Пиголкина Т.С. (сост.)-Математика. Планиметрия. Задание №2 для 11-х классов


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
образовательное
физико
техническая
физико
института
классов
(2013 – 2014
учебный
Долгопрудный
, 2013
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
Пиголкина
доцент
кафедры
высшей
математики
Математика
учебный
2013, 32
Дата
отправления
заданий
физике
математике
– 28
октября
2013
Составитель
Татьяна
Сергеевна
03.07.13.
Формат
60×90 1/16.
типографская
Печать
офсетная
. 2,0.
. 1,77.
1000.
Заочная
физико
техническая
школа
Московского
технического
государственного
университета
ООО
Печатный
ШАНС
., 9,
Долгопрудный
Москов
., 141700.
факс
(495) 408-51-45 –
заочное

(498) 744-63-51 –
заочное

. (499) 755-5580 –
ое
e-mail: [email protected]
www.school.mipt.ru
, 2013
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
планиметрических
всех
уделяется
задач
задач
изучение
частности
активным
Ведь
задача
некоторый
пусть
небольшое
открытие
принуждены
вашем
уме
ку
воспользоваться
немецкого
столетия
афоризмами
если
хотите
научиться
задачи
навыки
учитесь
решения
учебнике
нашем
решения
учатся
всему
уйте
получится
состоит
четырɺх
параграфов
параграфе
подобия
треугольников
решается
несколько
повторяются
свойства
биссектрис
угольника
посвящɺн
свойствам
касательных
хорд
секущих
описанных
четырɺхугольников
параграфе
рассматривается
применение
сов
косинусов
задачи
решение
требует
применение
темы
заданиях
классах
поэтому
утверждения
здесь
приводятся
без
казательства
поступил
рекомендуется
казать
самостоятельно
кто
учится
задач
тех
приведены
оканчивается
контрольными
задачами
оценены
трудности
указаны
скобках
звɺздочка
трудные
задачи
правильный
задачи
ставится
полное
ошибки
снимается
заданием
рекомендуется
начать
внимательного
самостоятельного
после
ознакомления
всех
задач
Ответы
контрольные
ет
давать
ссылками
соответствующие
учебника
дан
задания
случае
быть
контрольные
Можно
утверждать
треугольник
биссектриса
медианой
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
Ответ
Пусть
угольнике
ABC
биссектриса
является
AMMC
биссек
отложим
отрезок
Треугольники
ABM
CDM
первому
углы
вершине
как
вертикальные
MCM
MMD
треугольников
следует
CDAB
(1)
CDMABM

BMCBM
CDMCBM
треугольнике
углы
треугольник
CCD.
Отсюда
заключаем
CAB
Могут
треугольника
меньше
радиус
окружности
больше
Ответ
могут
лежащей
окружности
радиуса
дугой
радиуса
лежащие
окружности
1/2
ACCB
Треугольник
окружность
радиуса
наибольшая
ABACBC
через
окружности
вести
Ответ
Нет
Действительно
предположим
хорды
окружности
равны
точки

уда
лежат
окружности
точке
окружности
центрами
могут
двух
предположение
111
ABCABC
ABAB
CBC
CC
Ответ
треугольники
111
ABC
которых
видеть
111
ABCABC
ΔzΔ
ACAC
21
. 2
.3
. 4
. 1
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
утвердительном
доказательство
утверждение
вопрос
конкретный
заданных
условий
отрицательном
ответе
надо
привести
рассуждения
приводящие
противоречию
заданных
условий
аксиоме
теореме
определению
как
ответе
3),
построить
пример
как
ответе
вопрос
4).
повторения
§1 – 3
заключительном
обсудим
важность
хорошего
сунка
переменных
допускаемых
учащимися
абитуриентами
Это
решением
Вам
полезны
при
подготовке
Подобие
треугольников
Отношение
площадей
подобных
треугольников
Свойства
биссектрис
фигуры
'
друг
друга
преобразованием
преобразованием
расстояния
двумя
изменяются
увеличи
ваются
уменьшаются

'
Напомним
угольников
ABC
111
ABC
предполагается
преобразованием
соответствующих
местах
.
.
A


,

свойств
следует
подобных
фигур
соответствующие
углы
соответствующие
отрезки
пропорциональны
частности
если
111
ABC
∠=∠
,
,
111111
ABBCAC
ABBCAC
Признаки
подобия
треугольников
треугольника
угла
двум
углам
другого
одного
пропорциональны
двум
сторонам
другого
углы
стороны
треугольника
пропорциональны
другого
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
признаков
следует
утверждения
удобно
задач
одной
сторон
треугольника
пересекающая
другие
различных
точках
отсекает
треугольник
подобный
данному
одной
сторон
треугольника
пересекающая
другие
стороны
отсекает
отрезки
пропор
циональные
данным
сторонам
если
NAC
mpmp
nqnq
прямая
пересекает
стороны
треугольника
отсека
них
пропорциональные
отрезки
она
третьей
стороне
рис
mmp
nnq

mp
nq

параллельна
доказательство
было
для
класса
).
проходящая
сечения
диагоналей
пересекает
трапеции
длину
трапеции
Пусть
пересечения
диагоналей
. 6).
Обозначим
,,,,
ADaBCbMOxBOpODq
=====
двум
углам
BCAD
BOCDOA
+∼+
MOAD
MBOABD
apq
следует
,
/1
pqab
xaa
qpqab
===

.
ab
MO
ab
. 5
. 6
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
Аналогично
устанавливаем
ab
,

ab
ab
Результат
задачи
как
утверждение
трапе
следует
доказанную
высоты
треугольника
пересека
произведение
отрезков
одной
высоты
отрезков
другой
высоты
HABH
HABHBA
HBAH
ΔΔº
AHHABHHB
⋅=⋅
Попутно
AHBC
∠=∠
пересекаются
. 7),
AHHA
HHB
косинус
угла
ACB
площадь
треугольника
ABC
ACa
HAxHBy
середина



H



средняя
2
a
MN
2.
HNx
HANAAC
HNa
ACx
ΔΔº
MHHN
ABBCa
Треугольник
ABC
равнобедренный
ABBC
90,
BCC
∠=∼
HAAHBC
∠=∠=∠
HABH
HABHBA
HBAH
ΔΔº
AHHABHHB
⋅=⋅
высоты
угольника
пересекаются
произведение
другой
).
B
C
H
. 7
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина

3,3,coscos.
xxyyyxCAHB
⋅=⋅==∠==
:3,
AHBABxy
Δ=∼
2
4
a

2622
ABC
SACBBay
=⋅==
Справедливо
следующее
утверждение
продолжения
высот
тупоугольного
треугольни
пересекаются
точке
AHHABHHB
⋅=⋅
фигур
фигурах
все
соответствующие
линейные
элементы
пропорциональны
отноше
ние
периметров
подобных
треугольников
отношению
соответствующих
сторон
Или
например
треугольниках
радиусов
вписанных
окружностей
также
описанных
ружностей
длин
сторон
следующую
прямоугольном
треугольнике
угла
Радиусы
окружностей
треугольники
ACD
радиус
окружности
треугольник
ABC
Обозначим
радиус
ABc
ACb
подобия
прямо
угольных
треугольников
ACD
ABC
равные
углы
rb
откуда
Прямоугольные
треугольники



,

откуда
222
cba
=
квадрат
.
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
складывая
получим
222
ccc
⎛⎞⎛⎞
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
12
2
r
rrr
площади
подобных
фигур
относятся
как
соответствующих
линейных
элементов
треугольников
утверждение
сформулировать
площади
подобных
тре
угольников
относятся
как
квадраты
соответствующих
характерную
эту
тему
Через
лежащую
внутри
треугольника
проведены
раллельные
лись
треугольника
угольника
ABC
видеть
треугольники
PMN
треугольнику
ABC
Пусть
треугольника
SAC
SAC
SAC
=
AC
S
,
=
S
AC
S

.
.
MAP
FNC

MPNMFAPPNNCAC
==
SSS
откуда
следует
123
SSS
классов
были
следующие
медианах
треугольника
пересекаются
одной
точкой
пересечения
каждая
отношении
вершины
. 9
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
10
медианы
пересекаясь
треугольник
тре
угольников
вершиной
площади
которых
. 10
треугольников



,

ABC
пересечения
называется
тяжести
треугольника
).
высоты
треугольника
или
три
прямые
которых
лежат
высоты
пересекаются
одной
точке
Эта
точка
называется
орто
центром
соединить
основания
двух
треугольни
образуется
треугольник
подобный
ABC
равен
cos
угол
угол
тупой
10
. 13
. 12
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
11
Биссектриса
угла
треугольника
противолежа
щую
сторону
отрезки
пропорциональные
прилежащим
сторо
нам
если
биссектриса
треугольника
ABC
DAB
CAC
треугольнике
расстояние
пересечения
сечения
биссектрис
треугольника
треугольнике
является
биссектрисой
пересечения
медиан
точка
ресечения
биссектрис
лежат
.

медиан



.
.
2
3
BD
биссектриса
угла
пересекает




биссектриса
угла
треугольнике
теореме
OAB
ODAD
AB

4
OD

93
расстояние
делении
правило
такие
задачи
проведением
параллельной
рассекающей
пересечении
угла
параллельными
таких
задач
даɺт
далее
формулировку
тельство
уже
).
Точка
лежит
треугольника
пересекаются
точке
отношение
AOOD
если
:1:3
AKKB
:2:3
BDDC
. 14
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
12
Расставим
рисунке
рисунок
SCK
Рассматриваем
треугольник
SCK
утверждению
стр
следует
KSKBCDCB
откуда
KSxx
=⋅=
рисунке
удобно
сделать
один
рисунок
рисунке
прямую
отметить
треугольнике

SDKO
утверждению
AOODAKKS
откуда
:5:9
AOOD
треугольнике
секущей
расположенные
сторонах
треугольника
точка
положенная
продолжении
стороны
точку
одной
прямой
тогда
толь
тогда
когда
имеет
место
равенство
111
111
ACBACB
CBACBA
(*)
Пусть
111


.
CKAB
ACK
ABC
CBBA
ΔŸ=
ACBA
BCK
CKBC
ΔŸ=
перемножив
получим
111
111
ACACBA
CBBACB
откуда
следует
111
111
ACBACB
CBACBA
. 14

. 14

. 15

2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
13
последо
вательность
взятия
движение
чинается
точке
ней
заканчивает
).
Пусть
две
точки
значаем
лежат
одной
211
211
ACBACB
CBACBA
Сравнивая
устанавливаем
ACAC
CBCB
6 (
треугольник
секущую
три
: ,,
KOC
BKAODC
KAODCB
.
.
xAOy
xODy
откуда
.
9
OD
.
условиях
требуется
опреде
какую
часть
треугольника
составляет
например
угольника
KODB
сначала
задачу
деле
найти
например
AOOD
затем
использовать
что
треугольников
одинаковыми
высотами
как
ABCADC
SSSS
5
CBC
99327
1414570
OCDADC
SSSS
===
ODAD
4
.
.
4
KAB
поэтому
32751
470140
KODBKCBOCD
SSSSSS
=∼=∼=
. 15

2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
14
Свойства
касательных
хорд
секущих
Вписанные
описанные
четырɺхугольники
Свойство
свойство
касательных
точки
окружности
касательные
отрезков
точки
точек
касания
прямая
проходящая
центр
окружно
эту
точку
угол
касательными
пополам
Используя
следующую
треугольника


,

CDb
Окружности
угольники
касаются



.


Пусть
касания
окружностей
треугольника
PQE
. 17).

,,
MzMNx
касательных
QDxy
(),
AQAPaxy
=∼
CCFby
==∼
PBBMz
FBNzx
==
боковые
ABzaxy
=∼∼
Czxby
∼
условию
BBC
получим
zaxyzxby
∼∼=∼
откуда

суждая
ba
:
. 16
P
E
C
M
F
B
. 17
x
y
x
)
+
xy
)
+
z
z
+
b
b
. 17

2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
15
Четырɺхугольник
называется
описанным
окружности
окружность
касается
всех
выпуклый
четырɺхугольник
ружность
только
тогда
когда
противолежащих
сторон
Пусть
четырɺхугольник
ABCD
описан
окружности
касательных
AMANNBBP
PCCQ
QDDM
поэтому
AMMDBP
PCANNBCQQD
=
ADBCABCD
утверждение
Пусть
выпуклом
четырɺхуголь
ABCD
удовлетворяют
условию
ABCDBCAD
=
ADa
ABb
CDd
условию
acbd
равносильно
cbda
∼=∼
Пусть
Отложим
большей
меньшую
сторону
DMa
случае
также
отложим
получим
три
треугольника
ABN
CN.
равнобедренном
треугольнике
биссектриса
угла
является
медианой
высотой
следует
биссектрисы
углов
CB
AN,MN
будут
перпендикулярны
биссектрисы
будут
перпендикулярами
треугольника
ANM
пересекаются
Обозначим
эту
точку
удалена
лежит
лежит
следовательно
удалена
четырɺхугольника
ABCD
является
окружности
Случай
самостоя
трапеция
описана
окружности
радиус
окружности
оснований
Пусть
ABCD
ADa
. 20).
. 18
. 19
. 20
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
16
ABCD
окружности
следовательно
ABCD
ADBC
получаем
ABCD

перпендикулярно
Трапеция
равнобокая
углы
следовательно
треугольники
DCN
AMND

BCN
прямоугольник
NBCb
поэтому
ADBCab
∼=∼
прямоугольного
треугольника
ABM
высоту
ABCD
abab
MABAM
ab
⎛⎞⎛⎞
=∼=∼=
⎜⎟⎜⎟
⎝⎠⎝⎠
окружности
радиус
вписанной
окружности
rab
Очень
задача
Заметим
следует
ab
ab
Свойство
угол
касательной
образованного
хордой
имеющими
общую
точку
равна
градусной
между
Рассматриваем
угол
касательной



AB
.

O
окружности
=90
OBA
Сумма
углов
угольника
180º,
следовательно
угол
,
внимание
угол
углу
опирающемуся
дугу
Случай
аналогично
свойства
следует
важная
касательной
секу
используется
при
задач
Пусть
окружности
проведены
секущая
пересекающая
окружность
. 21
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
17
. 22).
справедливо
BMC
точки
окруж
ности
касательная
секущая
квадрат
отрезка
касательной
точки
точки
касания
произведению
секущей
точки
точек
сечения
окружностью
касательной
ABC
треугольниках


угол
углам
подобия
следует
AMC
BMA
Откуда
получаем
BMC
Следствие
точки




-
:
B,
C,
K,
точке
BMCMKML
⋅=⋅
касательную
доказанной
AMBMC
AMKML
следовательно
BMCMKML
Окружность
трапеции
ABCD
касается
пересекает
основание
Известно
радиус
окружно
Пусть
AKx
ADx
секущей
ABAKAD
.75(10)
откуда
угол
ABD
касательной
вписанному
углу
прямых
следует
углов
2.
первому
DCB
ABADBD
CDBDBC
последнего
DADBC
,
.
.
BDADBC
=⋅=
ABBD
. 22
D
C
10
1
x
. 23
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
18
KBCD
KBCD
трапеция
222
KBBDKD
KBD
окружности
радиус
Пусть
биссектриса
треугольника
. 24),
тогда
ADABACDBDC
=⋅∼⋅
сунка
ADbcxy
около
треугольника
окружность
прямой
окружности
около
треугольника
окружность
прямой
окружности
Обозначим
ADzDKm
ABD
ABDAKC
∠=∠
подобия
следует
ABAD
AKAC
zmb
откуда
zzmbczbczm
==∼
ADDKBDCD
⋅=⋅
zmxy

zbcxyzbcxy
=∼=∼
четырɺхугольника
описать
окружность
тогда
только
тогда
когда
сумма
противолежащих
углов
180.
следует
всех
параллелограммов
около
прямоугольника
окружность
трапеции
описать
окружность
равнобокая
треугольнике
ABC
биссектрисы
пересекаются
точке
. 25).
вестно
,O,D
лежат
окружности
Найти
угольника
ABO
2
. 24

. 24
. 25
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
19
DOFAOB
2
(
A
+
Четырɺхугольник
DOFC
вписан
окружность
DOFC
∠=∼∠
.
.
2
(
A
+
C
откуда
учитывая
что
C
=
C
=
заметим
пересечения
биссектрис
биссектриса
угла
следовательно
OCD
OCF
друг
другу
вписанные
углы
поэтому
углы
друг
другу
2
C
=
6
Треугольник
основанием
=
высоту
опущенную
треугольника
2
косинусов
синусов
Применение
тригонометрии
решению
геометрических
треугольнике
ABC
стороны
противолежащие
углам
Справедливы
две
устанавли
вающие
соотношения
между
углами
треугольника
утвер
ждения
кратко
теорема
косинусов
222
abab
=∼
cos ;
теорема
синусов
sinsinsin
abc
ABC
===
применяются
Доказать
сумма
квадратов
диагоналей
сумме
квадратов
сторон
Пусть
ABCD
диагоналей
равны
ACd
ABDCaBDd
. 26).
180

-
M
a
b
A
D
. 26
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
20
угольников
ACD
косинусов
будем
222
2cos180
dabab
∼∼
Складывая
равенства
учитывая
,cos
180cos
MM
∼=∼
получим
требуемое
равенство
2222
22.
ddab
=
Следствие
задачи
получить
выражение
треугольника
ba
Пусть
угольнике
ABDABa
ADb
DcAM
медиана
AMm
Достроим
треугольник
ABD
ABCD
воспользуемся
результатом
11,
получим
откуда
222
abc
12.
ABCD
взята


=
10

MMC
площадь
треугольника
Обозначим
длину
BAD
. 27).
условию
=
10
,
AM
=
10
треугольников
ABM
косинусов
получаем
=
10
–2
10
10
10
Приравниваем
части
условию
MMC

cos (180º –
cos


подобные
получаем
найденное
11


,

. 27
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
21
треугольнике
основание
MKBMBK
=∼=
96,
BMBC
площадь
треугольника
-
2
CMK
равнобедренном
треугольни
ABBC
биссектриса
радиус
треугольника
ABC
окружности
6.
основании
треуголь

DAC
синусов
угольника
следует
sin2sin
-

cos
3
:
cos22cos1

sin2
Вычисляем
сторону
coscos26.
ACAKKCADDC
===
следует
синусов
радиус
описанной
около
треугольника
окружности
быть
найден
равенства
2sin
.
.
153
2sin(1804)4sin2cos28
ααα
===
следующих
существенно
используется
знание
умение
урав
Подобные
задачи
рассматривались
классов
большинство
учащихся
обладало
знаниями
достаточном
задачах
качестве
неизвестной
выбирается
угол
задачи
известным
или
система
уравнений
является
всего
задачи
через
значения
функций
введɺнного
угла
K
C
D
B
. 28
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
22
14.
расположены
соответственно


остроугольного
треугольника
2
DC
10:1
1.
Обозначим
сторону
угольника
KAC
. 29).
Пусть
KAC
подобия
угольников
CBD
следует
112
NCDC
8
2.


MKF
прямоугольных
треугольников
AKN
дует
cos
ANAK

cos
FKMK
. 8cos

5cos
тригонометрического
уравнения
∼=
cos8cos5
получаем
cos43sin
tg
формуле
cos
1tg
cos
814
Площадь
треугольника
стороной

4
493
AMK
внимание
задаче
треугольник
повɺрнут
относительно
другого
промежуточной
введɺн
угол
.29
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
23
Окружность
проходит
вершины
треуголь
ABC




Известно

arcsin
ACB
Най
радиус
окружности
ACB

sin
угол
cos
радиус
окружности
поэтому
разумно
ввести
вписанный
угол
NBM
ANB
внешний
треугольника
этому
ANB
∠=
2.

радиус
окружности
2sin
ABR
2sin
MNR
получаем
систему
42sin
22sin
Исключая
уравнению
2sinsin

sinsincossincossincos,
MαMMααα
==
приводится
10sin4sin3cos,6sin3cos,tg.
αααααα
==
tg1
sin
1tg
2sin
замечание
задаче
угловая
величина
задана

arcsin
функции
arcsin

,
заданный
угол
острый
sin
условие
arcsin
равносильным
следует
поступать
всех
задачах
условия
функций
для
величин
углов
если
угол
задан
arccos
тупой
угол
cos
sin
могут
найдены
окажется
cos2
sin
. 30
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
24
учащиеся
проводя
задачи
виде
ставляя
данные
лишь
конце
получают
например
длины
3sin2arccos
значение
записано
считается
доведɺнным
конца
задачи
угловая
величина
задана
значением
функции
содержать
значения
тригонометриче
функций
является
углом
заключение
параграфа
задачу
угла
угольника
имание
требует
условием
задачи
треугольнике
-
пересекаются
. 31).
угол
известно
больше
AMOM
AMx
ABx
BAC
AOy
прямоугольных
треугольни
ABD
: cos
ADy
2cos2
ADx

2cos2
cos
Применяем
косинусов
треугольнику
учитывая
2222
MOxxyxy
==∼⋅
Подставляем
выражение
урав
виду
2cos12cos212cos2cos0
∼⋅=
αααα
ждество
2cos1cos2
получаем
6cos25cos210.

:
cos2

cos2
условию
2,2
BAC
значит
cos2

cos2cos
arccos
. 31
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
25
Рисунок
геометрической
заключении
обсуждавшемся
зада
рисунка
геометрических
задач
учащиеся
абитуриенты
рисунком
трудно
какие
какие
прямые
или
параллель
касание
е
кому
них
удаɺтся
задачу
большинстве
случаев
особенно
задачах
требующих
ряда
шагов
рассуждений
сунок
решению
способствует
успеху
восприятия
фиксирующий
размышлению
стать
задачи
подсказать
путь
. 27, 28, 29).
поэтому
рисунка
полезно
вдумчиво
Сначала
задачу
условия
геометрический
язык
руки
рисунок
отмечают
нɺм
если
есть
углы
пропорциональность
обдумав
изменить
рисунок
условиям
задачи
делают
аккуратный
достаточно
рисунок
уместились
значения
углов
данные
задачи
случаев
рисунок
получается
уже
решения
задачи
используются
условие
задачи
геометрической
словами
геометрические
устанавливаются
метрические
ABAKKB
AKPQ
.,
взглядом
увидеть
нужный
вывод
непросто
увидеть
рисунке
собственных
рассужде
терять
удаɺтся
рисунком
поиска
окончательном
изложении
задачи
ение
чаще
ссылками
курса
реже
дополнительным
рисунок
аккуратный
выполненный
циркулем
казывает
всɺ
увидено
логическое
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
26
задача
получается
упирается
ещɺ
связи
элементов
условию
задачи
вновь
обсудите
всего
сделаны
все
возможные
наши
рассуждения
нке
ним
примерами
двух
олимпиад
17.
Продолжения
треугольника
пересекают
описанную
окружность
точках
углы
треугольника
предварительный
рисунок
удобнее
всего
рисовать
окружно
EEC
DAE
следует
условия
ADAE


пересекаясь
делятся
пополам
свойству
пересекающихся
AEDEBECE
откуда
следует
AEBEDECE

удалена
ABD
окружно
окружности
следует

,

Поскольку
рассматриваться
установлено
AEDEBECE
===
удобно
ввести
AER
Обсудим
следующие
условия
задачи
3
NFC
Обозначим

задаче
есть
медианы
треугольника
значит
воспользоваться
свойством
секаясь
делятся
отношении
2 : 1,
Итак
если
AOR
COx
OFx
Выполняем
рисунок
учɺтом
всех
установленных
внимательно
еще
тановить
пересекая
. 32
. 33
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
27
делится
пересекающихся
хорд
ODCOON

.
3
откуда
9
треугольника
COA
ACxRR
==
треугольника
ABC
sin
Ответ
2

arcsin,
arcsin.
∠=∼
18.
ABCD
Расстояние
окружностей
треугольников
ACD
радиусы
окружностей
рисунок
рассуждать
условии
задачи
задано
центрами
установить
положение
Будем
что
четырɺхугольник
ABCD
характеризую
свойства
пересекаясь
делятся
пополам
перпендикулярны
друг
другу
окружности
описанной
треугольника
есть
пересечения
серединных
пендикуляров
Треугольники
ABD
ACD
общую
сторону
следовательно
центра
A
C
R
3
O
. 35
. 34
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
28
перпендикуляре

центр
окружности
треугольника
ABD
лежит
прямой
перпендикуляр
отрезка
окруж
треугольника
ACD
лежит
серединный
перпендикуляр
окружностей
пересечения
перпендикуляра
рисунок
также
словые
данные
задачи
внимание
окружности
уже
Обозначим
11
RAO
DOR
треугольников
угол
MAO
Записываем
выводы
1.,90,
AOMM
MAO
Δ∠=
2cos,
sin.
OMR

2.,90,
DOMM
MOD
Δ∠=
2sin,
cos.
OMR

Поусловию
OMOM
cossin3.
Ÿ∼=
получили
систему
тремя
неизвестными
,,:
2cos.
2sin,
3cossin.
разному
исключив
получить
уравнение
cossin
322,
sincos
2tg3tg20,
tg
2
угол
острый
cos
1tg

25.
задаче
совсем
абитуриентов
трудность
заключена
рисунка
жающего
условие
задачи
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
29
полезных
формул
площади
треугольника
Sah
sin
SabC
угол
()()()
Sppapbpc
=∼∼∼
формула
cbap
Spr
полупериметр
радиус
окружности
abc


радиус
окружности
Spar
полупериметр
вневписанной
ружности
касающейся
площади
трапеции
Scm
расстояние
середины
другой
площади
параллелограмма
Sah
sin
Sab
,
величина
угла
площади
выпуклого
четырехугольника
sin
Sdd
угла
,
2222
ddab
=
медианы
треугольника
через
стороны
222
abc
биссектрисы
треугольника
ABC
cos,
bcA
bACcAB
2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
30
ADbcxy
,,.
xBDyDC
===
для
равнобокой
трапеции
dcab
,

,
Контрольные
Существует
sinsinsin?
ABC
coscos?
BbA
Треугольник
ABC
прямоугольный
90,
катетами
гипотенузой
доказать
радиус
треуголь
окружности
abc
треугольник
проведена
отсекает
четырɺхугольник
окружность
доказать
окружность
совпадает
ружностью
треугольник
ABC
биссектриса
угла
треугольника
делит
противолежащую
сторону
Биссектриса
треугольника
ABC
делит

-
Медиана
пересекает
биссектрису
OOM
Какую
угольника
ABC
площадь
четырɺхугольника
треугольнике
ABC
4,12
ABBC
биссек
Биссектриса
угла
треугольника
пересекает
описанную
окружность
Точка
вписанной
угольник
окружности
SASCSO
каком
делится
медиан
треугольника
Существует
треугольник
ABC
15,
площадь
треугольника
ABC
9,16
mAB
выражается
треугольника
через
треугольнике






.


2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
31
наибольший
угол
треугольнике
высо
4,5,12
abc
hhh
===
треугольнике
ABC
проведены
Известно
6,33
BCBC
угол
треугольника
ABC
треугольника
ABC
доказать
формулу
ABCa
Srpa
треугольника
ABCaBCp
полупериметр
радиус
окружности
касается
продолжений
двух
других
сторон
Треугольник
ABC
ABBC
его
16,4,6
ABAC
Prr
===
выражается
радиус
окружности
окружно
неɺ
вписанный
угол
окружность
основания
трапеции
радиус
окружности
угол
касательной
точку
окружности
прямоугольного
треугольника
ABC
окружность
, 4,3
ACBC
касательной
окружности
внутренне

-
ружность
касается
также
окружности
что
биссектриса
угла
лемма
).
Когда
четырɺхугольник
вписать
окружность
трапецию
ABCD
окруж
углы
COD
ABCD
прямоугольная
ABAD
ABBC
окружности
5,25
OCOD
радиус
окружности
треугольнике
стороны
7.
третью
радиус
вневписанной
окружности
сающейся
наибольшей
Окружность
равнобед
треугольника
ABC
касается
основания


секает
DCAD
Окружность
равнобокую
ABCDADBC,ADBC
касается
боковой

2013-2014
год
2, 11
Планиметрия
2013,
ЗФТШ
Пиголкина
32

пересекает


K:KN:
основа
радиус
окружности
прямоугольном
треугольнике
ABCC
биссектриса
катеты
треуголь
ABC
биссектриса
угол
треугольнике
биссектрисы
пересекаются
точке
пересекает
описанную
треугольника
ABC
окруж
точке
площадь
четырɺхугольни
окружности
внутренне
ружность
касается
хорды
окружности
Извест
ABBC
210
радиусы
окружно
окружности
радиусов
касаются
образом
внешние
касательные
точки
касания
окружностью



Извест
820
DE,EF
Найти
радиусы
окружностей
Треугольник
ABC
равнобедренный
arccos
ABC
треугольнике
расположены
окружности
касаются
друг
друга
внешне
касается
основания
Радиус
окружности
больше
радиуса
другой
радиусы
Продолжение
биссектрисы
треугольника
пересекает
описанную
треугольника
окружность
Окружность
около
треугольника
пересекает
прямую
8160
K,AB,AK,A
==∠=
треугольнике
биссектриса
стороне
72arcsin
AC,ABC
=∠=
треугольника
ABC
окружностями
треугольники
ABD
CBD

Приложенные файлы

  • pdf 7897367
    Размер файла: 619 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий