции φ1 = 17о 8'. Найти длину волны λ2 для линии в спектре второго порядка, которой соответствует угол дифракции φ2 = 24о 12'. Свет падает на дифракционную решетку нормально.
356. Найти угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора, если интенсивность света, прошедшего через них, уменьшилась в n = 3. Поглощением и отражением света пренебречь.
357. Естественный свет проходит через поляризатор и анализатор, каждый из которых поглощает и отражает η1 = 10 %, падающего на них света. Интенсивность света, вышедшего из анализатора, составляет η2 = 12 % интенсивности естественного света, падающего на поляризатор. Найти угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора.
358. Угол между главными плоскостями поляризатора и анали-затора φ1 = 45о. Во сколько раз уменьшится интенсивность света, выходящего из анализатора, если угол между главными плоскостями поляризатора и анализатора увеличить до φ2 = 60о ?
359. Во сколько раз уменьшается интенсивность естественного света, проходящего через два поляризатора, главные плоскости которых образуют между собой угол φ = 63о. В каждом поляризаторе теряется η = 10 % падающего на него света.
360. Свет падает на поверхность раствора. Найти показатель преломления раствора, если отраженный свет полностью поляризован при угле преломления β = 35о.
Контрольная работа №4
Квантовая оптика. Атомная и ядерная физика
Основные формулы
Квантовая оптика
1. Закон Стефана – Больцмана
, (1Ф)
где R*– энергетическая светимость абсолютно черного тела, т. е. энергия, излучаемая с единичной поверхности тела за единицу времени во всем интервале длин волн; σ – постоянная Стефана – Больцмана; T – термодинамическая температура.
2. Закон смещения Вина
, (2Ф)
где λm – длина волны, на которую приходится максимум энергетической светимости абсолютно черного тела; b – постоянная Вина.
3. Энергия фотона
, (3Ф)
где h – постоянная Планка; ν – частота света; с – скорость света в вакууме; λ – длина волны фотона.
4. Импульс фотона
p = h/λ. (4Ф)
5. Уравнение Эйнштейна для фотоэффекта
, (5Ф)
где hν = ε – энергия поглощенного фотона; A – работа выхода электрона из вещества; m – масса электрона; vmax – максимальная скорость вылетающего электрона.
6. Красная граница фотоэффекта
или , (6Ф)
где ν0, 0 – соответственно минимальная частота и максимальная длина волны света, при которых еще возможен фотоэффект.
7. Формула Комптона
(7Ф)
где ∆ = – λ – комптоновское смещение; – длина волны фотона, сталкивающегося со свободным электроном; – длина волны фотона, рассеянного на угол α после его столкновения с электроном; m – масса электрона; с – скорость фотона, равная скорости света.
Атомная физика
8. Электрон в атоме водорода двигается по круговым стационарным орбитам, при этом атом не излучает энергию. Для стационарных орбит выполняется условие или правило квантования (1-й постулат Бора)
mvrn = nh/2π, или mvrn = nħ, n = 1, 2, 3,…, (8Ф)
где m, v – масса и скорость электрона; rn – радиус n – й орбиты;
n – главное квантовое число; h, как и ħ, – постоянная Планка. Числовые значения h и ħ находятся из таблицы.
9. При переходе атома из стационарного состояния с энергией En в стационарное состояние с меньшей энергией Em происходит излучение кванта света (фотона) с энергией
hν = En – Em, или ħω = En – Em, (9Ф)
где ν – частота света; ω = 2πν – круговая (циклическая) частота. Такое же соотношение выполняется, когда атом поглощает фотон и переходит из стационарного состояния с энергией Em в стационарное состояние с большей энергией En, при этом фотон перестает существовать (2-й постулат Бора).
10. Полная энергия электрона в водородоподобном атоме
(10Ф)
где Z – порядковый номер элемента в таблице Менделеева, для водо-рода Z = 1; е – элементарный заряд, равный модулю заряда электрона; ε0 – электрическая постоянная. Численные значения е и ε0 находятся из таблицы.
11. Длина волны света λ, изучаемого атомом водорода при переходе электрона с одной орбиты на другую, определяется из формулы Бальмера
(11Ф)
где R – постоянная Ридберга (находится из таблицы); m, n – квантовые числа. Число m определяет номер спектральной серии, число n принимает все целочисленные значения, начиная с m + 1. При m = 1 наблюдается ультрафиолетовая серия (серия Лаймана), при m = 2 – видимая серия (серия Бальмера), при m = 3, 4,… наблюдаются серии в инфракрасной области спектра.
12. Длина волны де Бройля
λ = h/р, (12Ф)
где p = mv – импульс частицы, когда скорость v много меньше скорости света c в вакууме (v << c); – релятивистский импульс частицы при v ~ c.
13. Выражения длины волны де Бройля через кинетическую энергию частицы Eк:
нерелятивистский случай (v << c)
(13Ф)
релятивистский случай (v ~ c)
(14Ф)
где E0 = mc2 – энергия покоя частицы.
14. Соотношение неопределенностей для координаты х и проекции импульса частицы рх
∆x.∆px ћ, (15Ф)
где ∆x – неопределенность координаты частицы; ∆px – неопределенность проекции импульса на ось x; ћ = h/2π – постоянная Планка.
15. Соотношение неопределенностей для энергии и времени
∆E.∆t ћ, (16Ф)
где ∆E неопределенность энергии за промежуток времени ∆t.
16. Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний
(17Ф)
где (x) – волновая функция, описывающая состояние частицы; m – масса частицы; E – полная энергия; U – потенциальная энергия.
17. Вероятность нахождения частицы в интервале от x1 до x2
(18Ф)
где |(x)|2 – плотность вероятности нахождения частицы в точке с координатой х.
18. Решение уравнения Шредингера для одномерной, прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высокими стенками:
собственные волновые функции
(19Ф)
собственные значения энергии частицы
n = 1, 2, 3,…, (20Ф)
где n – главное квантовое число; l – ширина потенциальной ямы; m – масса частицы.
Ядерная физика
19. Массовое число ядра (число нуклонов в ядре)
A = Z+N, (21Ф)
где Z – зарядовое число; N – число нейтронов в ядре.
20. Закон радиоактивного распада
N = N0 e – λt, (22Ф)
где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t; N0 – число ядер в начальный момент времени (t = 0); e = 2,73 – основание натуральных логарифмов; λ – постоянная радиоактивного распада.
21. Число ядер, распавшихся за время t,
∆N = N0(1– e– λt ). (23Ф)
22. Период полураспада (время, за которое распадается половина первоначального количества ядер)
T = ln2/λ = 0,693/λ. (24Ф)
23. Если промежуток времени t намного меньше периода полураспада Т, то число распавшихся ядер за это время
∆N = λN0 t. (25Ф)
24. Среднее время жизни радиоактивного ядра, или промежуток времени, за который первоначальное количество ядер уменьшается в «e» раз
τ = 1/λ. (26Ф)
25. Число атомов, содержащихся в радиоактивном изотопе,
N = mNA /M, (27Ф)
где m – масса образца; NA – постоянная Авогадро; M – молярная масса изотопа (находятся из таблиц).
26. Активность радиоактивного изотопа
а = λN = λN0 e– λt. (28Ф)
27. Дефект массы ядра
∆m = ZmH + (A – Z)mn – mат, (29Ф)
где mH– масса атома водорода; mат– масса атома; mn– масса нейтрона.
28. Энергия связи ядра
Eсв = ∆m.c2, (30Ф)
где с – скорость света в вакууме (воздухе).
29. Удельная энергия связи
Еуд = Есв /А = ∆m.c2/А. (31Ф)
30. Энергетический выход ядерной реакции (тепловой эффект реакции)
Q = (m1+m2 – m3 – m4) с2, (32Ф)
где – m1 , m2 – массы исходных частиц или атомов; m3, m4 – массы образовавшихся атомов. Если массы атомов выразить в атомных единицах массы (а. е. м.) и воспользоваться соотношением 1 а. е. м..c2 = 931,5 МэВ, то энергия реакции будет выражена в МэВ.
Примеры решения задач
Пример. 1. При нагревании абсолютно черного тела длина волны, на которую приходится максимум энергетической светимости, изменилась от λm1 = 690 нм до λm2 = 500 нм. Во сколько раз увеличилась при этом энергетическая светимость тела R*?
Решение
λm1 = 690 нм,
λm2 = 500 нм.
= ?
Используем закон Стефана – Больцмана (1Ф)
, (1)
где температуру Т найдем из закона смещения Вина (2Ф)
. (2)
Выражая отсюда температуру Т и подставляя ее в формулу (1), получим:
. (3)
Энергетическая светимость для двух длин волн λm1 и λm2
, .
Откуда искомое отношение

Энергетическая светимость тела увеличилась в 3,63 раза.
Пример 2. Какова мощность излучения, падающего на зачерненный шарик радиусом r = 2,0 см, если его температура поддерживается на ∆t = 27 оС выше температуры окружающей среды, которая равна t1 = 20 ºС? Тепло теряется только на излучение.
Решение
r = 2,0·10–2 м,
∆t = 27 ºС,
t1 = 20 ºС.
∆Ф = ?
Запишем закон Стефана – Больцмана (1Ф)
, (1)
где постоянная Стефана – Больцмана σ = 5,67.10–8 Вт/(м2.К4), находится из таблицы. Поток Ф, излучаемый телом, равен энергии, излучаемой со всей поверхности тела за единицу времени во всем интервале длин волн. Из этого следует Ф = R*S. Принимая зачерненный шарик за абсолютно черное тело и учитывая (1), запишем поток для температуры Т1 = t1+273 = 293 K и T2 = T1+∆T = 320 K, где ∆Т = ∆t = 27 К
(2)
где S = 4r2 – площадь поверхности шарика. Очевидно, искомый поток ∆Ф = Ф2 – Ф1, или с учетом (2), получим:

Пример 3. Найти частоту света, выбивающего с поверхности металла электроны, которые задерживаются напряжением Uз= 3,0 В. Красная граница фотоэффекта 0 = 6,0.1014 Гц.
Решение
Uз = 3,0 В,
0 = 6,0.1014 Гц.
= ?
Воспользуемся уравнением Эйнштейна для фотоэффекта (5Ф)
, (1)
где постоянная Планка h = 6,63.10–34 Дж.с; – искомая частота света. Красная граница фотоэффекта 0 равна такой частоте, при которой максимальная скорость vm = 0. Тогда при = 0 уравнение (1) примет вид:
. (2)
По условию задачи при задерживающем напряжении Uз самые быстрые электроны, имеющие скорость vm, полностью задерживаются электрическим полем, т. е. максимальная кинетическая энергия таких электронов равна работе электрического поля: , где е = 1,6.10–19 Кл – элементарный заряд, равный модулю заряда электрона. Тогда уравнение (1) с учетом (2) запишется:
,
откуда искомая частота света
Гц.
Пример 4. Фотон с энергией ε = 250 кэВ рассеялся под углом α = 120º на первоначально покоившемся свободном электроне. Найти энергию рассеянного фотона ε'.
Решение
ε = 0,250 МэВ,
α = 120º.
ε' = ?
Энергию рассеянного ε' и падающего ε фотонов можно выразить через постоянную Планка h, скорость света в вакууме с и длину волны рассеянного λ' и падающего λ фотонов
(1)
Рассеяние фотона на электроне описывается формулой Комптона (7Ф), в которой 1 – cosα = 2sin2 (α/2),
. (2)
Подставим в эту формулу длины волн λ' и λ, найденные из (1), и из полученного уравнения выразим искомую энергию ε'

Учитывая числовые данные задачи и энергию покоя электрона mc2 = 0,51 МэВ, получим числовой ответ:
ε' = 0,144 МэВ.
Пример 5. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с длиной волны λ = 0,122 мкм. Найти радиус электронной орбиты возбужденного атома.
Решение
λ = 0,122 мкм.
rn = ?
Для нахождения радиуса электронной орбиты используем теорию Бора для атома водорода. Согласно первому постулату Бора (8Ф) электрон в атоме водорода движется только по стационарным орбитам, радиусы rn которых удовлетворяют правилу квантования
mvrn = nh/2π, n = 1, 2, 3,… (1)
К электрону в атоме водорода применим второй закон Ньютона man = FK , где an = v2/rn – нормальное (центростремительное) ускорение; FK = e2/4π0rn2 – кулоновская сила, действующая на электрон. В результате второй закон Ньютона запишется:
(2)
где e – элементарный заряд, равный модулю заряда электрона; ε0 – электрическая постоянная. Из уравнений (1), (2) находим радиус электронной орбиты rn
(3)
где
(4)
постоянная величина (радиус Бора), равная r0 = 5,31.10–11 м, находится из таблицы. В результате радиус электронной орбиты (3) можно выразить через радиус Бора
rn = r0n2. (5)
Квантовое число n найдем из формулы Бальмера (см. (11Ф))
(6)
где R = 1,10.107 м–1 – постоянная Ридберга, находится из таблицы; m, n – квантовые числа. У нас m = 1, т. к. атом находился в основном состоянии. Тогда из (6) получим n = 2. Подставляя это число в (5), найдем радиус электронной орбиты возбужденного атома:
rn = 2,12.10–10 м = 0,212 нм.
Пример 6. Найти циклическую частоту ω вращения электрона на круговой орбите водородоподобного иона гелия Не+ при главном квантовом числе n = 2. С какой линейной скоростью v вращается электрон на заданной орбите?
Z = 2,
n = 2.
ω = ?
v = ?
Решение
Воспользуемся вторым законом Ньютона man = Fк, где m = 9,11.10–31 кг – масса электрона; an = ω2 rn – нормальное (центростремительное) ускорение электрона; rn – радиус n – й круговой орбиты электрона; – кулоновская сила, действующая на электрон; Z – зарядовое число, для гелия Z = 2; е, ε0 – элементарный заряд (равен модулю заряда электрона) и электрическая постоянная (берутся из таблицы). В результате второй закон Ньютона запишется:
(1)
Используем, далее, первый постулат Бора (8Ф) mvrn = nħ, где v = ωrn – линейная скорость электрона на заданной круговой орбите иона гелия; ħ = 1,05.10–34 Дж.с – постоянная Планка. Тогда первый постулат Бора примет вид:
(2)
Решая систему уравнений (1), (2), получим:
(3)
где постоянная величина r0 = 4πε0ħ2/me2 = 5,31.10–11 м называется радиусом Бора (берется из таблицы). В результате (3) запишется:
rn = r0n2/Z. (4)
Подставляя это выражение в (2), найдем искомую циклическую частоту:
(5)
Используя табличные данные и условие задачи, найдем числовое значение циклической частоты или угловой скорости электрона:
ω = 2,1.1016 с–1.
Линейная скорость электрона находится из формулы v = ωrn. Учитывая (4) и (5), получим:

Пример 7. С какой минимальной кинетической энергией должен двигаться атом водорода, чтобы при неупругом лобовом (центральном) столкновении с другим, покоящимся атомом водорода, один из них оказался способным испустить фотон? Предполагается, что до столкновения оба атома находились в основном состоянии.
Решение
H.
Ек = ?
Применим для сталкивающихся атомов водорода закон сохранения импульса
mv = 2mv1, (1)
где mv – импульс движущегося атома; 2mv1 – суммарный импульс двух атомов после центрального неупругого столкновения, в результате которого атомы движутся вместе со скоростью v1. Заметим, что (1) записано до испускания одним из атомов фотона. Воспользуемся теперь законом сохранения энергии. Энергия системы двух атомов до взаимодействия Е1 равна кинетической энергии движущегося атома Ек: Е1 = Ек. После взаимодействия и испускания фотона энергия системы Е2 складывается из энергии фотона Еф, и кинетической энергии Е'к двух атомов, движущихся вместе со скоростью v1, Е2 = Еф + Е'к. Применяя закон сохранения энергии Е1 = Е2, получим:
Ек = Еф + Е'к. (2)
Кинетическая энергия движущегося атома до взаимодействия Ек = mv2/2. Кинетическая энергия двух атомов после взаимодействия Из (1) видно: v1 = v/2, тогда Е'к = mv2/4. Сравнивая эту энергию с Ек, имеем: Е'к = Ек/2. Подставляя это в (2), получим:
Ек = 2Еф. (3)
Энергия фотона, испускаемого атомом (см. (3Ф)),
Еф = hc/λ. (4)
Длина волны фотона λ, испускаемого атомом, находится из формулы Бальмера (11Ф):
(5)
Так как по условию задачи атомы до столкновения находились в основном состоянии, и один из атомов двигался с минимальной кинетической энергией, то в формуле (5) квантовые числа m = 1 и n = m + 1 = 2. В результате из (5) имеем λ = 4/(3R). Подставим это выражение в (4) и, используя полученный результат, найдем из (3) искомую кинетическую энергию:
Ек = 3Rhс/2.
Учитывая табличные данные: R = 1,10.107 м–1; h = 6,63.10–34 Дж.с; с = 3,00.108 м/с, получим числовой ответ:
Ек = 32,8.10–19 Дж = 20,5 эВ.
Пример 8. Найти максимальную длину волны λmax в ультрафиолетовой серии спектра атома водорода, для которой квантовое число m = 1. Какую минимальную скорость vmin должны иметь электроны, чтобы при возбуждении атомов водорода ударами электронов появилась линия, соответствующая этой длине волны?
Решение
m = 1.
λmax = ?
vmin = ?
Длина волны, излучаемой атомом водорода, находится из формулы Бальмера (11Ф):
(1)
где R = 1,10.107 м–1 – постоянная Ридберга (находится из таблицы). В нашей задаче дана ультрафиолетовая серия (серия Лаймана), для которой m = 1. Следовательно, n = m + 1 = 2, 3, 4,…. Очевидно, λ = λmax при минимальном значении числа n (см. (1)), т. е. n = 2. Тогда из (1) имеем
λmax= 4/(3R) = 0,12 мкм. (2)
Для нахождения минимальной скорости электрона vmin воспользуемся законом сохранения энергии. Кинетическая энергия электрона равна энергии излучаемого фотона. Скорость v = vmin, при λ = λmax

откуда, с учетом (2), найдем искомую скорость

где h – постоянная Планка; c – скорость света; mе – масса электрона. Используя табличные данные: h = 6,63.10–34 Дж.с; с = 3,00.108 м/с; mе = 9,11.10–31 кг, получим числовой ответ:
vmin = 1,9.106м/с = 1,9 Мм/с.
Пример 9. Найти длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию: E1 = 100 эВ; E2 = 1,0 МэВ.
Решение
E1 = 100 эВ = 1,60.10–17 Дж,
E2 = 1,0 МэВ = 1,6.10–13 Дж.
λ 1, λ2 = ?
Длина волны де Бройля (12Ф)
λ = h/р, (1)
Необходимо сначала установить какова скорость электрона при заданных кинетических энергиях. Для этого нужно сравнить кинетическую энергию электрона с его энергией покоя E0 = mc2 = 0,51 МэВ. Для энергии E1 = 100 эВ имеем E1 << E0,, и электрон является нерелятивистским, т. е. его скорость v намного меньше скорости света с в вакууме. Следовательно, можно пользоваться ньютоновской формулой кинетической энергии

откуда импульс электрона

Подставляя это выражение в (1), найдем длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию E1,
= 1,2.10–10 м = 120 пм.
Для энергии E2 = 1,0 МэВ имеем E2 >> E0. Следовательно, электрон является релятивистским и его импульс

В этом случае из (1) найдем длину волны де Бройля для электрона, обладающего энергией E2,
= 0, 88.10–12 м = 0,88 пм.
Пример 10. Кинетическая энергия электрона в невозбужденном атоме водорода E = 13,6 эВ. Используя соотношение неопределенностей, найти минимальную неопределенность координаты электрона в атоме водорода.
Решение
∆xmin= ?
E = 13,6 эВ = 2,18.10–18 Дж. Дж.
Используем соотношение неопределенностей для проекции импульса и координаты частицы (15Ф)
∆рx.∆x ≥ ћ, (1)
откуда минимальная неопределенность координаты
∆xmin= ћ/∆рx. (2)
Физически разумная неопределенность проекции импульса ∆рx не должна превышать проекции самого импульса рx (∆рx рx). Очевидно также, что проекция рx на фиксированную ось Х лежит в интервале [– р, р]. Таким образом, величины ∆рx и р одного порядка ∆рx ~ р. Тогда (2) примет вид
∆xmin ~ ћ/р. (3)
Из условия задачи видно, что кинетическая энергия электрона намного меньше его энергии покоя E0 = mc2 = 0, 51 МэВ. Следовательно, электрон является нерелятивистской частицей, и его импульс Подставляя этот импульс в (3), получим ответ:

Пример 11. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность нахождения частицы в области 0 < x < l/3.
Решение
0 < x < l/3,
n = 1.
P1 = ?
Искомая вероятность выражается интегралом (18Ф)
(1)
где (x) = n(x) – собственная волновая функция частицы. Для одномерной и прямоугольной потенциальной ямы (см. (19Ф))
(2)
где n = 1, 2, 3,…. В нашей задаче n = 1, т. к. частица находится в основном состоянии. Найдем вероятность нахождения частицы в области 0 < x < l/3, используя (1). В нашем случае x1= 0, x2 = l/3. Тогда с учетом (2)
(3)
Используя соотношение sin2α = (1 – cos2α)/2, где α = πx/l, вычислим интеграл (3):

Нашли вероятность нахождения частицы в области 0 < x < l/3.
Пример 12. Сколько ядер распадается в радиоактивном изотопе церия массой m = 1,0 мг в течение времени t1 = 1,0 c, t2 = 1,0 год? Период полураспада церия Т = 285 сут.
Решение
m = 1,0 мг = 1,0.10–6кг,
t1 = 1,0 c,
t2 = 1,0 год,
Т = 285 сут. = 2,46.107с.
∆N1, ∆N2 = ?
Число ядер, распавшихся за время t, находится по формуле
∆N = N0(1 – е– λt). (1)
Здесь N0 – число ядер в начальный момент времени, которое можно выразить через массу изотопа m, постоянную Авогадро NA = 6,02.1023 моль–1 и молярную массу церия М = 0,14 моль–1
(2)
Постоянная распада λ в формуле (1) равна (см. (24Ф))
λ = ln2/Т. (3)
Если промежуток времени t намного меньше периода полураспада Т, то число распавшихся за это время ядер находиться по формуле (см. (25Ф))
∆N = λN0 t. (4)
Таким образом, для времени t = t1 << T можно пользоваться формулой (4), которая с учетом (2) и (3), примет вид:
(5)
Подставляя сюда числовые данные, получим:
∆N1 = 1,2.1012 ядер.
Для времени распада t2 = 1,0 год необходимо пользоваться формулой (1), которая с учетом (2) и (3) запишется:
(6)
Для упрощения числового расчета воспользуемся соотношением eln2 = 2. Тогда

Произведя вычисления, найдем:
∆N2 = 2,5.1018ядер.
Пример 13. Найти массу m1 изотопа урана 238U, имеющего такую же активность, как изотоп стронция 90Sr массой m2 = 1,00 мг.
Решение
m2 = 1,00.10–6 кг,
а1 = а2 = а.
m1 = ?
Активность радиоактивного изотопа равна числу ядер, распавшихся за единицу времени
а = – dN/ dt, (1)
где N – число нераспавшихся ядер в момент времени t. Знак минус означает, что число N уменьшается. Используем закон радиоактивного распада (22Ф)
N = N0e – λt , (2)
где N0 – первоначальное число ядер в момент времени t = 0; λ – постоянная радиоактивного распада, выражается через период полураспада T (см. (24Ф))
λ = ln2/T. (3)
Продифференцируем уравнение (2) и полученный результат подставим в (1)
а = N0λe– λt,
или с учетом (2) имеем
а = λN. (4)
Число нераспавшихся ядер N можно выразить через массу изотопа m, постоянную Авогадро NA и молярную массу M
N = mNA/M. (5)
Подставляя (3) и (5) в (4), получим:
а=mNAln2TM. (6) По условию задачи активность урана а1 равна активности стронция а2. Тогда, используя (6), имеем:

откуда найдем искомую массу стронция
(7)
Подставляя сюда, взятые из таблиц периоды полураспада и молярные массы урана (T1, M1) и стронция (Т2, М2), получим ответ:
m1 = 435 кг.
Пример 14. Найти энергетический выход (тепловой эффект) реакции 10B (n, α) 7Li, протекающей в результате взаимодействия медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора. Найти также кинетические энергии продуктов реакции.
Решение
10B (n, α) 7Li.
Q = ?, EHе = ?, ELi = ?
В развернутом виде заданная реакция запишется
(1)
В соответствии с этой реакцией покоящееся ядро бора поглощает медленный нейтрон получившееся ядро испускает α-частицу (ядро гелия), и превращается в ядро лития Энергетический выход реакции Q находится из формулы (32Ф)
Q = (m1+ m2 – m3 – m4) c2. (2)
В нашей задаче m1 = mB – масса атома бора; m2 = mn – масса нейтрона; m4 = mHe – масса атома гелия; m3 = mLi – масса лития. Тогда (2) запишется:
Q = (mB+mn – mLi – mHe) c2. (3)
Если массы атомов и частиц в этом уравнении выразить в атомных единицах массы (а. е. м.) и воспользоваться соотношением c2 = 931 МэВ/а. е. м., то энергетический выход реакции будет выражен в МэВ. Используя табличные данные, из (3) получим:
Q = 2,80 МэВ.
Для нахождения кинетической энергии продуктов реакции (1) необходимо учесть, что покоящееся ядро бора взаимодействует с медленным нейтроном. Следовательно, кинетической энергией этих частиц можно пренебречь, и в соответствии с законом сохранения энергии, энергетический выход реакции Q будет равен сумме кинетических энергий продуктов реакции
ELi+EHe = Q . (4)
Суммарный импульс частиц до реакции равен нулю, т. к. ядро бора покоилось, а нейтрон медленный. Следовательно, суммарный импульс частиц после реакции также равен нулю
рLi + рHe = 0.
Отсюда следует, что импульсы частиц направлены в противоположные стороны и равны по модулю
рLi = рHe . (5)
Ядра лития и гелия считаем нерелятивистскими (v << c) , следовательно, их импульсы равны

где mLi, mHe – массы ядер лития и гелия, которые с достаточной для нас точностью равны массам соответствующих атомов. Используя (5), получим:
mLi ELi = mHe EHe . (6)
Из уравнений (4), (6) найдем искомые энергии

Округляя массы ядер (или атомов) mLi , mHe , взятые из таблицы, до целых чисел и, используя найденное значение Q, получим числовые значения кинетических энергий:
ELi = 4Q/11 = 1,02 МэВ,
EHe= 7Q/11 = 1,78 МэВ.
Пример 15. Найти полезную мощность Pпол атомной электростанции, расходующей за сутки уран 235U массой m = 0,10 кг, если к. п. д. электростанции η = 16%. Энергия, выделяемая при распаде одного ядра урана, E0 = 200 МэВ.
Решение
m = 0,10 кг,
t = 8,64.104 с,
η = 0,16,
E0 = 3,20.10–11 Дж.
Pпол = ?
Выразим к. п. д. электростанции через полезную Pпол и затраченную Pзатр мощности
(1)
Мощность Pзатр находится как энергия, выделяемая за 1 с при распаде N ядер урана, содержащихся в заданной массе,
Рзатр= E0N/t. (2)
Число ядер N равно числу молей ν = m/M, умноженному на постоянную Авогадро NA (см. (27Ф))
(3)
где M – молярная масса урана 235U. С учетом (2), (3) к. п. д. (1) равен

откуда искомая полезная мощность

Таблица вариантов к контрольной работе №4
Таблица содержит варианты для специальностей, учебными планами которых предусмотрено четыре контрольных работы
Вариант Номера задач
1 2 3 4 5 6
0 401 411 421 431 441 451
1 402 412 422 432 442 452
2 403 413 423 433 443 453
3 404 414 424 434 444 454
4 405 415 425 435 445 455
5 406 416 426 436 446 456
6 407 417 427 437 447 457
7 408 418 428 438 448 458
8 409 419 429 439 449 459
9 410 420 430 440 450 460
Задачи для самостоятельного решения
401. Определить поток энергии, излучаемой Солнцем, считая его абсолютно черным телом. Температура поверхности Солнца Т = 5800 К, его радиус rс = 6,95.108 м.
402. Найти плотность потока солнечного излучения вблизи поверхности Земли (за пределами ее атмосферы), принимая Солнце за абсолютно черное тело с температурой поверхности Т = 5800 К. Радиус Солнца rc = 6,95.108 м, радиус земной орбиты r = 1,5.1011 м.
403. Энергетическая светимость абсолютно черного тела R* = 3,0 Вт/см2. Найти длину волны, соответствующую максимуму испускательной способности этого тела.
404. В электрической лампочке мощностью Р = 25 Вт температура спирали Т = 2450 К. Отношение энергетической светимости спирали к энергетической светимости абсолютно черного тела при данной температуре k = 0,30. Найти площадь излучающей поверхности спирали.
405. Тело нагрели до температуры Т = 2900 К. Мощность излучения с единицы поверхности тела R = 200 Вт/см2. Найти отношение энергетической светимости этого тела к энергетической светимости абсолютно черного тела.
406. Найти температуру тела, если с площади его поверхности S = 6,0 см2 излучается поток энергии Ф = 34 кВт. Тело считать абсолютно черным.
407. Абсолютно черное тело находится при температуре Т1 = 2900 К. В результате его охлаждения длина волны, на которую приходится максимум испускательной способности, изменилась на = 9,0 мкм. До какой температуры Т2 охладилось тело?
408. Максимум испускательной способности Солнца приходится на длину волны m = 0,48 мкм. Найти массу, теряемую Солнцем за 1 с в результате излучения. Считать Солнце абсолютно черным телом. Радиус Солнца rс = 6,95.108 м.
409. Поток, излучаемый абсолютно черным телом, Ф = 100 кВт. Найти площадь излучающей поверхности, если максимум испускательной способности приходится на длину волны m = 0,60 мкм.
410. Медный шарик диаметра d = 1,2 см поместили в откачанный сосуд, температура стенок которого поддерживается близкой к абсолютному нулю. Начальная температура шарика Т0 = 300 К. Считая поверхность шарика абсолютно черной, найти, через сколько времени его температура уменьшится в = 2,0 раза.
411. На поверхность металла падает свет с длиной волны λ = 0,36 мкм и мощностью Р = 6,0 мкВт. Найти фототок насыщения, если = 5,0% падающих фотонов выбивает из металла электроны.
412. Найти красную границу фотоэффекта для цинка и максимальную скорость фотоэлектронов, вырываемых с его поверхности
электромагнитным излучением с длиной волны λ = 250 нм.
413. При поочередном освещении поверхности металла светом с длинами волн λ1 = 0,35 мкм и λ2 = 0,54 мкм было обнаружено, что соответствующие максимальные скорости фотоэлектронов отличаются друг от друга в η = 2,0 раза. Найти работу выхода с поверхности этого металла.
414. До какого максимального потенциала зарядится удаленный от других тел медный шарик при облучении его электромагнитным излучением с длиной волны λ = 140 нм?
415. Найти частоту света, вырывающего с поверхности металла электроны, которые полностью задерживаются напряжением Uз = 3,0 В. Красная граница фотоэффекта ν0 = 6,0.1014 Гц. Найти работу выхода электронов из этого металла.
416. Фотоны с энергией Еф = 4,9 эВ вырывают электроны из металла с работой выхода А = 4,5 эВ. Найти максимальный импульс, передаваемый поверхности металла, при вылете каждого электрона.
417. Фотокатод освещается излучением длиной волны = 83.нм. Красная граница фотоэффекта 0 = 333 нм. На какое максимальное расстояние от поверхности катода может удалиться фотоэлектрон, если вне электрода имеется однородное задерживающее электрическое поле напряженностью Е = 750 В/м?
418. При увеличении частоты падающего на металл света в два раза задерживающее напряжение увеличивается в три раза. Частота первоначально падающего света = 1,21015 Гц. Определить красную границу фотоэффекта для данного металла.
419. На фотокатод с работой выхода А1 = 6,3 эВ падает излучение. Для прекращения фототока необходимо приложить задерживающее напряжение U1 = 3,7 В. Если фотокатод заменить другим, то задерживающее напряжение U2 = 6,0  В. Определить работу выхода электронов из второго фотокатода.
420. В сферическом сосуде, из которого откачен воздух, помещены два электрода из цинка (рис. 17). К ним подсоединен конден-
С
Рис. 17
сатор емкостью С = 3,5 мкФ. Один из электродов освещается светом с длиной волны λ = 0,25 мкм. Какой заряд будет находиться на конденсаторе при длительном освещении электрода?
421. Фотон с энергией = 1,0 МэВ рассеялся на свободном покоившемся электроне. Найти кинетическую энергию электрона отдачи, если в результате рассеяния длина волны фотона изменилась на η = 25 %.
422. Фотон с длиной волны = 6,0 пм рассеялся под прямым углом на покоившемся свободном электроне. Найти частоту рассеянного фотона и кинетическую энергию электрона отдачи.
423. Фотон с импульсом Р = 1,02 МэВ/с, где с – скорость света, рассеялся на покоившемся свободном электроне, в результате импульс фотона Рʹ = 0,255 МэВ/с. Под каким углом рассеялся фотон?
424. Фотон рассеялся под углом θ = 120о на покоившемся свободном электроне, в результате чего электрон получил кинетическую энергию Ек = 0,45 МэВ. Найти энергию фотона до рассеяния.
425. Найти длину волны комптоновского излучения, если максимальная кинетическая энергия электронов Емакс = 0,19 МэВ.
ν13
ν24
ν32
Е1
Е3
Е2
Е4
Рис. 18
426. На рис. 18 показаны несколько энергетических уровней электронной оболочки атома и указаны частоты фотонов, испускаемых и поглощаемых при переходах между этими уровнями. Найти длину волны фотона, при поглощении которого атом переходит с уровня Е1 на уровень Е4. Частоты фотонов, показанных на рисунке, ν13 = 6.1014 Гц, ν24 = 4.1014 Гц, ν32 = 3.1014 Гц.
427. В однозарядном ионе лития электрон перешел с четвертого энергетического уровня на второй. Определить длину волны λ излучения, испущенного ионом лития.
428. Фотон выбивает из атома водорода, находящегося в основном состоянии, электрон с кинетической энергией Ек = 10 эВ. Определить энергию ε фотона.
429. Вычислить энергию фотона, испускаемого при переходе электрона в атоме водорода с третьего энергетического уровня на первый.
430. Фотон с энергией Е = 16,5 эВ выбил электрон из невозбужденного атома водорода. Какую скорость будет иметь электрон вдали от ядра атома?
431. Атом водорода в основном состоянии поглотил фотон с длиной волны = 0,12 мкм. Определить радиус электронной орбиты возбужденного атома водорода.
432. Найти длину волны, соответствующую третьей спектральной линии в серии Бальмера.
433. Найти наибольшую и наименьшую длины волн в первой инфракрасной серии спектра водорода (серии Пашена).
434. Определить наибольшее и наименьшее значения энергии фотона в ультрафиолетовой серии спектра водорода.
435. Найти наименьшую и наибольшую длины волн спектральных линий водорода в видимой области спектра (серия Бальмера).
436. Найти отношение минимальной энергии фотона в серии Лаймана к максимальной энергии фотона в серии Бальмера.
437. Покоившийся атом водорода испустил фотон, соответствующий первой линии ультрафиолетовой серии (серии Лаймана). Какую скорость приобрел атом?
438. Покоящийся ион гелия Не+ испустил фотон, соответствующий первой линии серии Лаймана. Этот фотон выбил фотоэлектрон из покоящегося атома водорода, который находился в основном состоянии. Найти скорость фотоэлектрона.
439. Найти длину волны де Бройля для электрона, движущегося со скоростью: а) v1= 1,0 Мм/с; б) v2 = 200 Мм/с.
440. Найти длину волны де Бройля для электрона, имеющего кинетическую энергию: а) Е1 = 10 эВ; б) Е2 = 3,0 МэВ.
441. Найти длину волны де Бройля для электронов, прошедших разность потенциалов U1 = 1,0 В и U2 = 1,0 МВ.
442. Заряженная частица, ускоренная разностью потенциалов U = 200 В, имеет длину волны де Бройля = 2,02 пм. Найти массу m частицы, если ее заряд численно равен заряду электрона.
443. С какой скоростью движется электрон, если дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?
444. При каком значении кинетической энергии Ек дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?
445. Предполагая, что неопределенность координаты движущейся частицы равна ее дебройлевской длине волны, найти относительную погрешность р/р импульса этой частицы.
446. Электрон с кинетической энергией Ек = 15 эВ находится в металлической пылинке диаметром d = 1,0 мкм. Найти относительную погрешность v/v, c которой можно определить скорость электрона.
447. Найти относительное уширение спектральной линии /, если время жизни атома в возбужденном состоянии = 10–8 с, и длина волны излучаемого фотона = 0,60 мкм.
448. Используя соотношение неопределенностей Е.t ћ, оценить уширение энергетического уровня в атоме водорода, находящегося: а) в основном состоянии; б) в возбужденном состоянии. Время жизни атома в возбужденном состоянии = 10–8 с.
449. Частица находится в бесконечно глубокой, одномерной, прямоугольной потенциальной яме. Найти отношение разности энергий ΔEn соседних энергетических уровней к энергии Еп частицы в случаях: 1) n = 2; 2) n = 4; 3) n = 7; 4) n→∞, где n – главное квантовое число. Сделать выводы.
450. Электрон находится в одномерной прямоугольной с бесконечно высокими стенками потенциальной яме. Найти ширину l потенциальной ямы, если разность энергий между уровнями с квантовыми числами n1 = 2 и n2 = 3 составляет ∆E = 0,30 эВ.
451. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найти вероятность нахождения частицы в области l/3 < x < 2l/3.
452. Найти удельную энергию связи ядер изотопов кислорода и лития .
453. Какая доля радиоактивных ядер кобальта, период полураспада которых Т = 71,3 сут, распадется за месяц?
454. Уран 238U массой m = 1,00 г излучает N = 1,24.104 альфа-частиц в секунду. Найти его период полураспада.
455. Активность некоторого радиоизотопа уменьшается в n = 2,5 раза за время t = 7,0 сут. Найти его период полураспада.
456. В начальный момент активность некоторого радиоизотопа а = 10,8 Бк. Какова будет его активность по истечении половины периода полураспада?
457. Определить возраст древних деревянных предметов, если удельная активность (активность единицы массы вещества) изотопа углерода 14С у них составляет η = 0,6 удельной активности этого же изотопа в только что срубленных деревьях. Период полураспада этого изотопа Т = 5570 лет.
458. Найти удельные активности (активность единицы массы вещества) изотопов натрия 24Na и урана 235U, периоды полураспада которых соответственно равны Т1 = 15 ч и Т2 = 7,1.108 лет.
459. Определить скорости продуктов реакции 10B (n, α) 7Li, протекающей в результате взаимодействия медленных нейтронов с покоящимися ядрами бора.
460. Мощность атомной электростанции Р = 5,0105 кВт и к. п. д. = 0,20. Определить расход урана 235U в течение t = 1,0 год и сравнить с годовым расходом каменного угля на тепловой электростанции той же мощности при таком же к. п. д.
461. Найти энергетический выход (энергию) следующих реакций: а) 9Ве (α, γ) 10Ве; б) 7Li ( α, n) 10В. Использовать табличные значения масс атомов легких изотопов (а. е. м.)
462. Определить к. п. д. двигателя атомного ледокола, если его мощность Р = 32 Мвт и в атомном реакторе расходуется за время t = 1,0 сут уран 235U массой m = 200 г. При делении одного ядра урана выделяется энергия Е0 = 200 МэВ.
463. В кровь человека ввели небольшое количество раствора, содержащего радиоизотоп натрия 24Na с активностью а = 2,0.103 Бк. Активность 1 см3 крови через t = 5,0 ч оказалась аʹ = 0,267 Бк/см3. Период полураспада данного радиоизотопа Т = 15 ч. Найти объем крови человека.
ПРИЛОЖЕНИЯ
1. Основные физические константы
Скорость света в вакууме с = 3,00.108 м/с
Постоянная Авогадро NA = 6,02.1023 моль–1
Молярная газовая постоянная R = 8,31 Дж/(К.моль)
Постоянная Больцмана k = 1,38.10–23 Дж/К
Элементарный заряд e = 1,60.10–19 Кл
Масса электрона me = 9,11.10–31 кг
Масса протона mp = 1,672.10–27 кг
Масса нейтрона mn = 1,675.10–27 кг
Масса α-частицы mα = 6,64.10–27 кг
Постоянная Планка h = 6,63.10–34 Дж.с
ћ = 1,05.10–34 Дж.с
Постоянная Стефана – Больцмана σ = 5,67.10–8 Вт/(м2 К4)
Постоянная закона смещения Вина в = 2,90.10–3 м.К
Постоянная Ридберга R = 1,10.107м–1
Радиус Бора r0 = 5,31.10–11 м
Комптоновская длина волны для электрона λк = 2,43.10–12 м
Электрическая постоянная ε0 = 8,85.10–12 Ф/м
Атомная единица массы 1 а. е. м. = 1,66.10–27 кг
2. Работа выхода электрона из металлов
Металл А, эВ А, Дж
Цинк 3,7 5,9.10–19Медь 4,47 7,2.10–19
Платина 5,3 8,5.10–19
3. Периоды полураспада радиоизотопов
Актиний 225Ac 10 сут = 8,64.105с Радон 222Rn 3,8 сут = 3,28.105с
Йод 131J 8 сут = 6,9.105с Стронций 90Sr 28 лет = 8,85.108с
Иридий 192I 7,5 сут = 6,5.106с Уран 238U 4,5.109лет = =1,4.1017с
Кобальт 60Co 5,3 года=1,7.10 8 с Фосфор 32P 14,3 сут = =1,24.106с
Радий 226Ra 1620 лет = =5,12.1010 с Церий 144Ce 285 сут = =2,46.107с
4. Массы атомов легких изотопов (а. е. м.)
Изотоп Масса, а. е. м. Изотоп Масса, а. е. м.
Нейтрон 10n 1,00867 Бериллий 74Be 7,01693
Водород 11H
21H 1,00783
2,01410 Бор 105B 10,01294
Гелий 42He 4,00260 Азот 147N 14,00307
Литий 73Li 7,01600 Кислород 168О 15,99491

Содержание
Предисловие………………………………….……………………………………. 3
программа курса физики для инженерно-технических специальностей
заочного отделения вуза. Часть II……………………………….……………..….4
Библиографический список………………………………………………………..6
Контрольная работа № 3………………………………………...…………………7
Электродинамика. Волновая оптика………………………………………………7
Основные формулы……………………………………………...…………………7
Примеры решения задач…………………………………………………..……...14
Таблица вариантов к контрольной работе № 3…………………………………30
Задачи для самостоятельного решения …………………………………………30
Контрольная работа № 4………………………………………………………….39
Квантовая оптика. Атомная и ядерная физика...………………...……………...39
Основные формулы…………………………………………………..………….. 39
Примеры решения задач………………………………………………………….45
Таблица вариантов к контрольной работе № 4…………………………………60
Задачи для самостоятельного решения …………………………………………60
Приложения………………………………………………..……………………...68

Учебное издание
Голованова Татьяна Николаевна;
Штеренберг Александр Моисеевич
Сборник задач по физике и примеры их решения
Редактор Н.В.Вершинина
Технический редактор Г.Н.Шанькова
Подписано в печать
Формат 60х84/16. Бум.типогр.№ 2.Печать офсетная
Усл.п.л. Усл.кр.-отт. Уч.-изд.л.
Тираж 150 экз. С-83
Государственное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
Самарский государственный технический университет
443100, Самара, ул. Молодогвардейская, 244. Главный корпус

Приложенные файлы

  • docx 739404
    Размер файла: 622 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий