Кукина_Сборник_задач_по_криптографии


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Å.Ã.Êóêèíà,Â.À.Ðîìàíüêîâ
ÑÁÎÐÍÈÊÇÀÄÀ×È
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÉÏÎ
ÊÐÈÏÒÎÃÐÀÔÈÈ
Å.Ã.Êóêèíà,Â.À.Ðîìàíüêîâ
ÑÁÎÐÍÈÊÇÀÄÀ×È
ÓÏÐÀÆÍÅÍÈÉÏÎ
ÊÐÈÏÒÎÃÐÀÔÈÈ
2
ÓÄÊ519.6+681.83
ÁÁÊ32.973.202-018.2
Ðåöåíçåíòû:äîêòîðôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ
íàóêïðîôåññîð
À.Í.Çóáêîâ
;êàíäèäàò
ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõíàóê
À.Í.Ðûáàëîâ
ÊóêèíàÅ.Ã.,ÐîìàíüêîâÂ.À.
Ñáîðíèêçàäà÷èóïðàæíåíèéêó÷åáíèêó
Â.À.Ðîìàíüêîâà¾Ââåäåíèåâêðèïòîãðàôèþ¿.Êóðñ
ëåêöèé.Îìñê:Èçä-âîÎìñêîãîãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòà,2009ã.,2-åèçäàíèå,èñïð.èäîï.
Ìîñêâà:Ôîðóì,2012ã.
Àäðåñîâàíñòóäåíòàì,ìàãèñòðàíòàìèàñïèðàíòàì,
âïåðâûåèçó÷àþùèìêðèïòîãðàôèþ,àòàêæå
ïðåïîäàâàòåëÿìêóðñîâêðèïòîãðàôèèèååïðèëîæåíèé.
Ñîäåðæèòçàäà÷èèóïðàæíåíèÿïîáàçîâûìðàçäåëàì
êðèïòîãðàôèè.Âêëþ÷àåòêàêõîðîøîèçâåñòíûå
çàäà÷è,òàêèîðèãèíàëüíûå,ïðåäíàçíà÷åííûåäëÿ
áîëååãëóáîêîãîïîíèìàíèÿòåîðèè.Äëÿðåøåíèÿðÿäà
çàäà÷òðåáóþòñÿêîìïüþòåðíûåâû÷èñëåíèÿ.Ñîäåðæèò
íàáîðçàøèôðîâàííûõòåêñòîâäëÿêîìïüþòåðíîãî
ðàñøèôðîâàíèÿ.
ÑáîðíèêïîäãîòîâëåíïðèïîääåðæêåÌèíèñòåðñòâà
îáðàçîâàíèÿèíàóêèÐîññèéñêîéÔåäåðàöèè,ïðîåêòû
14.Â37.21.0359/0859.
ÓÄÊ519.6+681.83
ÁÁÊ32.973.202-018.2
3
Ñîäåðæàíèå
Ïðåäèñëîâèåàâòîðîâ5
Ââåäåíèå8
Ÿ1.Ïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿ11
Ÿ2.Ìîäóëÿðíàÿàðèôìåòèêà22
Ÿ3.Ýëåìåíòûøèôðîâàíèÿ30
$4.Ýëåìåíòûêðèïòîàíàëèçà35
$5.Ìîäåëèñèñòåìøèôðîâàíèÿ51
$6.Ïðîñòåéøèåøèôðû53
Ÿ7.Ãðóïïû75
Ÿ8.Êîíå÷íûåïîëÿ78
Ÿ9.Äèñêðåòíûéëîãàðèôì82
Ÿ10.Êðèïòîñèñòåìàñîòêðûòûìêëþ÷îì
ÐèâåñòàØàìèðàÀäëåìàíà86
Ÿ11.Ïðîñòûå÷èñëà95
Ÿ12.Ðàçëîæèìîñòü÷èñåëíàìíîæèòåëè99
Ÿ13.Àëãîðèòìûãåíåðàöèèïñåâäîñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé101
Ÿ14.Ïîòî÷íûåêðèïòîñèñòåìû103
Ÿ15.Èäåíòèôèêàöèÿèàóòåíòèôèêàöèÿ110
4
Ÿ16.Ýëåêòðîííûåïîäïèñè112
Ÿ17.Ýëåêòðîííûåïëàòåæè114
Ÿ18.Óïðàâëåíèåêëþ÷àìè115
Ÿ19.Ýëëèïòè÷åñêèåêðèâûå117
Ÿ20.Êðèïòîãðàôèÿ,îñíîâàííàÿ
íàýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ120
Ÿ21.Àëãåáðàè÷åñêîåøèôðîâàíèå121
Ÿ22.ÑòàíäàðòøèôðîâàíèÿDES123
Ÿ23.Ñòàíäàðòûýëåêòðîííîéïîäïèñè126
Ÿ24.ÑòàíäàðòøèôðîâàíèÿAES128
Ÿ25.Ïðèìåðûâûïîëíåííûõóïðàæíåíèé130
Ëèòåðàòóðà132
5
Ïðåäèñëîâèåàâòîðîâ
Êíèãàâòîðîãîàâòîðà"Ââåäåíèåâ
êðèïòîãðàôèþ."Êóðñëåêöèé.(Îìñê:Èçä-
âîÎìñêîãîãîñóäàðñòâåííîãîóíèâåðñèòåòà,
2009ã.,äðóãàÿïóáëèêàöèÿÌîñêâà:Ôîðóì,
2012ã.)áàçèðóåòñÿíàçàïèñÿõëåêöèéïî
êóðñó"Êðèïòîãðàôèÿ,÷èòàííûõàâòîðîì
âÎìñêîìãîñóäàðñòâåííîìóíèâåðñèòåòå
èìåíèÔ.Ì.Äîñòîåâñêîãîèðÿäåäðóãèõ
óíèâåðñèòåòîââïåðèîäñ1996ïî2009ãîä.
Êíèãàïðåäñòàâëÿåòèìåííîââåäåíèåâïðåäìåò,íå
çàãðóæåííîåèçëèøíèìèäåòàëÿìè,êîìïàêòíîåè
èíôîðìàòèâíîå.Ïðåäíàçíà÷åíàäëÿòîãî,÷òîáû
åå÷èòàòåëèíåòîëüêîìîãëèîðèåíòèðîâàòüñÿ
âìèðåêðèïòîãðàôèèèååïðèëîæåíèé,
íîòàêæå,åñëèâîçíèêíåòñîîòâåòñòâóþùåå
æåëàíèåèëèíåîáõîäèìîñòü,ìîãëèáûñòðî
ïåðåéòèê÷òåíèþñïåöèàëüíîéëèòåðàòóðû
ïîêðèïòîãðàôèèèååïðèëîæåíèÿì.Ïðåæäå
âñåãîêíèãàíàïðàâëåíàíàñòóäåíòîâ,âïåðâûå
6
çíàêîìÿùèõñÿñêðèïòîãðàôèåé,èïðåïîäàâàòåëåé
êóðñîâïîêðèïòîãðàôèèèçàùèòåèíôîðìàöèè.
Ñïåöèàëèñòûâîáëàñòèêðèïòîãðàôèèòàêæå
ñìîãóòíàéòèâíåéêîå-÷òîèíòåðåñíîå.
Îìñêîåèçäàíèåêíèãè"Ââåäåíèåâ
êðèïòîãðàôèþ"íàãðàæäåíîÄèïëîìîìÏåðâîãî
Ñèáèðñêîãîðåãèîíàëüíîãîêîíêóñàíàëó÷øóþ
âóçîâñêóþêíèãóÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÑÊÀßÊÍÈÃÀ
2009ã.âíîìèíàöèèËó÷øååó÷åáíîåèçäàíèå
ïîìàòåìàòèêå,èíôîðìàòèêåèâû÷èñëèòåëüíîé
òåõíèêå;ÄèïëîìîìÊîíêóðñàÇîëîòàÿìåäàëü
ITEÑèáèðñêîéßðìàðêè(ó÷åáíàÿêíèãà)
Ó×ÑÈÁ2010ã.;ÄèïëîìîìVÌåæäóíàðîäíîãî
êîíêóðñàÓÍÈÂÅÐÑÈÒÅÒÑÊÀßÊÍÈÃÀ2010
ã.âíîìèíàöèèËó÷øååó÷åáíîåèçäàíèåïî
åñòåñòâåííûìíàóêàì.
Íàñòîÿùèéñáîðíèêçàäà÷èóïðàæíåíèé
ïðèçâàíäîïîëíèòüýòîòó÷åáíèêñîîòâåòñòâóþùèì
ïðàêòè÷åñêèììàòåðèàëîì.Îíñîäåðæèò
óïðàæíåíèÿèçàäà÷èñâÿçàííûõñòåìàòèêîé
ó÷åáíèêà.Íóìåðàöèÿïàðàãðàôîâñáîðíèêà
èèõíàçâàíèÿñîîòâåòñòâóþòíóìåðàöèèè
íàçâàíèÿìëåêöèéèïðèëîæåíèéó÷åáíèêà.
Êîíå÷íî,ñáîðíèêìîæåòáûòüèñïîëüçîâàíè
7
áåçóïîìÿíóòîãîó÷åáíèêà,âåäüòåìûçàäà÷è
óïðàæíåíèéîòíîñÿòñÿêîñíîâíûìðàçäåëàì
êðèïòîãðàôèè,èçëîæåíèåêîòîðûõìîæíîíàéòè
èâäðóãèõèñòî÷íèêàõ.×àñòüçàäà÷èçâåñòíà,íî
áîëüøèíñòâîèçíèõîðèãèíàëüíûå.Íåêîòîðûå
çàäà÷èòðåáóþòðåøåíèÿñèñïîëüçîâàíèåì
êîìïüþòåðíûõâû÷èñëåíèé.Â÷àñòíîñòè,â
çàäà÷íèêåïðèâåäåíûòåêñòûäëÿðàñøèôðîâàíèÿ
èáîëüøèåñîñòàâíûå÷èñëàäëÿðàçëîæåíèÿ
íàìíîæèòåëè.Çàäà÷èïîâûøåííîéòðóäíîñòè
îòìå÷åíûçíàêîì

:
Å.Ã.Êóêèíà,Â.À.Ðîìàíüêîâ
Îìñêèéãîñóäàðñòâåííûéóíèâåðñèòåò
èì.Ô.Ì.Äîñòîåâñêîãî
Èíñòèòóòìàòåìàòèêè
èèíôîðìàöèîííûõòåõíîëîãèé
[email protected];[email protected]
Îìñê,2013ã.
8
Ââåäåíèå
Çàäà÷èèóïðàæíåíèÿ,âêëþ÷åííûåàâòîðàìèâ
äàííîåèçäàíèå,ïðèçâàíûäîïîëíèòüòåîðåòè÷åñêîå
ñîäåðæàíèåêóðñàëåêöèéÂ.À.Ðîìàíüêîâà
"Ââåäåíèåâêðèïòîãðàôèþ"[11],îïóáëèêîâàííîãî
èçäàòåëüñòâîìÎìñêîãîãîñóäàðñòâåííîãî
óíèâåðñèòåòàâ2009ãîäó(2-åèñïðàâëåííîåè
äîïîëíåííîåèçäàíèå[12]âûïóùåíîèçäàòåëüñòâîì
Ôîðóì,Ìîñêâà,2012ã.,ðàíååâûõîäèëè
ìåòîäè÷åñêîåïîñîáèå[9]èáîëååêðàòêèéâàðèàíò
ëåêöèé[10]).Âñâîþî÷åðåäüó÷åáíèêñîîòâåòñòâóåò
êóðñóëåêöèé"Êðèïòîãðàôèÿ",÷èòàåìîìóàâòîðîì
âÎìñêîìãîñóäàðñòâåííîìóíèâåðñèòåòåèìåíè
Ô.Ì.Äîñòîåâñêîãîóæåáîëåå15ëåò.Çàäà÷è
èóïðàæíåíèÿ,âêëþ÷åííûåàâòîðàìèâäàííûé
çàäà÷íèêïðîøëèàïðîáàöèþíàïðàêòè÷åñêèõ
çàíÿòèÿõýòîãîêóðñà.
Âó÷åáíèêå"Ââåäåíèåâêðèïòîãðàôèþ"
îñâåùåíûîñíîâíûåïîìíåíèþàâòîðà
ðàçäåëûñîâðåìåííîéêðèïòîãðàôèè.Äàíî
ïðåäñòàâëåíèåîñèììåòðè÷íûõèàñèììåòðè÷íûõ
ñèñòåìàõøèôðîâàíèÿ,ýëåêòðîííûõïîäïèñÿõ,
èäåíòèôèêàöèèèàóòåíòèôèêàöèè,ðàñïðåäåëåíèè
9
êëþ÷åé,ïðåäñòàâëåííåîáõîäèìûéìàòåìàòè÷åñêèé
ìàòåðèàë.Ðàññìîòðåíûíàèáîëååèçâåñòíûå
ñèñòåìûøèôðîâàíèÿ,ïðîòîêîëûèñòàíäàðòû.Â
òîæåâðåìÿó÷åáíèêÿâëÿåòñÿèìåííîââåäåíèåì
âïðåäìåò,îíèíôîðìàòèâåíèêîìïàêòåí.Àâòîð
ñòàðàëñÿíåçàãðóæàòüèçëîæåíèåèçëèøíèìè,â
îñîáåííîñòèòåõíè÷åñêèìè,äåòàëÿìè.Ïîäîáíûì
æåîáðàçîìïîäîøëèêíàïèñàíèþäàííîãî
çàäà÷íèêàåãîàâòîðû.Âíåãîáûëèâêëþ÷åíû
ðàçëè÷íûåóïðàæíåíèÿèçàäà÷è,÷àñòüèçêîòîðûõ
òðåáóåòäëÿñâîåãîðåøåíèÿèñïîëüçîâàíèå
êîìïüþòåðíûõâû÷èñëåíèé.Íåêîòîðûåçàäà÷è
èçâåñòíûèçðàçëè÷íûõèñòî÷íèêîâ,íîèõñîâñåì
íåìíîãî.Âîñíîâíîìóïðàæíåíèÿèçàäà÷è
îðèãèíàëüíûå.
Ïàðàãðàôûñáîðíèêàñîîòâåòñòâóþò
ëåêöèÿìèïðèëîæåíèÿìó÷åáíèêà"Ââåäåíèå
âêðèïòîãðàôèþ"(áîëååòî÷íî,îíèñîîòâåòñòâóþò
èçäàíèþ[12],êîòîðîåâêëþ÷àåòíåêîòîðûåíîâûå
ïîñðàâíåíèþñ[11]ðàçäåëûèïðèëîæåíèÿ).
Ñîõðàíÿåòñÿòåðìèíîëîãèÿ,ïðåäïîëàãàåòñÿ
çíàêîìñòâîñòåîðåòè÷åñêèììàòåðèàëîìó÷åáíèêà.
Äóìàåòñÿîäíàêî,÷òîóñëîâèÿàáñîëþòíîãî
áîëüøèíñòâàçàäà÷áóäóòïîíÿòíûèäëÿ÷èòàòåëÿ,
10
êîòîðûéïîñòèãàëêðèïòîãðàôèþïîäðóãèì
èñòî÷íèêàì.Ñïèñîêëèòåðàòóðûñîäåðæèò
ðÿäêíèã,êîòîðûåìîãóòáûòüïîëåçíûìè
âýòîìîòíîøåíèè.Îñíîâàìêðèïòîãðàôèè
ïîñâÿùåíû[2-5,7,13-16,22].Èíôîðìàöèîííûå
îñíîâûñì.â[17],îñíîâûïðîãðàììèðîâàíèÿ
â[6].Ïî-ïðåæíåìóîòëè÷íûìèçëîæåíèåì
êðèïòîãðàôè÷åñêèõïðîòîêîëîâÿâëÿåòñÿ[23].
11
Ÿ1.
Ïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿ
Èíôîðìàöèÿïðåäñòàâëÿåòñÿ
òåêñòàìè

êîíå÷íûìèïîñëåäîâàòåëüíîñòÿìèçíàêîâ(áóêâ)
êîíå÷íîãîàëôàâèòà.Òàêçàïèñûâàþòñÿòåêñòû
îáû÷íîãîÿçûêà(ðóññêîãî,àíãëèéñêîãîèò.ä.),
ïîäîáíûìîáðàçîìïðåäñòàâëÿþòñÿòåêñòûâ
àëôàâèòåñïåöèàëüíîãîíàçíà÷åíèÿ,íàïðèìåð,
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèïèêñåëåéâìåñòåñêîìàíäíûìè
çíàêàìèçàïèñûâàþòèçîáðàæåíèÿ.Èíîãäàòåêñòû
ïðîõîäÿòïðåäâàðèòåëüíóþêîäèðîâêóñïîìîùüþ
äðóãèõàëôàâèòîâ.Íàïðèìåð,âêîìïüþòåðíûõ
âû÷èñëåíèÿõîíèïåðåïèñûâàþòñÿââèäå
áèíàðíûõ
(
äâîè÷íûõ
)ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéèçíóëåéèåäèíèö,
êîòîðûåíàçûâàþòñÿ
áèòàìè
.
Ïðîñòåéøèõèäåéçàñåêðå÷èâàíèÿíåòàê
ìíîãî.Ìîæíîçàìåíÿòüîäíèçíàêèäðóãèìèýòî
ìåòîäû
çàìåíû
.Ìîæíîïåðåñòàâëÿòüîòäåëüíûå
áóêâûèëè÷àñòèòåêñòà,ìåíÿÿèõìåñòàìè-
ýòîìåòîäû
ïåðåñòàíîâêè
.Ìîæíîñêðûâàòü
ñîäåðæèìîåïîäìàñêîéèëèðàñïîëàãàòüåãîñðåäè
äðóãîãîòåêñòàýòîìåòîäû
ñêðûòèÿ
.Îòñþäà
ïðîèñõîäèòãàììèðîâàíèåèñòåãàíîãðàôèÿ.
Ìûáóäåìíàçûâàòüýòèìåòîäû
ýëåìåíòàìè
12
øèôðîâàíèÿ
.Òàêèëèèíà÷åîíèïðèñóòñòâóþòâî
âñåõñîâðåìåííûõñèñòåìàõøèôðîâàíèÿ.
Ïðîñòîéçàìåíîé
íàçûâàåòñÿýëåìåíò
øèôðîâàíèÿ,ïðèêîòîðîìîáðàçîìáóêâû
èñõîäíîãîàëôàâèòàñëóæèòêàêàÿ-òîäðóãàÿ
áóêâà.Ïîñêîëüêóðàñøèôðîâêàäîëæíàáûòü
îäíîçíà÷íîé,ðàçíûåáóêâûäîëæíûçàïèñûâàòüñÿ
òàêæåðàçíûìèáóêâàìè.Õîòÿäîïóñêàåòñÿ,÷òî
êàêèå-òîáóêâûçàïèñûâàþòñÿèìèæåñàìèìè.
Êëþ÷îìøèôðîâàíèÿâäàííîìñëó÷àåñëóæèò
ïîäñòàíîâêàíàìíîæåñòâåâñåõáóêâèñïîëüçóåìîãî
àëôàâèòà.
Çàìåíÿòüìîæíîíåòîëüêîîòäåëüíûå
áóêâû,íîèíàáîðûáóêâîïðåäåëåííîéäëèíû
ãðàôû.Åñòüïîíÿòèå
åäèíèöûòåêñòà
(òàêæåãîâîðÿò
åäèíèöûøèôðîâàíèÿ
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ìîæåòáûòüîòäåëüíàÿáóêâàèëèãðàô.Òåêñò
ïðåäñòàâëÿåòñÿêàêïîñëåäîâàòåëüíîñòüåäèíèö
øèôðîâàíèÿ.Äëÿóäîáñòâàèñïîëüçîâàíèÿ
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ïëàòôîðìøèôðîâàíèÿ
.×àùåâñåãîïëàòôîðìàìè
13
øèôðîâàíèÿñëóæàòáèíàðíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(èõìîæíîòðàêòîâàòüêàêýëåìåíòûñâîáîäíîãî
ìîíîèäà
f
0
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1
g

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0
è
1
),êîíå÷íûåïîëÿ
F
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Z
n
;
ìîäóëåìâêîòîðûõîáû÷íî
ÿâëÿåòñÿïðîèçâåäåíèåäâóõáîëüøèõðàçëè÷íûõ
ïðîñòûõ÷èñåë,èëèãðóïïû
G
(
E
)
ýëëèïòè÷åñêèõ
êðèâûõ
E
íàäêîíå÷íûìèïîëÿìè.Çàïîñëåäíèå
1015ëåòðàçâèëîñüíîâîåíàïðàâëåíèåâ
êðèïòîãðàôèè,âêîòîðîìïëàòôîðìàìèñëóæàò
àáñòðàêòíûå,âòîì÷èñëåèáåñêîíå÷íûå,ãðóïïû.
Ýòîíàïðàâëåíèåíàçûâàåòñÿ"Êðèïòîãðàôèÿ,
îñíîâàííàÿíàãðóïïàõ"(àíãëèéñêèéâàðèàíò
"Group-basedcryptography").Âñòðå÷àþòñÿè
äðóãèåàëãåáðàè÷åñêèåñèñòåìû,âûñòóïàþùèåêàê
ïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿðåøåòêè,ïîëóãðóïïû,
ïðîèçâîëüíûåêîëüöàèò.ï.
Ñòàíäàðòíàÿîöèôðîâêàòåêñòàäåëàåòñÿ
îáû÷íîñëåäóþùèìîáðàçîì.Ïóñòüèñïîëüçóåìûé
àëôàâèòñîñòîèòèç
n
áóêâ.Êàæäàÿáóêâà
a
èìååòñâîéíîìåð

(
a
)
,êîòîðûéíàõîäèòñÿâ
ïðåäåëàõîò
0
äî
n

1
:
Ôèêñèðóåòñÿäëèíà
ãðàôà,íàïðèìåð,
m:
Ãðàô

a
=
a
m

1
a
m

2
:::a
0
;
â
êîòîðîì
a
i
áóêâûàëôàâèòà,ïîëó÷àåòíîìåð
14

(
a
0
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n


(
a
1
)+
n
2


(
a
2
)+
:::
+
n
m

1


(
a
m

1
)
:
Òàêèìîáðàçîìâñå
m
-ãðàôûâçàèìíîîäíîçíà÷íî
ñîîòâåòñòâóþò÷èñëàìîò
0
äî
n
m

1
:
15
Íèæåïðèâåäåíûñòàíäàðòíûåîöèôðîâêè
ðóññêîãî(33áóêâû)èàíãëèéñêîãîàëôàâèòîâ.
ÐÓÑÑÊÈÉ
à(
0
)á(
1
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2
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3
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4
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5
)

e
(
6
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7
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8
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9
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10
)
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11
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12
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13
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14
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15
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16
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17
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18
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19
)
ó(
20
)ô(
21
)õ(
22
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23
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24
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25
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26
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27
)
û(
28
)ü(
29
)ý(
30
)þ(
31
)ÿ(
32
)
ÀÍÃËÈÉÑÊÈÉ
a(
0
)b(
1
)c(
2
)d(
3
)e(
4
)f(
5
)g(
6
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7
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8
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9
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10
)
l(
11
)m(
12
)n(
13
)o(
14
)p(
15
)q(
16
)r(
17
)s(
18
)t(
19
)
u(
20
)v(
21
)w(
22
)x(
23
)y(
24
)z(
25
)
16
Çàäà÷à1.
Âîññòàíîâèòåïåðâóþñòðîêóîäíîéèç
íàèáîëååèçâåñòíûõøèôðîâîêíàðóññêîìÿçûêå:
¾...Åãîìûî÷åíüñìèðíûìçíàëè,
Ãðîçàäâåíàäöàòîãîãîäà,
Íîáîãïîìîãñòàëðîïîòíèæå...¿
Çàäà÷à2.
Âîññòàíîâèòåíà÷àëîîäíîãîèçñàìûõ
èçâåñòíûõìîíîëîãîâíààíãëèéñêîìÿçûêå,
çàøèôðîâàííîåïðîñòîéçàìåíîéáóêâíà÷èñëà:
11
;
17
_
3
;
7
_
17
;
10
_
0
;
17
;
11
_
11
;
17
_
3
;
7
_
_
11
;
21
;
23
;
11
_
6
;
8
_
11
;
21
;
7
_
20
;
5
;
7
;
8
;
11
;
6
;
17
;
0
Çàäà÷à3.
×òîïîìîãàåòïðèðàñøèôðîâêå?
Ñêîëüêîâàíãëèéñêîìÿçûêåñëîâèçîäíîéáóêâû?
Èçäâóõáóêâ?Îáúÿñíèòå,ïî÷åìóçàøèôðîâàííûé
òåêñòëó÷øåçàïèñûâàòüáåçïðîáåëîâèáåççíàêîâ
ïðåïèíàíèÿ.
Çàäà÷à4.
Èñïàíñêèéàëôàâèòñîñòîèòèç
29
áóêâ.Íèæåäàåòñÿîöèôðîâêàíà÷àëàîäíîãîèç
èçâåñòíåéøèõñòèõîòâîðåíèéèñïàíñêîéïîýçèè:
17
5
;
14
;
18
;
9
;
28
;
0
_
5
;
12
_
13
;
0
;
15
;
22
;
17
_
_
4
;
5
_
12
;
0
_
7
;
23
;
9
;
22
;
0
;
20
;
20
;
0
_
_
21
;
5
_
20
;
17
;
14
;
18
;
5
;
15
_
12
;
0
;
21
_
2
;
17
;
18
;
0
;
21
_
_
4
;
5
_
12
;
0
_
14
;
0
;
4
;
20
;
23
;
7
;
0
;
4
;
0
Ìîæíîëåãêîâîññòàíîâèòüòåêñòïîèñïàíñêîìó
àëôàâèòó.Çàìåòèìòîëüêî,÷òîóíåãîåñòü
âàðèàíòû.
Ñëåäóþùàÿñòðîôàïåðåâîäýòîãîòåêñòàíà
ðóññêèéÿçûê,ïðèíàäëåæàùèéÌ.Öâåòàåâîé:
10
_
4
_
6
_
11
_
4
_
4
Âíåéóêàçàíîòîëüêîêîëè÷åñòâîáóêââñëîâàõ.
Ïðèâåäèòåýòèçíàìåíèòûåñòðîêè!
18
Çàäà÷à5.
Èìååòñÿäîñòàòî÷íîäëèííûé
ëèòåðàòóðíûéòåêñòàíãëèéñêîãîÿçûêà.Òåêñò
çàøèôðîâàíìåòîäîìïðîñòîéçàìåíû.Âçëîìùèêó
ðàçðåøàåòñÿóçíàòüêîäèðîâêóëþáîéáóêâûïî
åãîâûáîðó.Êàêîíìîæåòóçíàòüêîäèðîâêè
ñðàçóäâóõáóêâ?Êàêèåýòîáóêâû?Ìîæíîëè
ñáîëüøîéäîëåéâåðîÿòíîñòèóçíàòüòðèáóêâû,
åñëèðàçðåøàåòñÿâûÿñíèòüçàìåíûòîëüêîäâóõ
áóêâ?
Çàäà÷à6.
Âîâðåìÿ2-éÌèðîâîéâîéíûíåêîòîðûå
èçàìåðèêàíñêèõñîëäàò,÷òîáûóêàçàòüìåñòî
ñâîåãîïðåáûâàíèÿ(îòêðûòîïèñàòüáûëîíåëüçÿ
ïèñüìàïðîñìàòðèâàëèñü),ìåíÿëèíàêîíâåðòå
âòîðîéèçèíèöèàëîâàäðåñàòà,íàïðèìåð,ïèñàëè
âìåñòî"A.B.Smith"A.T.Smith.Áóêâà"T
îçíà÷àëàïåðâóþáóêâóìåñòàäèñëîêàöèè.Çàòåìâ
ñëåäóþùèõïèñüìàõïîÿâëÿëîñü"U,N,I,S.Âèòîãå
ðîäíûåäîëæíûáûëèâñåýòîçàìåòèòüèïðî÷èòàòü
TUNIS".Îáúÿñíèòå,ïî÷åìóâñå-òàêè÷àñòîýòîíå
ñðàáàòûâàëî,õîòÿðîäíûåèïîíèìàëèèäåþ.
Çàäà÷à7.
Àëôàâèòðóññêèé(
33
áóêâû).
1)Êàêîéíîìåðïðèñòàíäàðòíîéîöèôðîâêå
èìååòñëîâîÎÏÅÐÀ?ÂÎßÆ?
19
2)Êàêîìóñëîâóèç
4
áóêâñîîòâåòñòâóåòíîìåð
553817
?Íîìåð
357683
?
3)Êàêîìóñëîâóñîîòâåòñòâóåòíîìåð
21199
?
Íîìåð
19448
?Ìîæíîëèîòâåòèòüîäíîçíà÷íîè
ïî÷åìó?
Çàäà÷à8.
Àëôàâèòàíãëèéñêèé,
26
áóêâ.
1)Êàêîéíîìåðïðèñòàíäàðòíîéîöèôðîâêå
èìååòñëîâîSMART?ÑëîâîTASK?
2)Êàêîìóñëîâóèç
5
áóêâñîîòâåòñòâóåòíîìåð
1037456
?Íîìåð
6187718
?
3)Êàêîìóñëîâóñîîòâåòñòâóåòíîìåð
274070
?
Íîìåð
304672
?Ìîæíîëèîòâåòèòüîäíîçíà÷íîè
ïî÷åìó?
Çàäà÷à9.
Âêîìïüþòåðíûõâû÷èñëåíèÿõ
òåêñòûïðåäñòàâëÿþòñÿââèäåäâîè÷íûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé.Êàæäîéäâîè÷íîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèâçàèìíîîäíîçíà÷íî
ñîîòâåòñòâóåòýëåìåíòñâîáîäíîãîìîíîèäà

2
=
f
x;y
g

:
Ïðèýòîì
0
$
x;
1
$
y:
Åñëè
A
àëãåáðàè÷åñêàÿñèñòåìàñîïåðàöèåéóìíîæåíèÿ,
ñîäåðæàùàÿñâîáîäíûéïîäìîíîèä

2
;
òîýòî
ïîçâîëÿåòïðåäñòàâëÿòüòåêñòûâ

2
;
àçíà÷èò,èâ
A:
20
Îäèíèçñïîñîáîâòàêîãîïðåäñòàâëåíèÿ
ïðèäóìàíÞ.Â.Ìàòèÿñåâè÷åì.Âîçüìåììàòðèöû
M
=

m
11
m
12
m
21
m
22

;
ýëåìåíòàìèêîòîðûõÿâëÿþòñÿíåîòðèöàòåëüíûå
öåëûå÷èñëà,àîïðåäåëèòåëüðàâåí
1
:
1)

Äîêàçàòü,÷òîëþáàÿìàòðèöàóêàçàííîãî
âèäàïðèíàäëåæèòïîäìîíîèäó,ïîðîæäåííîìó
ìàòðèöàìè
x
=

11
01

è
y
=

10
11

:
2)

Ïîêàçàòü,÷òîïðåäñòàâëåíèåìàòðèöû
M
ââèäåïðîèçâåäåíèÿìàòðèö
x
è
y
åäèíñòâåííî.
Äðóãèìèñëîâàìè,ïîäìîíîèämon
(
x;y
)
ñâîáîäåí.
3)Ïóíêòû1)è2)ïîçâîëÿþòïðåäñòàâëÿòü
áèíàðíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòèíàáîðàìèèç
4
íåîòðèöàòåëüíûõöåëûõ÷èñåë.Â÷åì
ñîñòîèòïðåèìóùåñòâîòàêîãîïðåäñòàâëåíèÿ
ïîñðàâíåíèþñîáû÷íûìñîïîñòàâëåíèåì
äâîè÷íîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè
x
=
x
0
;x
1
;:::;x
n
íåîòðèöàòåëüíîãîöåëîãî÷èñëà

(
x
)=
(
x
n
;:::;x
1
;x
0
)
2
=
x
0
+2
x
1
+
:::
+2
n
x
n
?
21
Çàäà÷à10.
(ÊèðîâñêàÿËÌØ2004.)
Ïåðâîáûòíûåáèîëîãè,èçó÷àâøèåìèãðàöèþ
æèâîòíûõ,ïðèìåíÿëèñëåäóþùèéñïîñîáó÷åòà.
Åñëèïîòðîïåïðîõîäèëâåïðü,òîîíèîõðîéíà
ñêàëåïèñàëè
101
,åñëèñàáëåçóáûéòèãð
1001
;
åñëèìàìîíò
1101
(ðàçóìååòñÿ,ýòîíåíóëèè
åäèíèöû,àêðóæî÷êèèïàëî÷êè).Çàïèñèîíèäåëè
áåçïðîáåëîâ.
1)Ìîæíîëèïîèìåþùåéñÿçàïèñèâîññòàíîâèòü
òî÷íóþêàðòèíóìèãðàöèèæèâîòíûõ?
2)Ìîæíîëèòàêçàêîäèðîâàòüåùåîäíîãîçâåðÿ
ïàëî÷êàìèèêðóæî÷êàìè,÷òîáûïåðâîáûòíûå
áèîëîãèñìîãëèèåãîçàïèñûâàòüâòàáëèöó
ìèãðàöèè?
3)

(Å.Ñ.Ñòóêåí.)Êàêîåíàèáîëüøåå÷èñëî
æèâîòíûõìîæíîáûëîáûçàêîäèðîâàòüóêàçàííûì
ñïîñîáîì,èñïîëüçóÿíåáîëåå
n
ñèìâîëîâ?
22
Ÿ2.
Ìîäóëÿðíàÿàðèôìåòèêà
Îäíàèçíàèáîëååïîïóëÿðíûõîöèôðîâîê
òåêñòîâîñíîâàíàíàâçàèìíî-îäíîçíà÷íîì
ñîïîñòàâëåíèèáóêâàì(çíàêàì)àëôàâèòà
ìîùíîñòè
n
ýëåìåíòîâêîëüöàâû÷åòîâ
Z
n
:
Íàïðèìåð,ñòàíäàðòíàÿîöèôðîâêààíãëèéñêîãî
àëôàâèòà,ñîñòîÿùåãîèç
26
áóêâ,çàêëþ÷àåòñÿ
âñîïîñòàâëåíèè
a
7!
0
;b
7!
1
;:::;z
7!
25
:
Ñòàíäàðòíàÿîöèôðîâêàðóññêîãîàëôàâèòà
èç
33
áóêâñîïîñòàâëÿåòáóêâàìâû÷åòûïî
mod33

7!
0
;
á
7!
1
;
...,ÿ
7!
32
:
Îöèôðîâêà
ïîçâîëÿåòîïåðèðîâàòüñòåêñòàìèêàêñâû÷åòàìè,
âûïîëíÿòüìîäóëÿðíûåîïåðàöèèñëîæåíèÿè
óìíîæåíèÿ.Êîëüöîâû÷åòîâïðèýòîìâûñòóïàåò
êàêïëàòôîðìàøèôðîâàíèÿ.
Çàäà÷à11.
ÈñïîëüçóÿàëãîðèòìÝâêëèäàè
îáîáùåííûéàëãîðèòìÝâêëèäà,âû÷èñëèòü
íàèáîëüøèåîáùèåäåëèòåëè
d
äëÿñëåäóþùèõïàð
÷èñåë
(
m;n
)
,äàòüïðåäñòàâëåíèÿâèäà
d
=
mk
+
nl
:
(153
;
648)
;
(83
;
597)
;
(113
;
481)
;
(39
;
379)
;
(123
;
48)
;
(429
;
376)
;
23
(1526
;
748)
;
(439
;
817)
;
(356
;
499)
;
(15439
;
379)
;
(1983
;
13675)
:
Çàäà÷à12.
Èñïîëüçóÿîáîáùåííûéàëãîðèòì
Ýâêëèäà,íàéòèîáðàòíûåêäàííûìýëåìåíòûâ
êîëüöàõâû÷åòîâ,åñëèîíèñóùåñòâóþò:
19

1
(mod26)
;
131

1
(mod834)
;
322

1
(mod2431)
;
117

1
(mod2389)
;
831

1
(mod1035)
;
214

1
(mod1059)
:
Çàäà÷à13.
(Â.Øïèëüðàéí.)
Ðàññìîòðèìñëåäóþùèéñïîñîáøèôðîâàíèÿ.
Àëèñàâûáèðàåòäâåïàðûöåëûõ÷èñåë:
a;b
è
a
0
;b
0
:
Çàòåìîíàâû÷èñëÿåò
M
=
ab

1
èïîëàãàåò
e
=
a
0
M
+
a;d
=
b
0
M
+
b:
Ýòè÷èñëà
e
è
d
èãðàþòðîëüêëþ÷åé
øèôðîâàíèÿèäåøèôðîâàíèÿ,ñîîòâåòñòâåííî.
Âû÷èñëåíèÿâåäóòñÿâêîëüöåâû÷åòîâ
Z
n
,ãäå
n
=
ed

1
M
=
a
0
b
0
M
+
ab
0
+
a
0
b
+1
:
24
×òîáûïîñëàòüÀëèñåòåêñò
m
2
Z
n
;
Áîá
âûïîëíÿåòîïåðàöèþøèôðîâàíèÿ:
c
=
e

m
(mod
n
)
:
Àëèñà,ïîëó÷èâ
c;
âûïîëíÿåòîïåðàöèþ
äåøèôðîâàíèÿ:
d

c
=
m
(mod
n
)
:
1)Ïðîâåðèòü,÷òîîïåðàöèÿäåøèôðîâàíèÿ
äåéñòâèòåëüíîâîññòàíàâëèâàåòèñõîäíûéòåêñò.
2)Ïîêàçàòü,÷òîèñïîëüçóÿàëãîðèòìÝâêëèäà,
ìîæíîïîëíîñòüþðàçîáëà÷èòüýòîòñïîñîá
øèôðîâàíèÿ.
Çàäà÷à14.
ÏîÊèòàéñêîéòåîðåìåîáîñòàòêàõ
âû÷èñëèòü
x
(íàéòèîáùååðåøåíèå)äëÿñëåäóþùåé
ñèñòåìûñðàâíåíèé:
8

:
x
=5(mod7)
;
x
=3(mod11)
;
x
=10(mod13)
:
Çàäà÷à15.
ÈñïîëüçóÿÊèòàéñêóþòåîðåìóîá
îñòàòêàõ,âû÷èñëèòü
x
(íàéòèîáùååðåøåíèå)äëÿ
ñëåäóþùåéñèñòåìûñðàâíåíèé:
25
8





:
x
=1(mod15)
;
x
=3(mod17)
;
x
=3(mod24)
;
x
=4(mod19)
:
Ñóùåñòâóåòëèðåøåíèå,åñëèâìåñòî
19
âçÿòüâ
êà÷åñòâåïîñëåäíåãîìîäóëÿ
18
?
Çàäà÷à16.
Êèòàéñêàÿòåîðåìàîáîñòàòêàõ
ïîçâîëÿåòïðåäñòàâëÿòüáîëüøèå÷èñëàââèäå
íàáîðàîñòàòêîâïîïîïàðíîâçàèìíîïðîñòûì
ìîäóëÿì.Ýòî,â÷àñòíîñòè,ïîçâîëÿåòâûïîëíÿòü
íàäíèìèàðèôìåòè÷åñêèåäåéñòâèÿ,îïåðèðóÿ
÷èñëàìèãîðàçäîìåíüøåãîðàçìåðàâáèòàõ.
1)Ïðåäñòàâèòü÷èñëà
5!
;
6!
;
7!
;
8!
óêàçàííûì
ñïîñîáîì.
2)Âîçüìåì,íàïðèìåð,íàáîðïîïàðíîâçàèìíî
ïðîñòûõ÷èñåë
2
23

1
;
2
29

1
;
2
33

1
;
2
34

1
;
2
35

1
:
Êàêîéðàçìåð(âáèòàõ)÷èñåë,äîïóñêàþùèõ
îïåðàöèèñëîæåíèÿèóìíîæåíèÿñèñïîëüçîâàíèåì
äàííîãîíàáîðà?
Çàäà÷à17.
Èñïîëüçóÿëèøüêàëüêóëÿòîð,íàéòè
÷èñëî
x;
óäîâëåòâîðÿþùååóðàâíåíèþ
26
3
x
=5(mod
p
)
;
ãäå
p

1=2

3

101

103

107
2
:
Óïðîùåííûéâàðèàíò:
p

1=2

3

101
;
èëèåùå
ïðîùå:
p

1=2

3

11
:
Çàäà÷à18.
Ñêîëüêîñóùåñòâóåòîáðàòèìûõ
ìàòðèöðàçìåðà
2

2
íàäêîëüöîì
Z
6
?Íàä
êîëüöîì
Z
7
?Íàäêîëüöîì
Z
8
?
Çàäà÷à19.

Âûâåñòèîáùóþôîðìóëó÷èñëà
îáðàòèìûõìàòðèöðàçìåðà
2

2
íàäêîëüöîì
Z
n
;
åñëèèçâåñòíîêàíîíè÷åñêîéïðåäñòàâëåíèåìîäóëÿ
n
ââèäåïðîèçâåäåíèÿ
Q
p
i
j
n
p

i
i
ñòåïåíåéðàçëè÷íûõ
ïðîñòûõäåëèòåëåé.
Çàäà÷à20.
(
Âû÷èñëåíèåäíÿÏàñõèó
õðèñòèàí.
)ÓõðèñòèàíÏàñõàîòìå÷àåòñÿâ
áëèæàéøååâîñêðåñåíüåïîñëåäíÿâåñåííåãî
ðàâíîäåíñòâèÿ.ÍåìåöêèéìàòåìàòèêÃàóññâXVIII
âåêåïðåäëîæèëôîðìóëóäëÿîïðåäåëåíèÿäíÿ
êàòîëè÷åñêîéÏàñõèïîãðèãîðèàíñêîìóêàëåíäàðþ.
Ïðèâåäåìåãîàëãîðèòì.
Âíà÷àëåâû÷èñëÿþòñÿñëåäóþùèåâåëè÷èíû:
27
1)
a
=
íîìåðãîäà
(mod19);
2)
b
=
íîìåðãîäà
(mod4)
;
3)
c
=
íîìåðãîäà
(mod7;
4)
k
=[
íîìåðãîäà
=
100];
5)
p
=[(13+8
k
)
=
25];
6)
q
=[
k=
4];
7)
d
=19+
M
(mod30)
;
8)
e
=(2
b
+4
c
++6
d
+
N
)(mod7)
:
Åñëè
d
+
e

9
;
òîÏàñõàîòìå÷àåòñÿâìàðòå,à
äàòàååïðàçäíîâàíèÿðàâíà
n
=22+
d
+
e:
Åñëè
d
+
e�
9
;
òîÏàñõàîòìå÷àåòñÿâàïðåëå,à
äàòàååïðàçäíîâàíèÿðàâíà
n
=
d
+
e

9
:
28
Äëÿ2013ãîäà
a
=18
;b
=1
;c
=4
;k
=20
;p
=
6
;q
=5
;d
=6
;e
=3
;d
+
e
=9
;
çíà÷èò,
n
=31
;
Ïàñõà
ïðèõîäèòñÿíà31ìàðòà.
Åñòü,ïðàâäà,äâàèñêëþ÷åíèÿ.Åñëè
d
=29
è
e
=6
;
òîâìåñòî
26
àïðåëÿáóäåò
19
àïðåëÿ.Åñëè
d
=28
è
e
=6
,òîâìåñòî
25
àïðåëÿáóäåò
18
àïðåëÿ.
Äëÿâû÷èñëåíèÿäíÿïðàçäíîâàíèÿ
ïðàâîñëàâíîéÏàñõèèñïîëüçóþòñÿòåæåñàìûå
ôîðìóëû,íîòîëüêîíåíóæíîâû÷èñëÿòü
k;p
è
q;
òàêêàêñëåäóþùèåâåëè÷èíûÿâëÿþòñÿ
êîíñòàíòàìè:
M
=15
;N
=6
:
Ïðèðàñ÷åòåíåñëåäóåòçàáûâàòü,÷òîâ
1918
ãîäóíàøàñòðàíàïåðåøëàíàíîâûéêàëåíäàðíûé
ñòèëü,êîòîðûé"îáîãíàë"ñòàðûéñòèëüíà
13
äíåé.
Ñëåäîâàòåëüíî,êðàññ÷èòàííîìó÷èñëóíóæíî
ïðèáàâèòü
13
:
Ýòîïðèáàâëåíèåäëÿíåêîòîðûõëåò
(â÷àñòíîñòèäëÿ2013ãîäà)äàåòäàòóïðàçäíîâàíèÿ
óæåâìàå.
1)Âû÷èñëèòüäíèïðàçäíîâàíèÿêàòîëè÷åñêîé
Ïàñõèâáëèæàéøèå
3
ãîäà.
2)Âû÷èñëèòüäíèïðàçäíîâàíèÿïðàâîñëàâíîé
Ïàñõèâáëèæàéøèå
5
ëåò.
3)Îïðåäåëèòüèíòåðâàëäíåé,âêîòîðûåìîæåò
áûòüêàòîëè÷åñêàÿÏàñõà.
29
4)Îïðåäåëèòüàíàëîãè÷íûéèíòåðâàëäíåéäëÿ
ïðàâîñëàâíîéÏàñõè.
Çàäà÷à21.
Ïóñòü
K
ïðîèçâîëüíîåêîëüöî.
Ýëåìåíò
a
êîëüöà
K
íàçûâàåòñÿ
êâàäðàòè÷íûì
âû÷åòîì
,åñëèñóùåñòâóåòýëåìåíò
b
2
K
òàêîé,
÷òî
b
2
=
a:
Âïðîòèâíîìñëó÷àå
a
íàçûâàåòñÿ
êâàäðàòè÷íûìíåâû÷åòîì
.Äðóãèìèñëîâàìè,
âû÷åò
a
ÿâëÿåòñÿêâàäðàòè÷íûì,åñëèðàçðåøèìî
óðàâíåíèå
x
2
=
a:
Ïóñòüäàëåå
n
ïðîèçâåäåíèåäâóõðàçëè÷íûõ
íå÷åòíûõïðîñòûõ÷èñåë
p
è
q:
1)Äîêàçàòü,÷òîóðàâíåíèå
x
2
=
a;
ãäåâû÷åò
a
2
Z
n
îáðàòèì,ëèáîíåðàçðåøèìî,ëèáîèìååò
4
ðàçëè÷íûõêîðíÿ.
2)Äîêàçàòü,÷òîäëÿíåîáðàòèìîãîîòëè÷íîãî
îòíóëÿâû÷åòà
c
2
Z
n
óðàâíåíèå
x
2
=
c
èìååòäâà
ðàçëè÷íûõêîðíÿ.
3)×òîìîæíîñêàçàòüâñëó÷àå,åñëèîäíîèç
ïðîñòûõ÷èñåë
p
è
q
ðàâíî
2
?
30
Ÿ3.
Ýëåìåíòûøèôðîâàíèÿ
Âïðèâåäåííûõíèæåçàäà÷àõòåêñòû
çàïèñûâàþòñÿíàäâóõÿçûêàõ:ðóññêîìè
àíãëèéñêîì.Ïðåäïîëàãàåòñÿ,÷òîðóññêèé
àëôàâèòñîñòîèòèç
33
èëè
32
("¼"çàïèñûâàåòñÿ
êàê"å")áóêâ(äðóãèåçíàêèíåèñïîëüçóþòñÿ),
îöèôðîâàííûõñòàíäàðòíûìñïîñîáîì,àíãëèéñêèé
èç
26
áóêâ,òàêæåîöèôðîâàííûõñòàíäàðòíûì
ñïîñîáîì.
Çàäà÷à22.
Ïóñòüàëôàâèòñîñòîèòèç
26
áóêâ
àíãëèéñêîãîÿçûêà.Øèôðîâàíèåîñóùåñòâëÿåòñÿ
ïðèïîìîùèïîäñòàíîâêè
s
=(
p;h;u;q;l;f;e;r;m;g;y;x;v;s;n;i;b;o;j;c;w;t
)


(
a;k;d
)(
z
)
:
Çäåñüïîäñòàíîâêàîïðåäåëÿåòñÿöèêëîì,âêîòîðîì
áóêâûïåðåõîäÿòâñëåäóþùèåïîíàïèñàíèþ,
àïîñëåäíÿÿáóêâàïåðåõîäèòâïåðâóþ(öèêë
çàìûêàåòñÿ).Áóêâà
z
îñòàåòñÿíàìåñòå.
Ïðèìåð:èñõîäíûéòåêñò
Iamne=iamne
(ìûíåó÷èòûâàåìïðîáåëûèðàçíèöóìåæäó
31
ñòðî÷íûìèèïðîïèñíûìèáóêâàìè,àòàêæåçíàêè
ïðåïèíàíèÿ),øèôðîâàííûéòåêñò
bkgebir
.
1)Çàøèôðîâàòüòåêñò:
SomepeoplesayamanismadeoutofmudApoor
mansmadeoutofmuscleandbloodMuscleandblood
andskinandboneAmindthatsweakandtheback
thatsstrongSixteentons
.
2)Ðàñøèôðîâàòüòåêñò:
btkiarmpumjqyurkwuwukmprmranpmrrpirdmtur
mrpurwukmprmrapukgrnajrnefjtkgkmdbirsrmxek
32
Çàäà÷à24.
Àëôàâèòðóññêèé
33
áóêâû.Ðàçáèò
íàáëîêèâåëè÷èíû
n
=8
.Áóêâûâíóòðèêàæäîãî
áëîêàïåðåñòàâëÿþòñÿïåðåñòàíîâêîé:
s
=(1
;
6
;
4
;
8
;
7
;
2
;
3)(5)
:
1)Çàøèôðîâàòüòåêñò(óáðàâçíàêèèïðîáåëû):
"Íàïîðòðåòåáûëàèçîáðàæåíàäåéñòâèòåëüíî
íåîáûêíîâåííîéêðàñîòûæåíùèíà
Äîñòîåâñêèé
2)Ðàñøèôðîâàòüòåêñò(óáðàíûêàâû÷êè,
ïðîáåëûèòèðå,íîîñòàâëåíàçàïÿòàÿ):
åïáìîâëëåîùðêàâñûäâîïàáììðåàøîê,
ùàþêéàâååñëéèàêðïäéîõîêîðèéííîìàëîóêàáâã
Çàäà÷à25.
Çàøèôðîâàòüòåêñòñïîìîùüþ
ãàììèðîâàíèÿ,ïåðåâîäÿâñååãîáóêâûâáèíàðíûå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèäëèíû
5
:
hiddennumberisakey=7833413...
.
Âûáðàòüâêà÷åñòâåêëþ÷àñâîé
èíäèâèäóàëüíûéíîìåð,çàïèñàííûéâäâîè÷íîì
èñ÷èñëåíèè.Èíäèâèäóàëüíûéíîìåððàâåíñóììå
çíà÷åíèéáóêâôàìèëèè(ðóññêèéÿçûê,
33
áóêâû,
ñòàíäàðòíàÿíóìåðàöèÿ).
33
Çàäà÷à26.
Íàçîâåìøèôðçàìåíû,îòâå÷àþùèé
ïîäñòàíîâêå

2
S
n
;
ãîìîìîðôíûì
,åñëèîí
óäîâëåòâîðÿåòòîæäåñòâó
8
i;j
2
Z
n

(
i
+
j
)=

(
i
)+

(
j
)(mod
n
)
:
Ñêîëüêîñóùåñòâóåòãîìîìîðôíûõøèôðîâ
çàìåíûïðèôèêñèðîâàííîì
n
?Êàêîíèóñòðîåíû?
Çàäà÷à27.
Ñëåäóþùèåçàøèôðîâàííûåòåêñòû
ïîëó÷åíûøèôðîìñäâèãàâðóññêîìàëôàâèòå
À

(
33
áóêâû).Íóìåðàöèÿñòàíäàðòíàÿ.Òåêñò
çàïèñàíñïðîáåëàìè,äðóãèõçíàêîâíåò.Ñäâèã
ïðèìåíÿåòñÿòîëüêîêáóêâàì.
1)
ÝÌÀÞÉÝÉËÚÍÈÀÍÊËÛÝßÖÈÛ
ÃÀÇÆÀÈÉÊËÛÝßÖÈÀÍÄÝÖÓÀ
ßÆÚÇÀÈÚÍÛœØÍÉÚÌÈɜۜ
ÊËÉÌÍÛÚÞÛÇÇÛÊÎÓœÄÈÇÉÑÛËÍ
ÄÌÛÆ×ÀËÄ
2)
ÇËÒËËÙÖÆ×ÚØÕÊÏÔÕÑÏÐ
ÈÙÚÓÆÔËÓÕלÉÕÒÚÇÕÓ
ÒË×ÓÕÔÙÕÈ
34
Ðàñøèôðîâàòü!
Çàäà÷à28.
Ñëåäóþùèåçàøèôðîâàííûåòåêñòû
ïîëó÷åíûøèôðîìñäâèãàâðóññêîìàëôàâèòå
À

(
33
áóêâû).Íóìåðàöèÿñòàíäàðòíàÿ.Òåêñò
çàïèñàíáåçïðîáåëîâ,äðóãèõçíàêîâíåò.Ñäâèã
ïðèìåíÿåòñÿòîëüêîêáóêâàì.Òåêñòçàïèñàíâ
îöèôðîâàííîìâèäå.
1)
761017201821175311023162220757
018212096201018305221653311015
1657517102214152316201521202720
916201522519191418252422201829
102402219592852420820291423175
710231019191082018102342851914
23519571622024253162017172019
59251810129259725184162201714
181497202228514222095710171416
208207030101721222016252252320
221425910142120192414152114175
23
2)
108610296252221123821112021301
222120111011182201516213011237
13620211242521181729182119918
35
1124213015201518131117617211625
217111410111822015173025217186
11251847218220614111918112021
152011921251713186112524525616
206152221301511252062015282515
311520652063252120625172026186
242241826306162021152425112822
21238241217617726102521721182
20612628196252186
Ðàñøèôðîâàòü!
Çàäà÷à29.
Ñëåäóþùèåçàøèôðîâàííûåòåêñòû
ïîëó÷åíûøèôðîìñäâèãàâàíãëèéñêîìàëôàâèòå
AZ
(
26
áóêâ).Íóìåðàöèÿñòàíäàðòíàÿ.Òåêñò
çàïèñàíñïðîáåëàìè,äðóãèõçíàêîâíåò.Ñäâèã
ïðèìåíÿåòñÿòîëüêîêáóêâàì.
1)
Jrfrjrqnfzvyrbanubefr'fnnaqnlrneyngre
vginfryrpgrqCerfvqrag
2)
Dbksvobcpybckvoybboxdbyywcdyvydpspdi
moxdcxyzryxoxyzyynxyzodcsksxdqydxy
msqkboddoc
Ðàñøèôðîâàòü!
36
Çàäà÷à30.
Ñëåäóþùèåçàøèôðîâàííûåòåêñòû
ïîëó÷åíûøèôðîìñäâèãàâàíãëèéñêîìàëôàâèòå
AZ
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37
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Ðàñøèôðîâàòü!
38
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43
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ïðîñòîéçàìåíîé.Àëôàâèòðóññêèé
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1)
ÏÙÈÌÈÉËÜÌÚÃÏÐ×ÃÃÚÆÌÃÕÚ×
ÄËÈÊÙÏËÏÀÁÊÎÜÊËØÃÓÈÆÈÃÃÚÆÁ
ÐÛÇÈÉËßËÅÒÉÑÙÚÄÎÄÑÅÆÖÛÊÅ
ÒÐÏÝÌÉÏÀÚÚÑÝÛÀÖÌÎÛÐËÄÖÛÀÈ
ÆÆÛÛÐ×ËßËÓÍËÆßÆÜßÛÊÖÒÉÆÎß
ÃÛÄÂÚÆßÑÀÚ×ÐÈËÐÅÐÕËÉØÒÖÙ
ÉÛÍÑÈÈÄÔÖÏÙÚÀÄÚÈÏËØËÕÊËØÖ
ÅÆÛÊËÕÚÎÓÏÐÑÎÄÎÐÒÞÓÔÈÄÐÖ
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ÚÚÔÆÂÊÖÒÌÀËÌÑÀÂÞÕÆÀÊËÉÃÎ
ÜÃÐÒÞÐÍÙÄËØÖÌÑÀÃÏÔÑÎÃÍÉÑ
ÍÄÃÐÒÎÃÇÈÓÖÈÍØ×ÔÁÇÉÆÛÊÂÆÁ
ÀÂÚÏÓËÝÀ×ÖËÌËÉÃÎÑÃÓÌÒÀÒÔ
ÝÐÓÚÆÅÏÓÏÐÑÚÀÝßËÃÓËÙÚÂÕÍÃ
ÆÚÕËÌØÈÛÆÐÛÜÂÆÍÕÒÓÏÌÉËÊËÓ
44
ÌËÖÁÈÈÞÂÂÍÉÎÂÅÖÒÉØÍÜÃÐÃÊ
ÈÔÜÛÛÉÆÉØÍÌÖÞÛÛÈ×ÒÝÎÐÅÀÂÚ
ÆÕÛ×À×ÅßÑßËÔÚÛÁÇÑÂÑÀ×ÌÈÄ
ÜÈÉÈÔÝÙ×ÐÊÚÈÏÃÁÊÊÄß×ÊÙÎÎÛ
ÈÍÊËØÚËÁÃÝÚËÁÃÙÆË×ËÃÎÂÉÐ
ÂÙØÑÎÓÒÙÉËÃÏØÚÚÛÍÄÅÃÂÁÂÚÎ
ßÍÉÌÞ×ÐÆÕÐÆÏÐÆÀÀÚËÁÃÎÏÑÚ
ÉÀÍÌÒÎÑÜÅÒÆÄÛÈÅÎ×ÀÕÒÞÑÆË
ÆÍÑÄÏÆÃÓÚÆÈÞÄÚËÈÅÑÑÅËÞÄÞÆ
ØÃÛÐËÌÐÈÎÒÌÍÑÐËÈÐÓÞÆØÒÔÏÌ
ÆÀÊÀËÄÅÜÛÖÆÌÑÀÍÏÃÁÄËÊÅÜÛ
ÖÒÙÞÁÃÆÜÂÇÉÑÛÕËÉÑÏÏÏÜÎÜÑÀ
ËÅÒÓËÐÅÒÆÎÐÄÃÛÃÃÆÀÃÏÅ×ÃÍ
ÁÈÓÈÎÏÒÄÃÄÛÊÏÃßË×ÖÀÑÁËÈÒÔ
ÁËÙÚÄÊÉËÌÂÚÈÏËØÎÜÒÍÂÊÓÒÙ
ÎÁÆ×ÎÜÃÖØÐÌÊÖÚÇÄßÆÈÐÝÙÈÄÐ
ÏÏÌÅÉÑÃÖØÐÓÏÖËÍÈËßÆÎÄÏÅÌ
ÍÂÂÆØÅÛÜ×ÓÂÑÃÐÅÀÂØÈ×ÃÓÆÆ
ÔÎÂÆÆÔÎÙÀ×ÇÞÂÛÌÑÂÙÀ×ÇÞÂÛÌ
ÑÂÓÏÄÅÐÏÚÆÈÐÕÍÌ×ÔÊËÖÖÏÕÖÓ
ÓÒßÁËÏÎÑÛÌÉÒÊÍÐÒÍÈÒÉÑÁÕË
Ò×ÏÝÏÂÚÂÝÍÔÕÃÆÈ×ÕÃÆÈ×ÌÍÂÂ
ÆØÃÓÊÙÉÃßÏÅÆÚÃÛ×ÉËÎÏÑÚÍÈ
ÏÌÆÖÑÐÆÌÐÆÖÅÆËÕËÒ×ÔØÎÉÎÎ
45
ÛÆÐÈÒÏËÉÈÃØÚÍØÛÞÅÙÚÌÂÚËÕÆ
ÛÀÆÖÃÀØÈØÍÑÜÚÕÚÍÁÝÚÎÑÛËÈ
ÐÓÝÉÝÒÈß×ÔÒÕÛÈÔÅÂÚÉÆÎÄÜÚÕ
ÉÏÐÉÛÅÑÛÂÑÓÓÏÒÖÚÄÔÚÑÚÄÑËÌ
ÐÓÎÈÉËØÚ×ÐÔÑÄÊÅÈØßÉÒÎÄÀÅ
Ú×ÕËÑÚÎ
2)
ÅÀÑÇÓÂÍÓÂÐÄÓÀÉÚÁÂÔÚÉÕÒÂ
ÀÉÚÁÂÔÚÉÚÊÂÉÏÚÀÕÁÅÓÄÀÑÇÒÄÇ
ÕÐÓÑÒÌÉÚÔÚÉÕÝÓÕÖÕÄÐÙÕÌÕÓÅ
ÙÏÓÄÒÕÁÅÕÌÏÅÓÄÓÀÑÇßÙÕÝÈÇ
ÂÞÙÏÆÅÒÕÇÕÔÀÑÇÙÕÁÔÂÚÁÇÃÌÞ
ÖÉÚÌÄÇÚÞÕÞÓÑÞÇÕÈÓÕÞÓÂÞÙÚ
ÞÙÃÐÂÇÚÖÚÉÖÚÈÒÄÉÍÇÑÝÁÉÃÓÙ
ÉÄÀÅÙÂÈÖÂÇÑÈÂÇÚÉÏÅÓÕÁÉÃÍ
ÚÇÚÙÂÐÖÚÐÄÉÄÍÖÉÂÝÂÅ×ÕÔÚÇÓ
ÂÔÖÕÙÇÕÈÂÓÕÒÌÕÖÉÚÖÚÈÂÇÔÂ
ÈÂÝÔÂÈÂÝÚÒÕËÄÙÞÙÂÇÀÑÅÒÄÉ
ÍÂÈÊÄÒÖÕÁÔÂÀÕÔÚÓÚÍÙÄ×ÉÄÀÅ
ÙÖÕÒÓÄÌÕÙÉÂÌÃÓÄÌÕÔÓÅÇÞÅÁÕ
ÇÃÀÕÁÇÂÍÚÃÁÇÕÈÂÙÓÄÔÄÛÄÈÚ
ÞÖÂÍÂÇÕÓÈÓÅÙÓÕÈÒÕÚÁÇÂÍÂÞÒ
ÕÙÉÅÈÃÌÕÉÚÌÕÔÌÕÇÕÝÄÁÕÀÃÛ
ÇÂÙÂÀÇÄÞÓÃÇÕÙÙÕÐÄÓÓÑÝÙÕÌÕ
46
ÉÓÄÕÙÃÁÉÕÍÑÕÉÕÀÄÇÅÙÂÒËÚÍ
ÓÏÈÞÄÁÔÂÓÂÈÕÇÕÞÖÄÈÖÕÓÊÄÖÕ
ÓÊÕÈÔÕÛÇÕÀÔÕÔÄÇÂÍÂÀÃÉÓÚÖ
ÀÑÇÈÒÕÄÝÉÃÖÄÓÕÞÙÂÇÕÞÙÉÂÛÓ
ÕÕÙÙÕÁÕÒÓÄÐÙÕßÙÕÀÑÇÙÕÈÂÉ
ÚØÒÕÝÅÚÞÄÁÕÔÓÅÅÞÓÕÌÕÒÓÆÞ
ÃÉÕÈÑÝÈÍÁÇÅÔÄÁÕÌÉÅÒÕÝÔÉÃÍ
ÏÅÒÕÚÈÇÚ×ÚÄÞÉÕÖÚÈÑÀÑÇÚÞÚÇ
ÏÓÑÒÚÇÆÔÏÒÚÞÌÂÞÚÀÕÈÂÒÍÂÙ
ÄÃÉÕÖÚÃÉÕÖÚÁÓÄÈÂÚÇÆÀÈÚÂÓ
ÂÙÕÇÚÝËÚÁÃÇÚÓ
3)
ÄÞÌÍÇÐËÞÜÄÑÜÇÅÞÒÚØÀÜËÐ
ÇÏÇÂÞÍÌÞÜËÑÀÏÑÅÑÆÄØÙÝÍÇÉØÍÒ
ÙÜÒÂÞÐÊÀÐØÁÇÏËØÀÜËÐÇÞËÂÒÜ
ÜÄÞÀÆÑÂÄÐØÞËÉÑËÇÉÄÞÌÍÇ×Â
ØÏÑÐÜÄÇÈÜËÞÉØÆÇÁÇÚÊÐÐÑÉØ
ÕØÑÜÐÞÑÄÇÄÞ×ÓÈÏÑÐÎÇÈÚÉÒÍÏ
ØÆÇÏÑÁÏÇÉÇÄËÞÚÑÂÑËÑÑÅÏÑÌ
ÞÉÞÜÚÊÉÞÏÁÐÇÉÒËÑÎÏÞÞÏÌÞÐÞ
ÂØÉØÍØÜßÍÇÞÜËÇÐÓÜÐÞÀÄÂÇÀ
ÌÉÒÙÞÀØÌÂÑÎÏÊÀÞÜËÇÐÓÂÞÜÜØ
ßÏÇÐÜÑÌÍÇÈÄÂÞÐÓÞËÂÒÄËÐÞØ
ÙÞËÅÞßØÁÜÑÂÍÆÇÐÊÏÒÕÑÂÏÊÀÜ
47
ËÊÍÈÏÞÐÊÅØÅÑÏÑÅ×ÞÄÂÞßÚÞÉÓ
×ÞÂÇÝÑÏØÀØÞÚØÍÏÞÂÇÐÏÞÍÒÎ
ÏÞØÜ×ÞÄÞÀÏÞÂÒÄÇÅØÈÁÇÅÄÏÒ
ÉÇÜÉÒÙÕËÞÚÛËÞÀÂÑÕÓßÏÑÍÞÜË
ÞÀÏÞÀÏÑÞÜÄÐÑÂÏØÉÜÈÜÄÞÂÚ
ÏÊÀÍÒÙÇÏÏÇÇÙÅÇËÞÐÇÕÑÂÏÑÑËÍ
ÞÂÞÌÇ×ÂØÅÞÂÜÄÞÌÞÜÇÍÇÝÑÉË
ÊØÜÐÑÝØÃÞÏÇÂØÈÞÕÑÏÓÜ×ÞÄÞÀ
ÏÇÈËÞÉÓÄÞÏÑÏÇÍÞÜÞÅÏÞßÞÏÑÅ
ÌÞÐÞÂØËÓËÊÅØÉÊÀØÐÑÂÏÊÀÅÊ
ÚÒÍÑÅÍÂÒÁÓÈÅØÌÒÉÈËÓÆÑÉÞÐ
ÇËÓÜÈÜËÇÂÑËÓØÉÑÌÄØÑÅÑÜÈÆÊ
ÚÒÍÒËÏÇÍÏÇÅØÄÇÄÜÏÑÝÏÊÑÁÐ
ÑÁÍÊÉÑËÑËÓÇÏÏÇÇÙÅÇËÞÐÇÞÍÏ
ÇØÁ×ÑÜÑÏÄÞËÞÂÊÑØÜ×ÞÉÏÈÉÐ
ÑÂËØÏÜÄØÀ
4)
ßÐßÙÞÔÞÉÀÈßÞÅÂÛÁÊÛÉÞÚØÝÊ
ÝÖÈÐÚËßÝÙÁÁÒÞÍÁßÀÆÉÁÔÁÈÈÞÃ
ÂÄÎßÝÉÞÔÛÜÞÅÈÁÈÐÍÝÊÝÞÂÞßÞ
ÅÉÞÅÉÈÞÒÞÈÁØÁÔÁÈßÞÒØÐßÞÈÏ
ÀÊÛÙßÐÌÀÈÁÂÁÏÐÔÛÈÞÏÎÞØÝÊÀ
ÉÞÁÅÈÁÎÈÐÙËÁÎÁÃÂÞÅØÝØÞÍÞÒ
ÞÅÈÁØÐÔÛÈÁÅÂÞÙÉÞÎÍÁÎÛßÐßÀ
48
ÒÍÐÚÎØÁÎÀÈÐßÝÙÎÐÆÖÐÇËÁÎÐÁ
ÎßÍÄÌÞËÈÀßÀËÁÖÝÎßÀÍÂÀÏÀÖÐ
ÞÒÍÐØÞÅßÎÞÎÄÜÍÐÎÉÞÅÀÔÀÔÚÜ
ÞËÈÀßÃÈÁÂÞÉÈÚÀÂÞÉÈÀÎÛÈÁÈÐ
ØÞßÐßÙËÁÎÔÞÖØÁÙÛÀßÐßÜÁÙÂÍ
ÀÚÎÈÞÞÎØÄÆÐÁÎÝÙÎÐÔÞÁÎÁÔÞÐ
ÂÍÞÆÞÌÀÁØÝÉÐÚÎÙÉÝÎÈÞËÁÍÈÞ
ÎÞÔÛßÞËÏÁÍÐÞËØÞËÁÔÐÐÈÈÐÐÆ
ÉÐÎÞËÐÃÂÛÚÖÐÍÐÖÞÍÁÈÈÄÅØÞÉ
ÖÐÖÔÝÚÌÀÖÈÛÉÞÚÖÐÞØÀÈÞÏÁÙÎ
ËÞËØËÞÁÉÀÖÐÎÁÜÃÃÂÛÚÖÐÔÞÌÛÉ
ÁÈÃÂÍÁØÐËÊÀÆÒÝÜÖÐÉÁÍÎËÄÅÆ
ÞÔÞØÒÔÐÖÖÐÎÞÏÎÞÉÀÍÌÁÙÎÞßÀÒ
ÍÝÜÖÐÎÞÏÎÞÜÞÒÈÁÙÂÐÙÐÈÈÐÐÆÉ
ÐÎÞËÐßÞÒØÐÃÈÞÏÛÚÌØÝÁÁÂÍÀÆ
ÞØÐÌÀÖÈÛßÐÌÁÎÙÃËÀÙÀÎÈÐËÞÔÞ
ÙßÁÏÎÞÂÞÏÁÙÎÀÏÎÞÚÈÞÙÎÛÏÎÞ
ÙËÞÜÞØÐÂÍÁØÉÀÔÞÅÒÞÙÎÛÁÅÙØ
ÝØÞÏßÞÅËÍÝßÁÀËÞÎËÞÊÔÐÞÎßÀÈ
ÝËÂÞßÍÄËÐÔÞËÈÀÉÐÎÁÔÛÈÞËÖÒÔ
ÃÈÝÔÐÈÐÉÁÈÃÁÅÒÞËÞÍÚÎÄÔÛØÐ
ÈÎÝØÀßÎÞËÐÔÐÙÎÍÐÈÀÇÄÐØÐÞÎ
ËÁÏÐÁÎÃÐÈÈÐÐÆÉÐÎÞËÐÉÝÖÐ
49
Çàäà÷à38.
Ñëåäóþùèåòåêñòûçàøèôðîâàíû
ïðîñòîéçàìåíîé.Àëôàâèòàíãëèéñêèé
26
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Ðàñøèôðîâàòü!
1)
50
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2)
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zoqmgmyindqumlgkzznrpytjpsvpmizkfnqqynpymyi
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dqripynjpslmvvhqlmszqklmyntpkpo
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rypyqhprykytodqyndqzsyikiynzdkyqkaklgqisahjzdpeqvm
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qripynjpslmvvhqlmszqklmyntpkpoqhjzpsvnpmlpha
myjznprqoqvvkbjpszqqhqmlphkyuqnnqrznqamzkiqmvpnpbh
qyikiynmvpnpbhqyikqipyqbkznkzkrpyndqpndqrpb
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51
Ÿ5.
Ìîäåëèñèñòåìøèôðîâàíèÿ
Çàäà÷à39.
Ïóñòü
M
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C
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2)
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K
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Z
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n
(
l

2)
ïðîñòðàíñòâî
êëþ÷åé.Ñ÷èòàåì,÷òîâåðîÿòíîñòèíàâñåõ
ýòèõïðîñòðàíñòâàõðàñïðåäåëåíûðàâíîìåðíî.
Âêà÷åñòâåñèñòåìûøèôðîâàíèÿèñïîëüçóåòñÿ
ñèñòåìàÂèæåíåðà.
1)Äîêàçàòü,÷òîïðè
l

t

1
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áóäåòñîâåðøåííîé.
2)×òîìîæíîñêàçàòüîíåé,åñëè
t

l
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Çàäà÷à40.
Ïóñòüñëó÷àéíàÿâåëè÷èíà
Q
ïðèíèìàåòíåáîëåå
t
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H
(
Q
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Q
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Çàäà÷à41.
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H
(
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×òîìîæíîñêàçàòüîáýòîéîöåíêå,åñëè
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X;Y
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52
Çàäà÷à42.
Âåðíîëè,÷òîäëÿëþáîãîøèôðà
ñïðàâåäëèâîðàâåíñòâî
H
(
M
j
K;C
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H
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K
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M
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(
K
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H
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M
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íåãîñðàâíîéâåðîÿòíîñòüþâûáèðàåòñÿêàæäàÿèç
10
áóêâ.Ïðîñòðàíñòâî
X
ñîñòîèòèç
6
ðàçëè÷íûõ
áóêâýòîãîñëîâàñâåðîÿòíîñòÿìè,îòâå÷àþùèìè
äàííîìóâûáîðó.Îïðåäåëèòüýíòðîïèþ
H
(
X
)
:
53
Ÿ6.
Ïðîñòåéøèåøèôðû
Ìûðàññìàòðèâàåìàôôèííîåøèôðîâàíèå,
øèôðîâàíèåìåòîäàìèïîäñòàíîâêèè
ïåðåñòàíîâêè,øèôðîâàëüíûåñèñòåìûÕèëëà
èÂèæåíåðà.
Çàäà÷à44.
Ïóñòüçàäàíàëôàâèòèç
n
áóêâ,
çàíóìåðîâàííûõîáû÷íûìîáðàçîì.Íàïëàòôîðìå
Z
n
îïðåäåëåíøèôð,êëþ÷îìêîòîðîãîÿâëÿåòñÿ
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k
2
Z
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m
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k

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)
.
Ïîêàçàòü,÷òîýòîòøèôðíàñàìîìäåëå
ÿâëÿåòñÿàôôèííûì.
Çàäà÷à45.
Ïðåäïîëîæèì,âçëîìùèêóèçâåñòåí
êóñîêèñõîäíîãîòåêñòàèñîîòâåòñòâóþùèéêóñîê
øèôðîâàííîãîòåêñòà.Êàêóþèíôîðìàöèþîí
ìîæåòïîëó÷èòü,åñëèèçâåñòíî,÷òî:
1)Èñïîëüçîâàëñÿøèôðñäâèãà?
2)Èñïîëüçîâàëñÿøèôðïðîñòîéçàìåíû?
3)Èñïîëüçîâàëñÿàôôèííûéøèôð?
54
4)ÈñïîëüçîâàëñÿøèôðÕèëëà?
5)Èñïîëüçîâàëîñüãàììèðîâàíèå?
6)Èñïîëüçîâàëñÿøèôðïåðåñòàíîâêè?
Çàäà÷à46.
Âûáðàòüÿçûê(àëôàâèò),ìàòðèöó
øèôðîâàíèÿøèôðîìÕèëëàñìàòðèöåéðàçìåðà
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3

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èçàøèôðîâàòüôðàçó
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(ìîæíîâûáðàòüäðóãóþôðàçóèëè
èñïîëüçîâàòüäðóãîéÿçûê).
Çàäà÷à47.
Ðàñøèôðîâàòüñëåäóþùèéòåêñò,
çàøèôðîâàííûéøèôðîìÕèëëà(àëôàâèòðóññêèé

33
áóêâû,ìàòðèöàøèôðîâàíèÿðàçìåðà
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3
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Èçâåñòíàìàòðèöà
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122
1
A
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Çàøèôðîâàííûéòåêñò:
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Çàäà÷à48.
Ðàñøèôðîâàòüñëåäóþùèéòåêñò,
çàøèôðîâàííûéøèôðîìÕèëëà(àëôàâèòðóññêèé
55

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áóêâû,çàíóìåðîâàííûåîò
0
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32
;
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øèôðîâàíèÿðàçìåðà
3

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)èâåêòîð,èñïîëüçóåìûå
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ßÖÚÝ×ÁÌÔÉÍÆÕÉØÈÂÑÀÅ
ÃÙÊÈßÌÌÝÈÆÀ
Çàäà÷à49.
Ðàñøèôðîâàòüñëåäóþùèéòåêñò,
çàøèôðîâàííûéøèôðîìÕèëëà(àëôàâèò
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26
áóêâ,çàíóìåðîâàííûõîò
0
äî
25
;
ìàòðèöàøèôðîâàíèÿðàçìåðà
3

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)èâåêòîð,
èñïîëüçóåìûåïðèøèôðîâàíèèíåèçâåñòíû.
FYYZRRBDWCIRRHLDXMHCSHPEGNUVWQ
Çàäà÷à50.
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;
âûáðàòüôðàçóäëèíû
56
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50
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çàøèôðîâàòü,èñïîëüçóÿïîñòðîåííûéøèôð.
Ïðèâåñòèâû÷èñëåíèÿäëèíûêëþ÷à,èñïîëüçóþùèå
òåñòÊàçèññêîãî(ò.å.âû÷èñëèòüçíà÷åíèÿ
ôóíêöèèÊàçèññêîãîäëÿïðîðåæåííûõòåêñòîâ).
Ñîîòâåòñòâóþòëèâû÷èñëåíèÿòåîðèè?
Çàäà÷à53.
Äîêàçàòü,÷òîêðàòíîåâûïîëíåíèå
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øèôðîâïåðåñòàíîâêèñêëþ÷àìè

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3)Íàéòèèñõîäíûéòåêñò.
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ZEZXSEYMRVGHQXGCIOWS
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Çàäà÷à57.
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1)Âû÷èñëèòüäëèíóêëþ÷à.
2)Íàéòèêëþ÷.
3)Íàéòèèñõîäíûéòåêñò.
ÙÖÛÆÊ×ÓÖÜÑÄÚÀÖÁÒÈÒÊÔ
ÜËÃÚÜÑÞÏÉÝÕ×ÐÕÊÔØÏÍÒ
ÀÝÌÍÞÑÍßÖ×ÏÊÛØÕÍÐÕËß
Ë××ÖÎÏÎÄÚÑÎÕÉÙÅËÇËËÔ
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À×ÓÚÏÕÅÕÂÍÞÈËÐØÖÜÅÐÐ
58
ÒÅÎÕÉÍÙÑÚœÁÚÍÈÖÖÐÚÛ×
ØÆÑÖÊÏÖØËßÍÈÄÆÐÊÓÙÜÑ
ÀÝÌ××ÑÐËØÖÈÐÊ×ÓÀßÑÀÒ
ÓÓÍÑÈØÎÍÏÏÇÚ×ÛÏÕÉÖÖÑ
ÛÕÊßÕÙÍßÅÙÓ×ÛØÊËÒÈÙÊ
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ÊÛÍÐÍÈÙÑÂÒÀØ×ÑÚ
Çàäà÷à58.
Ñëåäóþùèåøèôðîãðàììûïîëó÷åíû
øèôðîìÂèæåíåðà.Àëôàâèòðóññêèé32áóêâû
(åâìåñòî¼).Ðàñøèôðîâàòü!
1)
ËÐËÑÄÖÒÔÊÀÀÜ×ÉÉÑÖÏËÞÉÛÎÖ
ÈÒÛÔÖÊÑÛÔÕÎÉØÑÃÉÑÉËÆÍÙÙÎÓ×
ÕÀËÎÇÃÛÓßÁÕÀÔÑ×ÌÀÅÑÁÖßÅÓÇ
ÄÅÎ×ÉÃÀÂÉßÒÛËÛÁÐÎ×ÖÁÎÙÆÕÇ
ÉÕÅÖÍÃÖÕÏÜÛÏËÕÆÒÛËÛÁÑÖ××È
ÔÎÐÕÊÛÖØÕÛÕÐÎÑÒÒÐÔÌÍÒÛÓÒÃ
ÆÓÓÌÎÈÜÌÈØÒßËÑÉÌ×ÍÆÁÑÖØÐÊ
ÑÜØÒÉÑÜÈÉÓÉÞÓÌÑÆÖÊÉÉÌ×Ö×Í
ÄÙÔÛØÌÀËÑÄÓÞÔÕÞÉÀÆÌÍÎÎÑÌÞ
ÓÁ×Ö×ÑÓÔÕÁÑÛËÍÄÆßËÔÏÂÚÉÏÏ
ÆÛËÏÚÈÖÒßÁÈÎÑÌËÒÆÑÌËÒÒÑÒÑ
59
ÐÜØÀÛÐÖÝÉÌÑÜÏÓÁÛÎÑÌÉÉÛÆÕÎ
ÑÜÉÒÈÌÞÆÑÁËÒËÜÉÌÓÉÒÍÖÊÎÌÍ
ÎÎØÀÍÉÏËÐÁÕÀÆÑÜÖÖÛÒÈÓÜÉÒÍ
ÖÓÆÏÄÚÎÈÈÊÊÒËÆÍÉÑÖ×ÍÖÛËÍÄ
ÖÁÒÄÉÑÓÏÆËÉÅÆÏØÌØÔÛÁÆÊËÆÍ
ÌÞÔÖÍÖÐÔÕÆÌÀÆÑÄÍÝÔÑÏÔÜÄÚÁ
ÓÊÄ×ÑÒÒÅÖÝÉÕÍÆÏÎÎÑÌÔÀØÆÖÛ
ÖßÅÕÇÉÕÁÖÜÎÝÑÄÓÉÀÖÄÃÏÁÐÄÎ
ÒÙÂÉÎÈÜÌÈØÒßËÑÉÌ×ÍÆÁÑÖØÐÊ
ÑÜØÒÉÑÜ×ÖÁÎÙÅÑÉßÓÈÕÑÏÖÕßÍ
ÖÓÐÏÛÑÛÁÉÍÖÜÓßÄÖÍÓÉÎÕÍÕÏÜ
ÛÖÙÑÛÖÊËÇÊÑÓÝÉÈÄßØÉÆÏÎ×ÏÁ
ËÍØÕÛÌÝÑÄÓÅÓ×ÎÊÑÓÝÉÉÌßÙÐÌÄ
Ø×ÒÓÌÀ×ÃÍÆÖÓÚÊÆÜÎÕÊÑÛÔËÞÉ
ÛÎÖÀÒÔÊÀÊÕÓÓÑÄÍÕÈÉÉÌÀÒÒÉÒ
ÀÔÑÉÒØÔÇÊÖÜÙÖÌÄÀÎÏÛÆÛÔÛØÁ
ÀÙËÇ×ÌÐÒßÒØØÒÎÒÁÒÉÌÓÜÐÒÈÃ
ÀÔÕÆ×ÌÓÒÆÖÜÈÕËÒÚÎÑÜÂÍ×ÑÊÆ
ÎÎÕÉÒÐÆÎÊÇÜ×ÙÊÔÜÓÌÇÃØÔÇÊÖ
ÜÖÒÀÑÜÉÒÀÄÆÑÒÆÒÚÓÉÍÛÎ×ÖØÉ
ÛÔÕßÌÛÙÏÊÆÝÔÏÁÏÌÇÌÇÐÓÓÃÆÖ
ÜØÒÉÉÐÁÖÁÔÝËÏÝÒÙÎÓÊÑÍÈÜÄÛ
ÀÔÌÍÎÞÙÆÈÉÛÅÑÁËÎÖÒÉÌÀÙÇÜÕ
ßÎÔÊÖÎÎÛÏÊÖËÙÊÔÜÓÃÎÄÑÊÉÎÒ
60
ÝÔÊÜÔÜÒÕËÄÙÎÏÊÏÎÝ×ßÌÖÊÉÎÌ
ßÉÒÌÉÙÎÎÜÎÝÑÄÓ×ÀÈÒÆÔÁÉÉÎÒ
ÙÂÉÎÈÜÌÈØÒßËÑÉÌ×ÍÆÁÑÖØÐÊÑ
ÜØÒÉÑÜ×ÖÁÎÙÅÑÉßÓÈÕÑÏÖÕßÍÖ
ÓÐÏÛÑÛÁÉÍÖÜÓßÄÖÍÓÉÎÕÍÕÏÜÛ
ÖÙÑÛÖÊËÇÊÑÓÝÉÈÄßØÉÆÏÎ×ÏÁË
ÍØÕÛÌÝÑÄÓÅÓ×ÎÊÑÓÝÉÉÌßÙÐÌÄ
Ø×ÒÓÌÀ×ÃÍÆÖÓÚÊÆÜÎÕÊÑÛÔËÞÉ
ÛÎÖÀÒÔÊÀÊÕÓÓÑÄÍÕÈÉÉÌÀÒÒÉÒ
ÀÔÑÉÒÆËÏÀÉÚÔÑÏÇÞÄÐ×ÍØÓÉÃÈ
ÓÞÑÄÐÝÖÉÀÉÙÆÐÄÕÒËÏÜÏÚÔÍÍÄ
ÒÕ×ÍÖÉÖÉÈÓÜÉÒÌÉÙÁÐÊÅÁÉÏÄÆ
ÒËÔÁÆÊÅÓÊÅÞËÏËÒÀÖÒËÌÛÐÉÄÓ
ÓÕÏÊÐÕÆÕ×ÓÎÑÊÄÆÉËÅÜÔÐÎÑÆÌ
ÖÇÔÊÕÖÈÑÜÇÞÅÈ×ÓÜÐÄÈÉÛÓÒÅÇ
ÞÙÈÁÕÚËÔÎÉÙÂÑÊÍÀÖÉÞÒÑÔÍÃÄ
ßËÃÇÅÓÍÏÚÈÊËÌÍÄÚÖÄÍÖÞËÆÊÊ
ÓÓÑ×ÍÐÉ×Õ×ÏÙÔØÃÛÆÑÄÛØÔÐËÒ
ÐÆÏÄÏßÅËÞÉÛÅÒÇÒÐÅÑÉÒÖÍÄÈÉ
ÞÓÄÆÄÚÓÉÓÖÜÇÆ×ÓÙÆÎÜÖÊÒ×ÓÄ
ßÂËÜÓÓÐÜÄÙßÅÕÇÉÕÕÒÆÄÍÓÑÏÂ
ÔÉ×ÓÉßØÀÎÒÙÂÉÎÈÜÌÈØÒßËÑÉÌ
×ÍÆÁÑÖØÐÊÑÜØÒÉÑÜ×ÖÁÎÙÅÑÉß
ÓÈÕÑÏÖÕßÍÖÓÐÏÛÑÛÁÉÍÖÜÓßÄÖ
61
ÍÓÉÎÕÍÕÏÜÛÖÙÑÛÖÊËÇÊÑÓÝÉÈÄ
ßØÉÆÏÎ×ÏÁËÍØÕÛÌÝÑÄÓÅÓ×ÎÊÑ
ÓÝÉÉÌßÙÐÌÄØ×ÒÓÌÀ×ÃÍÆÖÓÚÊÆ
ÜÎÕÊÑÛÔËÞÉÛÎÖÀÒÔÊÀÊÕÓÓÑÄÍ
ÕÈÉÉÌÀÒÒÉÒÀÔÑÉÒÙËÒËÒÙÂÈÍÖ
ÎÚØÊÕÓÓÑÄÍÒÔÊÀÀ
2)
ÐÕÞßÞÀÊØÂÜßÁËÎÉÙÏÚÑÎÑÐÈÃØÀ
ÅÊÑÎÒÒÔÎÛËÚÜÆØÔÓÎÆÞØÇÄÉßÌ
×ÑØÓÝÁÊÍÎÂÕÚÒÜÒÄÝÃÜØÚÎÅÐÐ
ÖÃÆÀÐÕÌÒÀÕÕËÌÒÛÄÖÑÎÁÒÚËÜÖ
ÍÁÒÀÐÇÄÉÓÜÍÄÆÛÌÃÚÎÖÃÖÙÔÙØÑ
ÑÇØÀÍÖÌÖÒÀÁÒØÐÐËÉÃÝÊßÂÓÀ
ÊÏÉÕÕÐÑÎÏËÐÔÑÜÑÓÖÎÎÒÓ×ÏØÐ
ÚÓÁØÐ×ÚÐÜÛÓÝÎÁÛÇÖÑÜÒÍÀÌÎÜ
ÅÙÅßÚÓÑÈÓÀÒÚËÜÛÓÙÉÎÛÁÙÜ×Å
ÐÚÐÜÚÍÜÆØØÔÚÃÓÛÊ×ÉÚÝÊÛÌÉÒ
ÍØÉÛÃÇÄÆÌ×ÍØÏ×ßØÝÓÜÙÏÌËÚÞ
ÌÏÍÙÐÉÑÎÄÐÔÚÅÛÕØØÏÙÇÒÇÊÐÞ
ÎÛÑÖÛÍÎÏÐØÇÑÓÞÞÇÍÆÔÐÐËÃÉÚ
ÍÙÔÐßÓÍÆÒÝÓÑËÜÛÊÙ×ÓÒÉÚÌÊß
ÓÍÆÞÕËÔÊÝÞÐßÏßÂÕÚÃÜÒÑÚÆÞÞ
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62
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ÑèñòåìàÌåðêëÿ-Õåëëìàíàñòðîèòñÿ
ñëåäóþùèìîáðàçîì.Ïóñòüåäèíèöàìèèñõîäíîãî
òåêñòàñëóæàòäâîè÷íûåíàáîðûäëèíû
n:
Àëèñàâûáèðàåòñóïåðâîçðàñòàþùèéíàáîð
X
n
íàòóðàëüíûõ÷èñåë,ìîäóëü
N�
2
x
n
èîáðàòèìûé
âû÷åò
a
2
Z
N
:
Òàêæåîíàâûáèðàåòïîäñòàíîâêó

2
S
n
:
Ýòèäàííûå(êðîìå
n
)ñåêðåòíûå.
Ïóáëèêóåòñÿíàáîð
(
ax

(1)
;:::;ax

(
n
)
)
2
Z
N
:
Âîáùåìñëó÷àåîíóæåíåâûãëÿäèòêàê
ñóïåðâîçðàñòàþùèé.Èäëÿíåãîçàäà÷àîðþêçàêå
íåïðåäñòàâëÿåòñÿëåãêîðåøàåìîé.Ýòîòíàáîð
âûñòóïàåòâðîëèîòêðûòîãîêëþ÷àøèôðîâàíèÿ.
74
Áîáõî÷åòïîñëàòüñîîáùåíèåÀëèñå.Îíáåðåò
åäèíèöóòåêñòàáèíàðíûéâåêòîð
"
=(
"
1
;:::;"
n
)
2
f
0
;
1
g
n
;
âû÷èñëÿåòèïîñûëàåòÀëèñåâû÷åò
b
=
P
i
=1
"
i
ax

(
i
)
:
Àëèñà,ïîëó÷èâ
b;
ïðèìåíÿåòêíåìó
óìíîæåíèåíà
a

1
(
mod
N
)
:
Çàòåìîíàðåøàåò
çàäà÷óîðþêçàêåäëÿïîëó÷åííîãîçíà÷åíèÿ
îòíîñèòåëüíîèñõîäíîãîñóïåðâîçðàñòàþùåãî
íàáîðà,ó÷èòûâàÿïîäñòàíîâêó
:
Ýòîïîçâîëÿåòåé
íàéòèïåðåñûëàåìûéâåêòîð
":
2)Îïèøèòåïîäðîáíî,êàêîíàâñåýòîäåëàåò.
Çàäà÷à61.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîèñïîëüçóåòñÿ
ñèñòåìàÌåðêëÿ-Õåëëìàíàíàïëàòôîðìå
Z
p
,ãäå
p
ïðîñòîå÷èñëî,ðàâíîå
2503
.Øèôðîâàííûé
òåêñòåñòü
c
=3155
.Âåêòîðîòêðûòûõäàííûõ
t
=(1394
;
1256
;
1987
;
439
;
650
;
724
;
339
;
2303
;
810)
.
Îïðåäåëèòüçíà÷åíèå
a
äëÿêîòîðîãî
âåêòîð
a

1
t
(
mod
p
)
ñóïåðâîçðàñòàþùàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.Íàéòèèñõîäíûé
òåêñò,êîòîðûéâûãëÿäèòêàêáèíàðíàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
75
Ÿ7.
Ãðóïïû
Àëãåáðàè÷åñêèåñèñòåìû,èìåþùèåâíàñòîÿùåå
âðåìÿìíîæåñòâîâàæíûõïðèëîæåíèéâäðóãèõ
îáëàñòÿõìàòåìàòèêè,ôèçèêå,õèìèèèò.ä.
Êàêïðàâèëîïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿÿâëÿþòñÿ
ãðóïïàìè.Êëàññè÷åñêèåïëàòôîðìûïðèøëèèç
òåîðèè÷èñåëèòåîðèèïîëåé.Âíàñòîÿùååâðåìÿ
àêòèâíîðàçâèâàåòñÿíîâûéðàçäåëêðèïòîãðàôèè
"êðèïòîãðàôèÿ,îñíîâàííàÿíàãðóïïàõ",â
êîòîðîéñóùåñòâåííóþðîëüèãðàþòìàòðè÷íûåè
àáñòðàêòíûå(âòîì÷èñëåáåñêîíå÷íûå)ãðóïïû.
Áàçàìèñîâðåìåííûõñèñòåìêðèïòîãðàôèè
îñíîâàííîéíàãðóïïàõñëóæàòàëãîðèòìè÷åñêè
íåðàçðåøèìûåèòðóäíîðàçðåøèìûåïðîáëåìû
òåîðèèãðóïï.Ýòóîáëàñòüíàçûâàþòòàêæå
íåêîììóòàòèâíîéêðèïòîãðàôèåé
.
Çàäà÷à62.
Ïóñòü
K
àññîöèàòèâíîåêîëüöîñ1.
1)Äîêàçàòü,÷òîâñåîáðàòèìûåýëåìåíòû
êîëüöà
K
îáðàçóþòãðóïïó
K

îòíîñèòåëüíî
óìíîæåíèÿ.Îíàíàçûâàåòñÿìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïîéêîëüöà
K
èîáîçíà÷àåòñÿ
K

:
2)Êàêîâïîðÿäîê(ò.å.êîëè÷åñòâîýëåìåíòîâ)
ãðóïïû
Z

n
?
76
Çàäà÷à63.
Ñêîëüêîðåøåíèéèìååòóðàâíåíèå
âèäà
x
2
=
b
âãðóïïå
Z

21
?Ïðèâåñòèâñåâîçìîæíûå
ñëó÷àè.
Çàäà÷à64.
Áóäåòëèöèêëè÷åñêîé
ìóëüòèïëèêàòèâíàÿãðóïïà
Z

24
?
Çàäà÷à65.
Ñêîëüêîïîðîæäàþùèõýëåìåíòîââ
ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïå
Z

23
?
Çàäà÷à66.
Äîêàçàòü,÷òîàáåëåâàãðóïïà
ïîðÿäêà
pq;
ãäå
p;q
ðàçëè÷íûåïðîñòûå
÷èñëà,îáÿçàòåëüíîöèêëè÷åñêàÿ.Âåðíîëèýòî
óòâåðæäåíèåâñëó÷àåàáåëåâîéãðóïïûïîðÿäêà
p
2
(
p
ïðîñòîå)?Ïîñòðîèòüïðèìåðíåàáåëåâîé
(çàâåäîìîíåöèêëè÷åñêîé)ãðóïïûïîðÿäêà
pq;
ãäå
p;q
òàêæåðàçëè÷íûåïðîñòûå÷èñëà.
Çàäà÷à67.
Äîêàçàòü,÷òîêîíå÷íàÿàáåëåâà
ãðóïïà,ïîðÿäîêêîòîðîéñâîáîäåíîòêâàäðàòîâ
(ò.å.íåäåëèòñÿíàêâàäðàòêàêîãî-ëèáîïðîñòîãî
÷èñëà)öèêëè÷åñêàÿ.Ýòîîáîáùàåòóòâåðæäåíèå
ïðåäûäóùåéçàäà÷è.
Çàäà÷à68.
Äîêàçàòü,÷òîâöèêëè÷åñêîéãðóïïå
C
(
p
)
ïðîñòîãîïîðÿäêà
p
ëþáîéíååäèíè÷íûé
77
ýëåìåíòÿâëÿåòñÿïîðîæäàþùèì.Ñêîëüêî
ïîðîæäàþùèõýëåìåíòîââöèêëè÷åñêîéãðóïïå
C
(
p
2
)
ïîðÿäêà
p
2
?
Çàäà÷à69.
Ïåðèîäîì
t
(
G
)
ãðóïïû
G
íàçûâàåòñÿ
íàèìåíüøåå÷èñëî
t
òàêîå,÷òîäëÿëþáîãîýëåìåíòà
g
2
G
âûïîëíåíîðàâåíñòâî
g
t
=1
:
1)Âû÷èñëèòüïåðèîäìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû
Z

n
êîëüöàâû÷åòîâ
Z
n
;
ïðèóñëîâèè,÷òî
n
åñòüïðîèçâåäåíèåðàçëè÷íûõíå÷åòíûõïðîñòûõ
÷èñåë
p
è
q:
2)Âûâåñòèîòñþäà,÷òîòàêàÿãðóïïàíåìîæåò
áûòüöèêëè÷åñêîé.
Çàäà÷à70.
Äîêàçàòü,÷òîìóëüòèïëèêàòèâíàÿ
ãðóïïà
Z

n
êîëüöàâû÷åòîâ
Z
n
ïîïðèìàðíîìó
ìîäóëþ
n
=
p
r
;p
ïðîñòîå,âñåãäàöèêëè÷åñêàÿ.
78
Ÿ8.
Êîíå÷íûåïîëÿ
Êîíå÷íûåïîëÿïðèìåíÿþòñÿâêðèïòîãðàôèè
ïðåæäåâñåãîêàêïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿ
èïîñòðîåíèÿïðîòîêîëîâ,îñíîâàííûõíà
ïîíÿòèèäèñêðåòíîãîëîãàðèôìà.Çàìå÷àòåëüíîé
îñîáåííîñòüþÿâëÿåòñÿïðîñòîòàñòðóêòóðû
ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïûêîíå÷íîãîïîëÿ,
êîòîðàÿÿâëÿåòñÿöèêëè÷åñêîéèâîçìîæíîñòü
ñòàíäàðòíîéçàïèñèýëåìåíòîâ,êîòîðàÿñêðûâàåò
ýòóïðîñòîòó.
Âàæíîòàêæå,÷òîïðèïîñòðîåíèèèàíàëèçå
ïðîòîêîëîâìîæíîèñïîëüçîâàòüðàçâèòûé
àëãåáðàè÷åñêèéàïïàðàòòåîðèèïîëåé.
Çàäà÷à71.
Äîêàçàòü,÷òî
2
ÿâëÿåòñÿ
ïîðîæäàþùèìýëåìåíòîì(òàêèåýëåìåíòûåùå
íàçûâàþò
ïðèìèòèâíûìèêîðíÿìè
)ïðîñòîãî
êîíå÷íîãîïîëÿ
F
29
:
Çàäà÷à72.
Ïåðå÷èñëèòüâñåïðèìèòèâíûå
ýëåìåíòûïðîñòûõêîíå÷íûõïîëåé
F
p
ïðè
p
=11
;
13
;
17
;
19
è
23
:
Çàäà÷à73.
Ïîêàçàòü,÷òîåñëè
p
=2
n
+1

79
ïðîñòîå÷èñëîÔåðìà,òî
3
ïðèìèòèâíûéêîðåíü
ïîìîäóëþ
p:
Çàäà÷à74.
Ïîñòðîèòüêîíå÷íûåïîëÿ
F
2
4
;
F
3
3
è
F
5
2
;
óêàçàâñîîòâåòñòâóþùèå
ìíîãî÷ëåíû
f
(
x
)
:
Íàéòèïîðîæäàþùèåýëåìåíòû
ìóëüòèïëèêàòèâíûõãðóïïïîñòðîåííûõïîëåé.
Áóäåòëèýëåìåíò
x
(âêàæäîìñëó÷àåñâîé)
ïîðîæäàòüâñþìóëüòèïëèêàòèâíóþãðóïïó?
Çàäà÷à75.
Äîêàçàòü,÷òîâëþáîìïîëå
F
p
k
ñîäåðæèòñÿåäèíñòâåííûé(òðèâèàëüíûé)êîðåíü
p
-
éñòåïåíèèç
1
:
Çàäà÷à76.
Ïóñòüïîëå
F
2
4
ïîñòðîåíîïî
ìíîãî÷ëåíó
f
(
x
)=
x
4
+
x
3
+1
2
Z
2
[
x
]
:
Ïåðå÷èñëèòüâñåýëåìåíòû
a
2
F
2
4
;
äëÿêîòîðûõ
ðàçðåøèìîóðàâíåíèå
y
3
=
a:
Çàäà÷à77.
Äîêàçàòü,÷òîâïîëå
F
2
6
äëÿëþáîãî
a
2
F
2
6
ðàçðåøèìîóðàâíåíèå
y
5
=
a:
Çàäà÷à78.
Ïåðå÷èñëèòüâñåêîðíèèç
1
ñòåïåíè
4
âìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïåêîíå÷íîãîïîëÿ
ïîðÿäêà
27
,çàäàííîãîìíîãî÷ëåíîì
f
(
x
)=
x
3
+2
x
+
2
2
Z
3
[
x
]
.
80
Çàäà÷à79.
Ïóñòüïîëå
F
2
4
ïîñòðîåíîïî
ìíîãî÷ëåíó
f
(
x
)=
x
4
+
x
3
+1
2
Z
2
[
x
]
.
Ïåðå÷èñëèòüâñåýëåìåíòû
a
äàííîãîïîëÿ,äëÿ
êîòîðûõðàçðåøèìîóðàâíåíèå
y
3
=
a
.
Çàäà÷à80.
Ñêîëüêîðåøåíèéóðàâíåíèÿ
x
p
=1
èìååòñÿâïðîñòîìêîíå÷íîìïîëå
Z
p
?
Çàäà÷à81.
Ïóñòü
F
2
4
êîíå÷íîåïîëåïîðÿäêà
16
;
ïîñòðîåííîåïîíåïðèâîäèìîìóìíîãî÷ëåíó
x
4
+
x
+
1
2
F
2
[
x
]
.Èñõîäíûéòåêñò
m
1
m
2
m
3
ñîñòîèòèç
3
áèíàðíûõáëîêîâäëèíû
4
:
Âêàæäîìèçíèõâ
òî÷íîñòèîäèíáèòðàâåí
1
:
Áåðåòñÿýëåìåíò
b
2
F

2
4
;
òàêæåçàïèñàííûéââèäåáèíàðíîãîáëîêàäëèíû
4
:
Øèôðîâàíèåîïðåäåëÿåòñÿïðàâèëîì:
c
i
=
m
i
+
b
i
;i
=1
;
2
;
3
:
Îêàçàëîñü,÷òî
c
3
=(0
;
0
;
1
;
1)
:
Íàéòè
b:
Áóäåòëèðåøåíèååäèíñòâåííûì?
Çàäà÷à82.
Âû÷èñëèòüàëãîðèòìîìÝâêëèäàè
îáîáùåííûìàëãîðèòìîìÝâêëèäàíàèáîëüøèå
îáùèåäåëèòåëè
d
(
x
)
ñëåäóþùèõìíîãî÷ëåíîâ
f
(
x
)
è
g
(
x
)
;
àòàêæåíàéòèïðåäñòàâëåíèÿâèäà
d
(
x
)=
f
(
x
)

u
(
x
)+
g
(
x
)

v
(
x
)
:
1)
f
(
x
)=
x
6
+2
x
4

4
x
3

3
x
2
+8
x

5
;g
(
x
)=
x
5
+
x
2

x
+1
2
Q
[
x
]
;
81
2)
f
(
x
)=2
x
4
+2
x
3
+
x
2
+2
;g
(
x
)=
x
5
+
x
4
+
x
3
+
x
+2
2
Z
3
[
x
]
:
Çàäà÷à83.
Âû÷èñëèòüîáîáùåííûìàëãîðèòìîì
Ýâêëèäàñëåäóþùèåîáðàòíûåìíîãî÷ëåíû:
1)
(
x
7
+
x
5
+2
x
3
+
x
+2)

1
(mod(
x
2
+
x
+1))
íàäïîëåì
Q
:
2)
(
x
4
+2
x
3
+
x
2
+1)

1
(mod(
x
3
+2
x
2
+
x
+1))
íàäïîëåì
F
3
:
Çàäà÷à84.
Äîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
4
+
1
íåïðèâîäèìíàä
Z
;
íîïðèâîäèìïî
(mod
p
)
ïðè
âñåõïðîñòûõ
p
.
Çàäà÷à85.
Äîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
4
+
ax
2
+
b
2
;
ãäå
a;b
2
Z
;
ïðèâîäèìïî
(mod
p
)
ïðèâñåõ
ïðîñòûõ
p
.
82
Ÿ9.
Äèñêðåòíûéëîãàðèôì
Äèñêðåòíûéëîãàðèôìâàæíåéøååïîíÿòèå
ñîâðåìåííîéêðèïòîãðàôèèèååïðèëîæåíèé.
Áîëüøèíñòâîïðîòîêîëîâ,âêëþ÷àþùåå
ýëåêòðîííûåïîäïèñè,ïðîòîêîëûàóòåíòèôèêàöèè
èïðîòîêîëûðàñïðåäåëåíèÿêëþ÷åé,îñíîâàíîíà
òðóäíîñòèðåøåíèÿçàäà÷èäèñêðåòíîãîëîãàðèôìà
âîáùåìñëó÷àå.Ìîæåòèñïîëüçîâàòüñÿèäëÿ
øèôðîâàíèÿ.ÇíàìåíèòûéïðîòîêîëÄèôôè-
Õåëëìàíàîïóáëèêîâàíâ[21].
Çàäà÷à86.
Ïîêàçàòü,÷òîâûáîðïðîñòîãî
êîíå÷íîãîïîëÿ
F
p
îòíîñèòåëüíîïðîñòîãî÷èñëà
Ôåðìà,ò.å.ïðîñòîãî÷èñëà
p
âèäà
2
2
k
+1
ÿâëÿåòñÿíåóäà÷íûì,åñëèýòîïîëåïðåäïîëàãàåòñÿ
èñïîëüçîâàòüêàêïëàòôîðìóêðèïòîãðàôè÷åñêèõ
ñèñòåìèëèïðîòîêîëîâ,îñíîâàííûõíàòðóäíîñòè
âû÷èñëåíèÿäèñêðåòíîãîëîãàðèôìà.
Çàäà÷à87.
Âû÷èñëèòüìåòîäîìÑèëüâåðà
ÏîëèãàÕåëëìàíàäèñêðåòíûéëîãàðèôì
ýëåìåíòà
25
âïîëå
F
41
îòíîñèòåëüíîïîðîæäàþùåãî
ýëåìåíòà
g
=7
:
83
Çàäà÷à88.
Ïîñòðîèòüïîëå
F
7
3
:
Íàéòè
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
g
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû
F

7
3
:
Âû÷èñëèòüäèñêðåòíûéëîãàðèôì
log
g
f
ïîîñíîâàíèþ
g
ýëåìåíòà
f
=5
x
2
+2
x
+6
ìåòîäîìÑèëüâåðàÏîëèãàÕåëëìàíà.
Çàäà÷à89.
Ïîñòðîèòüïîëå
F
3
3
:
Íàéòè
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
g
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû
F

3
3
:
Âû÷èñëèòüäèñêðåòíûéëîãàðèôì
log
g
f
ïîîñíîâàíèþ
g
ýëåìåíòà
f
=
x
2
+2
x
+2
ìåòîäîìÑèëüâåðàÏîëèãàÕåëëìàíà.
Çàäà÷à90.
Ïîñòðîèòüïîëå
F
3
4
:
Íàéòè
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
g
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû
F

3
4
:
Âû÷èñëèòüäèñêðåòíûéëîãàðèôì
log
g
f
ïîîñíîâàíèþ
g
ýëåìåíòà
f
=
x
3
+2
x
2
+2
x
+2
ìåòîäîìÑèëüâåðàÏîëèãàÕåëëìàíà.
Çàäà÷à91.
Ïîñòðîèòüïîëå
F
43
:
Íàéòè
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
g
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû
F

43
:
Âû÷èñëèòüäèñêðåòíûéëîãàðèôì
log
g
f
ïîîñíîâàíèþ
g
ýëåìåíòà
f
=11
ìåòîäîì
ÑèëüâåðàÏîëèãàÕåëëìàíà.
Çàäà÷à92.
Ïðîäåìîíñòðèðîâàòüâåðñèþ
àëãîðèòìàÑèëüâåðàÏîëèãàÕåëëìàíà
84
âû÷èñëåíèÿäèñêðåòíîãîëîãàðèôìàâïîëå
F
17
äëÿñëó÷àÿ
3
x
=15(
mod
17)
:
Çàäà÷à93.
Ïîñòðîèòüêîíêðåòíûéïðîòîêîë
ÄèôôèÕåëëìàíàñïëàòôîðìîé
F

27
:
Çàäà÷à94.
Ïóñòüäàíîïðîñòîåêîíå÷íîåïîëå
Z
43
:
Ïðåäïîëîæèì,÷òî
g
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû.Ñêîëüêîâñåãî
èìååòñÿïîðîæäàþùèõýëåìåíòîâèêàêèõìîæíî
ïîëó÷èòüèç
g
?
Çàäà÷à95.
Ïðåäëàãàåòñÿñëåäóþùååóïðîùåíèå
ïðîòîêîëàÌàññè-Îìóðû.Ïðèâûáðàííîì
êîíå÷íîìïîëå
F
Àëèñàîñóùåñòâëÿåòïåðåäà÷ó
ñîîáùåíèÿ
m
2
F
Áîáó.Îíàâûáèðàåòñåêðåòíûé
ýëåìåíò
a
2
F

èïåðåäàåòýëåìåíò
ma:
Áîá
âûáèðàåòñåêðåòíûéýëåìåíò
b
2
F

èïåðåäàåò
ýëåìåíò
mab:
Àëèñàóìíîæàåòíà
a

1
èïåðåäàåò
mb:
Áîáâû÷èñëÿåò
m;
óìíîæàÿïîëó÷åííîå
ñîîáùåíèåíà
b

1
:
Êàêîâàîñíîâíàÿñëàáîñòü
ïðîòîêîëà?Ìîæíîëèåãîóëó÷øèòü,çàìåíèâ
ïëàòôîðìó
F
íàêîëüöîâû÷åòîâ
Z
n
?
Çàäà÷à96.
Ïóñòüäàíîïðîñòîåêîíå÷íîåïîëå
Z
47
.Ïðåäïîëîæèì,÷òî
g
ïîðîæäàþùèéýëåìåíò
85
åãîìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû.Ñêîëüêîâñåãî
èìååòñÿïîðîæäàþùèõýëåìåíòîâèêàêèõìîæíî
ïîëó÷èòüèç
g
?
Çàäà÷à97.
Èìååòñÿêîíå÷íîåïîëå
F
ïîðÿäêà
p
r
.Ïóñòü
g
ïîðîæäàþùèéýëåìåíòåãî
ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû.Âû÷èñëèòü
äèñêðåòíûéëîãàðèôìýëåìåíòà
f
,åñëèèçâåñòíî,
÷òî
log
g
(
f
5
)=
k;
log
g
(
f
11
)=
t
.
Çàäà÷à98.
Ïóñòüäàíîêîíå÷íîåïîëå
F
q
.
Ïðåäïîëîæèì,÷òî
g
ïîðîæäàþùèéýëåìåíòåãî
ìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû.Âåðíûëèñëåäóþùèå
ñâîéñòâàäèñêðåòíîãîëîãàðèôìàâãðóïïå
F

q
?
1)
log
g
(
f
1
f
2
)=log
g
(
f
1
)log
g
(
f
2
)
,
2)åñëè
log
g
(
f
2
)=2
x
,òî
log
g
(
f
)=
x
.
Çàäà÷à99.
Ïóñòü
Z
p
êîíå÷íîåïðîñòîåïîëå,
g
ïîðîæäàþùèéýëåìåíòåãîìóëüòèïëèêàòèâíîé
ãðóïïû.×òîìîæíîñêàçàòüîäèñêðåòíîì
ëîãàðèôìå
x
ýëåìåíòà
f
,åñëèèçâåñòíî,÷òî
f
13
=
1
?Òîòæåâîïðîñäëÿñëó÷àÿ
f
27
=1
.
86
Ÿ10.
Êðèïòîñèñòåìàñîòêðûòûì
êëþ÷îìÐèâåñòàØàìèðà
Àäëåìàíà(RSA)
Ñàìàÿïîïóëÿðíàÿñèñòåìàøèôðîâàíèÿñ
îòêðûòûìêëþ÷îì.ÑîçäàíàÐîíîìÐèâåñòîì,
ÀäèØàìèðîìèËåíîìÀäëåìàíîìâ1977
ãîäó.Îïóáëèêîâàíàâ[26].Îñíîâàíàíà
ñëîæíîñòèðàçëîæåíèÿáîëüøèõñîñòàâíûõ÷èñåë
íàìíîæèòåëè.Áîëååòî÷íî,ñ÷èòàåòñÿ,÷òî
âû÷èñëåíèåäâóõáîëüøèõðàçëè÷íûõïðîñòûõ
÷èñåë
p
è
q
ïîèõïðîèçâåäåíèþ
n
=
pq
ÿâëÿåòñÿ
òðóäíîéçàäà÷åé.
ÅäèíèöàìèøèôðîâàíèÿâRSAñëóæàò
ýëåìåíòûêîëüöàâû÷åòîâ
Z
n
:
Îòêðûòûé
êëþ÷øèôðîâàíèÿ
e
2
Z

'
(
n
)
;
ñåêðåòíûé
êëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d
2
Z

'
(
n
)
;
òàêîé,÷òî
ed
=1(
mod
'
(
n
))
;
ò.å.
d
=
e

1
(
mod
'
(
n
))
;
ãäå
'
(
n
)=(
p

1)(
q

1)
çíà÷åíèåôóíêöèèÝéëåðà.
Øèôðîâàíèå:
c
=
m
e
(
mod
n
)
;
äåøèôðîâàíèå:
m
=
c
d
(
mod
n
)
:
ÍàîñíîâåRSAñîçäàíàïåðâàÿýëåêòðîííàÿ
ïîäïèñü,ïîçâîëèâøàÿâûïóñòèòüïåðâûå
ýëåêòðîííûåáàíêîâñêèåêàðòû.
87
Çàäà÷à100.
ÀëèñàñîîáùèëàÁîáóîòêðûòûå
ïàðàìåòðû
(
n;e
)=(56310949
;
72)
,óñòàíîâëåííîé
óíååñèñòåìûøèôðîâàíèÿRSA.Áîáâûðàçèë
ñîìíåíèåïîýòîìóïîâîäó.Â÷åìçàêëþ÷àåòñÿ
ïðè÷èíàýòîãîñîìíåíèÿ?
Çàäà÷à101.
Ïóñòü
n
=
pq
ìîäóëüñèñòåìû
RSA:
Ïóñòü
e
îòêðûòûéêëþ÷øèôðîâàíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîÁîáçíàåòïîðÿäîêýëåìåíòà
e
âãðóïïå
Z

'
(
n
)
èýòîòïîðÿäîêðàâåí
k:
成甇
ìîæåòäåøèôðîâàòüñîîáùåíèå
m
e
(
mod
n
)
èäàæå
âû÷èñëèòüèçíà÷àëüíîñåêðåòíûéêëþ÷
d
?
Çàäà÷à102.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîâñèñòåìåRSA
Áîáçíàåòïîðÿäîêýëåìåíòà
m
âãðóïïå
Z

n
;
èýòîò
ïîðÿäîêðàâåí
k:
ÊàêÁîáìîæåòäåøèôðîâàòü
ñîîáùåíèå
m
e
(
mod
n
)
;
íåçíàÿñåêðåòíîãîêëþ÷à
äåøèôðîâàíèÿ
d
?
Çàäà÷à103.
ÏóñòüâñèñòåìåRSAâûïîëíåíî
ðàâåíñòâî
c
f
=
m
(
mod
n
)
;
ãäå
c
=
m
e
(
mod
n
)

øèôðîâêà.Ìîæíîëèóòâåðæäàòü,÷òî
f
=
d;
ãäå
d
êëþ÷äåøèôðîâàíèÿ?
Çàäà÷à104.
(Âîçìîæíîñòüèñïîëüçîâàíèÿ
îáùåãîìîäóëÿèðàñïðåäåëåíèÿêëþ÷åé
88
RSAäîâåðèòåëüíûìÖåíòðîì.)
ÈíîãäàRSA
ðàñïðåäåëÿåòñÿÖåíòðîì,êîòîðûé,çàôèêñèðîâàâ
ìîäóëü
n
=
pq;
ðàçäàåòïîëüçîâàòåëÿìêëþ÷è
(
e
i
;d
i
)
;i
=1
;:::;k:
Ïàðàìåòðû
p;q
äåðæàòñÿ
Öåíòðîìâñåêðåòå.Ïîêàçàòü,÷òîëþáîé
ïîëüçîâàòåëüñèñòåìûìîæåòîïðåäåëèòüâñåêëþ÷è
d
i
äðóãèõïîëüçîâàòåëåéçàïîëèíîìèàëüíîåâðåìÿ.
Çàäà÷à105.
(Íåïîäâèæíûåòî÷êèïðè
øèôðîâàíèèRSA.)
Ïðèøèôðîâàíèèâñèñòåìå
RSA
(
n
=
pq;e;d
)
âîçìîæíûñîâïàäåíèÿøèôðîâêè
c
èèñõîäíîãîòåêñòà
m:
Ïîêàæèòå,÷òî÷èñëî
ñîâïàäåíèéðàâíî
(1+
íîä
(
p

1
;e

1))(1+
íîä
(
q

1
;e

1))
:
Êàêîéâûâîäìîæíîñäåëàòüäëÿ
ïðàâèëüíîãîâûáîðàïàðàìåòðîâ
p;q;e
?
Çàäà÷à106.

Ïóñòü
n
=
pq
ìîäóëü
ñèñòåìû
RSA;e
îòêðûòûéêëþ÷øèôðîâàíèÿ.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîñóùåñòâóåòýôôåêòèâíûé
ñïîñîáâû÷èñëåíèÿïîøèôðîâêåëþáîãîòåêñòà
m
2
Z
n
âòîðîãîìëàäøåãîáèòà
"
0
åãîäâîè÷íîé
çàïèñè.Ìîæíîëèàíàëîãè÷íîòîìó,÷òîáûëî
ïîêàçàíîâïóíêòå5ëåêöèè10èç[12],îïðåäåëèòü
ïîøèôðîâêåïðîèçâîëüíûéôèêñèðîâàííûéòåêñò
m
?Ìîæíîëèñäåëàòüòîæåñàìîå,åñëèìûóìååì
89
ýôôåêòèâíîîïðåäåëÿòüáèò
"
i
;i
2
N
;
ëþáîãî
òåêñòà
m
?
Çàäà÷à107.
Àëèñàâû÷èñëÿåò(çàäåíüãè)
àðãóìåíò
m
RSA-ôóíêöèèøèôðîâàíèÿ.Òî
åñòüîíàïîëó÷àåòïðèîòêðûòûõäàííûõ
(
n;e
)
çíà÷åíèå
c
=
m
e
(
mod
n
)
èïîñëåïëàòåæà
ñîîáùàåòîáðàòèâøåìóñÿâåëè÷èíó
m:
Áîáõî÷åò
ðàñøèôðîâàòü
c
=
m
e
(
mod
n
)
;
íîîííåæåëàåò,
÷òîáûâïðîöåññåðàñøèôðîâêèÀëèñàóçíàëà
m:
Îïèñàòü,êàêÁîáìîæåòîðãàíèçîâàòüîáðàùåíèå
êÀëèñå,÷òîáûâðåçóëüòàòåïîëó÷èòü
m;
íå
ðàñêðûâàÿåãîçíà÷åíèÿäëÿÀëèñû.
Çàäà÷à108.
Äîïóñòèì,÷òîâñèñòåìåRSA
ïåðåäàíàíåòîëüêîøèôðîâêà
c
=
m
e
(
mod
n
)
;
íî
èñîîáùåíèåâèäà
~
c
=
m
2
k
(
mod
n
)
:
Ìîæåòëèòðåòüå
ëèöîïðî÷èòàòüñîîáùåíèå
m
?
Çàäà÷à109.
ÌîäóëüRSAðàâåí
n
=24637
;
îòêðûòûéêëþ÷
e
=3
:
Âû÷èñëèòüêëþ÷
äåøèôðîâàíèÿ
d:
Çàäà÷à110.
ÌîäóëüRSAðàâåí
n
=1145941
;
îòêðûòûéêëþ÷
e
=11
:
Âû÷èñëèòüêëþ÷
äåøèôðîâàíèÿ
d:
90
Çàäà÷à111.
ÂñèñòåìåRSAñïàðàìåòðàìè
(
n
=
pq;e;d
)
e
11
=1(
mod
(

(
n
))
.×åìóðàâåí
d
?
Çàäà÷à112.
Äîêàçàòü,÷òîâñèñòåìàõRSAñ
ìîäóëÿìè
n
1
=21
è
n
2
=35
âñåâîçìîæíûå
êëþ÷èøèôðîâàíèÿ
e
ñîâïàäàþòñêëþ÷àìè
äåøèôðîâàíèÿ
d
.
Çàäà÷à113.
ÏðèøèôðîâàíèèâñèñòåìåRSA
(
n
=
pq;e;d
)
îêàçàëîñü,÷òîïîâòîðíîåøèôðîâàíèå
âñåãäàïðèâîäèòêèñõîäíîìóòåêñòó.Êàêýòî
îáúÿñíèòü?Â÷åìïðè÷èíà?Ïðèâåñòèïðèìåð
êîëüöà
Z
n
;
âêîòîðîìýòîñâîéñòâîâûïîëíåíîäëÿ
ëþáîãîêëþ÷à
e
.
Çàäà÷à114.
Ïðåäëàãàåòñÿñëåäóþùåå
"îáîáùåíèå"RSA.Ïîëüçîâàòåëüóñòàíàâëèâàåò
ìîäóëüRSA
n
=
pq
.Çàòåìîíâûáèðàåò
äâàîòêðûòûõêëþ÷à
e
1
;e
2
,òàêèõ,÷òî
ÍÎÄ
(
e
1
;e
2
;
(
n
))=1
.Ïðèýòîìêëþ÷è
e
1
;e
2
íåîáÿçàíûáûòüîáðàòèìûìè
(
mod
(

(
n
)))
.
Ïîëó÷èâñîîáùåíèå
m
ââèäåïàðûâû÷åòîâ
c
1
=
m
e
1
(
mod
n
)
,
c
2
=
m
e
2
(
mod
n
)
,îíâû÷èñëÿåò
c
d
1
1
c
d
2
2
=
m
e
1
d
1
+
e
2
d
2
=
m
(
mod
n
)
.Ïîêàçàòü,÷òî
äàííàÿñèñòåìàðàâíîñèëüíàRSA.
91
Çàäà÷à115.
ÏóñòüóñòàíîâëåíàñèñòåìàRSAñ
ìîäóëåì
n
=
pq;
îòêðûòûìêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
èñåêðåòíûìêëþ÷îìäåøèôðîâàíèÿ
d:
Äîïóñòèì,
ñòàëîèçâåñòíûì,÷òîíåêîòîðîå÷èñëî
m
äåëèòñÿ
íàçíà÷åíèåôóíêöèèÝéëåðà

(
n
)
:
1)Ïîêàçàòü,÷òî÷èñëî
m
ïîçâîëÿåò÷èòàòü
çàøèôðîâàííûåñîîáùåíèÿ.
2)×èñëî
m
ñäàííûìñâîéñòâîìóêàçàòüâ
îáùåì-òîíåòðóäíî.Íàïðèìåð,ìîæíîâçÿòü
m
=
(
n

1)!
:
Ïî÷åìóýòîíåðàçîáëà÷àåò
RSA
?
Çàäà÷à116.
Ïóñòüíåêîòîðûéáàíêèñïîëüçóåò
ñèñòåìóøèôðîâàíèÿRSA.Óíåãîåñòüìîäóëü
n
=
pq;
îòêðûòûéêëþ÷øèôðîâàíèÿ
e
è
ñåêðåòíûéêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
Ïðåäïîëîæèì,
÷òîïîòåíöèàëüíûéçëîóìûøëåííèêóçíàëêàêèì-
òîîáðàçîìñåêðåòíûéêëþ÷
d:
Áàíêïðèíèìàåò
ðåøåíèå:íåèçìåíÿÿìîäóëÿ
n;
ñìåíèòüêëþ÷è
e
è
d:
Ïî÷åìóòàêîåðåøåíèåÿâëÿåòñÿíåâåðíûì?
Çàäà÷à117.
ÄàíàñèñòåìàRSA,âêîòîðîé
n
=
12758351
,
e
=65537
.Çàøèôðîâàíîñëîâîèç5
áóêâàíãëèéñêîãîÿçûêà(îáû÷íûéàëôàâèò
26
çíàêîâ):
m
e
=2309106(
mod
n
)
.Íàéòèçíà÷åíèå
m
è
92
ïîåãîñòàíäàðòíîéîöèôðîâêåâ
26
-ðè÷íîéñèñòåìå
èñõîäíîåñëîâî.
Çàäà÷à118.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=77
.Ñêîëüêîâñåãîèìååòñÿêëþ÷åé
øèôðîâàíèÿ
e
?Ñêîëüêîèçíèõñîâïàäàåòñî
ñâîèìèêëþ÷àìèäåøèôðîâàíèÿ
d
?
Çàäà÷à119.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=25009
èêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
=3
:
Àëôàâèò
àíãëèéñêèé
26
áóêââñòàíäàðòíîéíóìåðàöèè.
Åäèíèöûèñõîäíîãîòåêñòà
3
-ãðàôû,åäèíèöû
øèôðîâàííîãîòåêñòà
4
-ãðàôû.Øèôðîâàííûé
òåêñò:
BAOUAJNRAGYXACHSBICQBAOD
AFSNADVYAYYQARYOABLK
Ðàñøèôðîâàòü,íàéòèêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
Çàäà÷à120.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=3953
èêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
=2005
:
Àëôàâèò
àíãëèéñêèé
26
áóêââñòàíäàðòíîéíóìåðàöèè.
Åäèíèöûèñõîäíîãîòåêñòà
2
-ãðàôû,åäèíèöû
øèôðîâàííîãîòåêñòà
3
-ãðàôû.Øèôðîâàííûé
òåêñò:
93
BZNBYDEZNAMFFUMFVOCW
M
Ðàñøèôðîâàòü,íàéòèêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
Çàäà÷à121.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=18857
èêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
=18421
:
Àëôàâèòàíãëèéñêèé
26
áóêââñòàíäàðòíîé
íóìåðàöèè.Åäèíèöûèñõîäíîãîòåêñòà
3
-ãðàôû.
Øèôðîâàííûéòåêñò:
1975,2416,5531,9161,17705,280,10645,11810,
17908,15682,12955,1775
Ðàñøèôðîâàòü,íàéòèêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
Çàäà÷à122.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=25009
èêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
=3
:
Àëôàâèòàíãëèéñêèé
26
áóêââñòàíäàðòíîé
íóìåðàöèè.Åäèíèöûèñõîäíîãîòåêñòà
3
-ãðàôû.
Øèôðîâàííûéòåêñò:
17960,6439,4703,1552,23052,17943,3861,
2598,5047,16864,12052,972.
Ðàñøèôðîâàòü,íàéòèêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
Çàäà÷à123.
ÏóñòüäàíàñèñòåìàRSAñìîäóëåì
n
=4487945870323
èêëþ÷îìøèôðîâàíèÿ
e
=
94
9007
:
Àëôàâèòàíãëèéñêèé
26
áóêââñòàíäàðòíîé
íóìåðàöèè.Åäèíèöûèñõîäíîãîòåêñòà
3
-ãðàôû.
Øèôðîâàííûéòåêñò:
1151906á875168.
Ðàñøèôðîâàòü,íàéòèêëþ÷äåøèôðîâàíèÿ
d:
95
Ÿ11.
Ïðîñòûå÷èñëà
Ïîíÿòèåïðîñòîãî÷èñëàÿâëÿåòñÿîñíîâíûì
âòåîðèè÷èñåë.Âêðèïòîãðàôèèïðîñòûå÷èñëà
âñòðå÷àþòñÿäîâîëüíî÷àñòî.Ïîýòîìóâîçíèêàþò
ïðîáëåìûïðîâåðêèíàïðîñòîòó,âûáîðàïðîñòûõ
÷èñåë,ðàçëîæåíèÿíàïðîñòûåìíîæèòåëèèò.ï.
Ïîñêîëüêó,êàêïðàâèëî,÷èñëàäîëæíûáûòü
áîëüøèìè,âîçíèêàåòïîòðåáíîñòüâýôôåêòèâíîì
ðåøåíèèïåðå÷èñëåííûõïðîáëåì.Ñóùåñòâóåò
öåëûéðÿäðàçðàáîòàííûõìàòåìàòè÷åñêèõ
ìåòîäîâðåøåíèÿýòèõïðîáëåìçàðåàëüíîå
âðåìÿ.Ïðàêòè÷åñêîåïðèìåíåíèåíåêîòîðûõèç
íèõäàëîâïå÷àòëÿþùèåïðàêòè÷åñêèåðåçóëüòàòû.
Çàäà÷à124.
ÌàòåìàòèêèâÄðåâíåìÊèòàå
ñ÷èòàëè,÷òî÷èñëî
n
ÿâëÿåòñÿïðîñòûìòîãäàè
òîëüêîòîãäà,êîãäà
n
äåëèò
2
n

2
:
1)Äîêàçàòü,÷òîäàííîåóñëîâèåäåéñòâèòåëüíî
ÿâëÿåòñÿíåîáõîäèìûìäëÿïðîñòîòû÷èñëà
n:
Áîëååòîãî,ïðîñòîå÷èñëî
n
îáÿçàíîäåëèòü
ðàçíîñòü
k
n

k
ïðèëþáîì
k:
2)Ïðèâåñòèïðèìåð,ïîêàçûâàþùèéåãî
íåäîñòàòî÷íîñòü.Äðóãèìèñëîâàìè,ïðåäñòàâèòü
ñîñòàâíîå÷èñëî
n;
òåìíåìåíååäåëÿùåå
2
n

2
:
96
Çàäà÷à125.
Äîêàçàòü,÷òî÷èñëîâèäà
n
5

n
âñåãäà
äåëèòñÿíà
30
:
Çàäà÷à126.
Ïóñòü
p
ïðîñòîå÷èñëî.Äîêàçàòü,
÷òî
(
p

1)!=

1(mod
p
)
:
ÝòîòðåçóëüòàòèçâåñòåíêàêòåîðåìàÂèëüñîíà.
Çàäà÷à127.
Ïóñòü
n
ñîñòàâíîå÷èñëî,îòëè÷íîå
îò
4
:
Äîêàçàòü,÷òî
(
n

1)!=0(mod
n
)
:
Çàäà÷à128.
Ïóñòü
a
n

1
ïðîñòîå÷èñëî.
Äîêàçàòü,÷òîâýòîìñëó÷àå
a
=2
è
n
òîæå
ïðîñòîå÷èñëî.
Ïðîñòûå÷èñëàâèäà
a
p

1
;p
ïðîñòîå,
íàçûâàþòñÿ
÷èñëàìèÌåðñåííà
.
Çàäà÷à129.
Ïóñòü
a
n
+1
ïðîñòîå÷èñëî.
Äîêàçàòü,÷òî
a
÷åòíîè
n
ÿâëÿåòñÿñòåïåíüþ
2
:
Ïðîñòûå÷èñëàâèäà
2
2
t
+1
íàçûâàþòñÿ
÷èñëàìè
Ôåðìà
.
97
Çàäà÷à130.
Äîêàçàòü,÷òîäëÿïðîñòîãî÷èñëà
p
÷èñëî
p
2
ïñåâäîïðîñòîåîòíîñèòåëüíîáàçû
b
òîãäà
èòîëüêîòîãäà,êîãäà
b
p

1
=1(mod
p
2
)
:
Çàäà÷à131.
Íàéòèíàèìåíüøèåïñåâäîïðîñòûå
îòíîñèòåëüíîáàç
b
1
=2
;b
2
=3
;b
3
=5
:
Çàäà÷à132.
Ïóñòü
n
íå÷åòíîåñîñòàâíîå÷èñëî,
n

1=2
s

t;
ãäå
t
íå÷åòíîå.Åñëè
n
è
b
2
Z

óäîâëåòâîðÿþòóñëîâèþ:ëèáî
b
t
=1(mod
n
)
;
ëèáî
ñóùåñòâóåò
r;
0

r

s

1
;
äëÿêîòîðîãî
b
2
r
t
=
1(mod
n
)
;
òî
n
íàçûâàåòñÿ
ñèëüíîïñåâäîïðîñòûì
îòíîñèòåëüíîáàçû
b:
1)Äîêàçàòü,÷òîíå÷åòíîåñèëüíîïñåâäîïðîñòîå
÷èñëîÿâëÿåòñÿïñåâäîïðîñòûìîòíîñèòåëüíîòîé
æåñàìîéáàçû.
2)

Äîêàçàòü,÷òîíå÷åòíîåñîñòàâíîå÷èñëî
ìîæåòáûòüñèëüíîïñåâäîïðîñòûìïîîòíîøåíèþ
êíåáîëåå,÷åì25%áàç
b;
0
bn:
Çàäà÷à133.
Äîêàçàòü,÷òî,åñëè
n
ñèëüíî
ïñåâäîïðîñòîåîòíîñèòåëüíîáàçû
b;
òîîíîòàêæå
ñèëüíîïñåâäîïðîñòîåïîîòíîøåíèþêëþáîé
ñòåïåíè
b
k
:
98
Çàäà÷à134.
Íàéòè÷èñëîáàç,îòíîñèòåëüíî
êîòîðûõíàèìåíüøåå÷èñëîÊàðìàéêëà
n
=561
ÿâëÿåòñÿñèëüíîïñåâäîïðîñòûì.
Çàäà÷à135.
Äîêàçàòü,÷òî,åñëèíàéäåíàáàçà
b
òàêàÿ,÷òî÷èñëî
n
ïñåâäîïðîñòîå,íîíå
ñèëüíîïñåâäîïðîñòîåîòíîñèòåëüíî
b;
òî
n
ëåãêî
ðàçëàãàåòñÿíàìíîæèòåëè.
Çàäà÷à136.
Ïðîâåðèòü,áóäóòëèïðîñòûìè
ñëåäóþùèå÷èñëà:
8563496351
;
23171436862081
;
4749361
;
762245909
:
99
Ÿ12.
Ðàçëîæèìîñòü÷èñåëíà
ìíîæèòåëè
Çàäà÷à137.
Ðàçëîæèòüíàìíîæèòåëè÷èñëà
n
1
=21894583143407671
;
n
2
=317481472366756346287
:
Çàäà÷à138.
Íàéòèïðîñòîå÷èñëî
p

2
100
;
òàêîå,
÷òî
q
=(
p

1)
=
2
òîæåïðîñòîå.
Òàêèå÷èñëàíàçûâàþòñÿ÷èñëàìèÑîôè
Æåðìåí.
Çàäà÷à139.
Ðàçëîæèòüíàìíîæèòåëè÷èñëî
n
=
296416417387101320914884291217475879
38582792941079415574405696557957
:
Çàäà÷à140.
Ðàçëîæèòüíàìíîæèòåëè÷èñëà
n
1
=573986176056067387809745536553718177449
6887708448761680768591535390324
;
100
n
2
=30004823012610422335343801599588688229540
36395871448716256542875772006105366916299
426263644379470339
;
n
3
=166045890368446099470756111654736772731460
6710030591519387638541963600812470444410
29824134260263654537
:
101
Ÿ13.
Àëãîðèòìûãåíåðàöèèïñåâäî-
ñëó÷àéíûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåé
Âêðèïòîãðàôèèãåíåðàöèÿïñåâäîñëó÷àéíûõ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòåéî÷åíüâàæíà.Òàêèå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèèñïîëüçóþòñÿâïîòî÷íûõ
ñèñòåìàõøèôðîâàíèÿ,ïðèìåíÿþòñÿäëÿãåíåðàöèè
êëþ÷åéøèôðîâàíèÿèò.ï.Ìåòîäûãåíåðàöèè
ïñåâäîñëó÷àéíûõïîñëåäîâàòåëüíîñòåéèòåñòûèõ
ñòàòèñòè÷åñêîéïðîâåðêèðàçíîîáðàçíû.
Çàäà÷à141.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîèìååòñÿ
ôèçè÷åñêèéèñòî÷íèê,âûäàþùèé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüñèãíàëîâäâóõòèïîâ,êîòîðûå
ìîæíîçàêîäèðîâàòüáèòàìè
0
è
1
:
Èçâåñòíî,÷òî
âåðîÿòíîñòèïîÿâëåíèÿíàêàæäîìèçèíòåðâàëîâ
ðåãèñòðàöèèñèãíàëàíåìíîãîîòëè÷àþòñÿîò
0
;
5
:
Êàêïîëó÷èòüäåéñòâèòåëüíîñëó÷àéíóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü?
Çàäà÷à142.
Îáúÿñíèòü,ïî÷åìóïðèóñòàíîâêå
BBS-ãåíåðàòîðàòðåáóåòñÿ,÷òîáûïðîñòûå÷èñëà
p;q
áûëèñðàâíèìûñ
3(
mod
4)
:
Çàäà÷à143.
Âûâåñòèôîðìóëóäëÿîáùåãî÷ëåíà
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè,ïîðîæäàåìîéËÊÃ
102
x
t
+1
=
ax
t
+
b
(mod
n
)
:
Çàäà÷à144.
Âûÿñíèòü,êîãäàËÊÃèç
ïðåäûäóùåéçàäà÷èïîðîæäàåòïîñëåäîâàòåëüíîñòü
ìàêñèìàëüíîãîïåðèîäà.
Çàäà÷à145.
ÏóñòüçàäàíÌÊÃ
x
t
+1
=
ax
t
(mod
n
)
:
Ïðåäïîëîæèì,÷òîíîä
(
x
0
;n
)=1
:
Êàêîâî
âîçìîæíîåìàêñèìàëüíîåçíà÷åíèåïåðèîäà
âûïóñêíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè?
Çàäà÷à146.
Âêîëüöå
Z
24
áåðåìïðîèçâîëüíûé
îòëè÷íûéîò
0
âû÷åò
s
=
s
0
(ïîñåâ).Ñòðîèì
ïîñëåäîâàòåëüíîñòü
s
0
;s
1
;:::
ïîïðàâèëó
s
i
+1
=
7
s
i
(mod24)
äëÿ
i

0
.×åìóðàâåíïåðèîäýòîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè?
103
Ÿ14.
Ïîòî÷íûåêðèïòîñèñòåìû
Íåïðèâîäèìûéìíîãî÷ëåí
f
(
x
)
2
Z
p
[
x
]
íàçûâàåòñÿ
ïðèìèòèâíûì,
åñëèâïîñòðîåííîì
ïîíåìóïîëå
F
q
ïîðÿäêà
q
=
p
n
,ãäå
n
ñòåïåíü
f
(
x
)
;
ìíîãî÷ëåí
x
(êàêýëåìåíòïîëÿ)ïîðîæäàåò
ìóëüòèïëèêàòèâíóþãðóïïó
F

q
:
Çàäà÷à147.
(
Ïðèâîäèìîñòüèñóùåñòâîâàíèå
êîðíåéâîñíîâíîìïîëå.
)
1)Äîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåíñòåïåíè

3
íàä
ïðîèçâîëüíûìïîëåìïðèâîäèìòîãäàèòîëüêî
òîãäà,êîãäàîíèìååòêîðåíüâäàííîìïîëå.
2)Ïðèâåñòèïðèìåðû,ïîêàçûâàþùèå,÷òî
óòâåðæäåíèåïóíêòà1äëÿìíîãî÷ëåíîâñòåïåíè

4
âîáùåìñëó÷àåíåâåðíî.
Çàäà÷à148.
(
Ïðîñòûåïðèçíàêèïðèâîäè-
ìîñòèìíîãî÷ëåíà.
)
1)Äîêàçàòü,÷òîëþáîéìíîãî÷ëåí
f
(
x
)
2
Z
p
[
x
]
;p
ïðîñòîå,ñòåïåíè

2
;
ñóììà
êîýôôèöèåíòîâêîòîðîãîðàâíà
0
;
ïðèâîäèì.
2)Äîêàçàòü,÷òîëþáîéìíîãî÷ëåíâèäà
f
(
x
)=
a
n
x
p
n
+
a
n

1
x
p
n

1
+
:::
+
a
1
x
p
+
a
0
2
Z
p
[
x
]
;p
ïðîñòîå,
ñòåïåíè

2
ïðèâîäèì.
104
Çàäà÷à149.
Ïîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
2
Z
2
[
x
]
íåïðèâîäèì,íîíåïðèìèòèâåí.
×åìóðàâåíïåðèîäâûïóñêíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè
LFSRñòàêèìñâÿçóþùèììíîãî÷ëåíîì
f
(
x
)?
Çàäà÷à150.
Ïðîâåðèòü,áóäåòëèìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
4
+
x
+1
2
Z
2
[
x
]
íåïðèâîäèìûìè
ïðèìèòèâíûì.
Çàäà÷à151.
Ïîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
4
+
x
3
+1
2
Z
2
[
x
]
íåïðèâîäèì.Áóäåòëèîí
ïðèìèòèâíûì?×åìóðàâåíïåðèîäâûïóñêíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèLFSRñòàêèìñâÿçóþùèì
ìíîãî÷ëåíîì?
Çàäà÷à152.
Ïðîâåðèòü,÷òîíåïðèâîäèìûé
ìíîãî÷ëåí
f
(
x
)=
x
5
+
x
2
+1
2
Z
2
[
x
]
ÿâëÿåòñÿ
ïðèìèòèâíûì.Óáåäèòüñÿ,÷òîâêà÷åñòâå
ñâÿçóþùåãîìíîãî÷ëåíàîíäàåòâûïóñêíóþ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüìàêñèìàëüíîãîïåðèîäà
31
;
âûáðàââåêòîðîìíà÷àëüíûõñîäåðæàíèé
[1
;
1
;
1
;
1
;
1]
:
Çàäà÷à153.
ÏîñòðîèòüLFSRìàêñèìàëüíîãî
ïåðèîäàñäëèíîéðåãèñòðà
6
:
105
Çàäà÷à154.
Äîêàçàòü,íåèñïîëüçóÿâû÷èñëåíèé,
÷òîëþáîéíåïðèâîäèìûéìíîãî÷ëåíñòåïåíè
5
íàä
ïîëåì
Z
2
ÿâëÿåòñÿïðèìèòèâíûì.Ìîæíîëèòîæå
ñàìîåóòâåðæäàòüîòíîñèòåëüíîñòåïåíè
7
?
Çàäà÷à155.
×òîìîæíîñêàçàòüîìíîãî÷ëåíå
g
(
x
)=
x
5
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
2
Z
2
[
x
]
?Áóäåò
ëèîííåïðèâîäèìûì?Ïðèìèòèâíûì?×åìó
ðàâåíïåðèîäïîñòðîåííîéïîíåìóâûïóñêíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè?
Çàäà÷à156.
Äîêàçàòü,÷òîìíîãî÷ëåíû
f
(
x
)=
x
4
+
x
3
+
x
2
+
x
+1
;g
(
x
)=
x
6
+
x
3
+1
è
h
(
x
)=
x
6
+
x
+1
íåïðèâîäèìûíàäïîëåì
Z
2
.Íîòîëüêîîäèí
èçíèõÿâëÿåòñÿïðèìèòèâíûì.Êàêîéìíîãî÷ëåí
ïðèìèòèâåí?×åìóðàâíûïîðÿäêèýëåìåíòîâ
x
âìóëüòèïëèêàòèâíûõãðóïïàõñîîòâåòñòâóþùèõ
ïîëåé?
Çàäà÷à157.
Ïóñòüâûïóñêíàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü
áèíàðíûõñèìâîëîâíà÷èíàåòñÿñçàäàíèÿ
ñîäåðæàíèé
s
0
=1
;s
1
=1
;s
2
=0
;s
3
=1
.Êàæäûé
ïîñëåäóþùèéáèòâû÷èñëÿåòñÿïîôîðìóëå:
s
i
+1
=
s
i
s
i

1
+
s
i

2
s
i

3
,
i
=3
;
4
;:::
.
106
ÍàéòèLFSR,çàäàþùèéïîòîìóæåíà÷àëüíîìó
çàäàíèþ(ïðèäëèíåðåãèñòðà
4
)òóæåñàìóþ,
íà÷èíàÿñíåêîòîðîãîíîìåðà,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Çàäà÷à158.
Ïóñòüâûïóñêíàÿïîñëåäîâàòåëüíîñòü
áèíàðíûõñèìâîëîâíà÷èíàåòñÿñçàäàíèÿ
ñîäåðæàíèé
s
0
=0
;s
1
=1
;s
2
=0
;s
3
=1
;s
4
=1
.
Êàæäûéïîñëåäóþùèéáèòâû÷èñëÿåòñÿïî
ôîðìóëå:
s
i
+1
=
s
i
s
i

1
+
s
i

2
s
i

3
+
s
i

4
+1
,
i
=3
;
4
;:::
.
ÍàéòèLFSR,çàäàþùèéïîòîìóæåíà÷àëüíîìó
çàäàíèþ(ïðèäëèíåðåãèñòðà
5
)òóæåñàìóþ,
íà÷èíàÿñíåêîòîðîãîíîìåðà,ïîñëåäîâàòåëüíîñòü.
Çàäà÷à159.
Äëèíàðåãèñòðà
4
.Íà÷àëîâûïóñêíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòè
1011011
.Íàéòèñâÿçóþùèé
ìíîãî÷ëåí,åñëèèçâåñòíî,÷òîîííåñèíãóëÿðåí.
Áóäåòëèðåøåíèååäèíñòâåííûì?
Çàäà÷à160.
Ñëåäóþùàÿøèôðîâêàïîëó÷åíà
øèôðîìÂåðíàìà,âêîòîðîìêëþ÷ãåíåðèðóåòñÿ
LFSRäëèíûðåãèñòðà
7
:
01100010101110011101010001000110001010111001110101
:
Ïðåäïîëîæèì,÷òîèçâåñòíîíà÷àëîèñõîäíîãî
òåêñòà:
107
100100100100100
:
Íàéòèâåñüèñõîäíûéòåêñò.×òîìîæíîáûëîáû
ñêàçàòüïðèäëèíåðåãèñòðà
8
?Íåòîðîïèòåñüñ
îòâåòîì,îííåñòîëüî÷åâèäåí,êàêïðåäñòàâëÿåòñÿ
íàïåðâûéâçãëÿä.
Çàäà÷à161.
Äîïóñòèì,èìååòñÿLFSRñ
äëèíîéðåãèñòðà
L:
Ñêîëüêîáèòîââûïóñêíîé
ïîñëåäîâàòåëüíîñòèíóæíîçíàòü,÷òîáû
âîññòàíîâèòüñâÿçóþùèéìíîãî÷ëåí?Ìîæíî
ëèäàòüòî÷íûéîòâåò?
Çàäà÷à162.
Äîïóñòèì,÷òîâûïóñêíàÿ
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüïîëó÷åíàLFSRñäëèíîé
ðåãèñòðà
L
èñèíãóëÿðíûìñâÿçóþùèì
ìíîãî÷ëåíîì.Ìîæíîëèïîëó÷èòüýòóæå
ïîñëåäîâàòåëüíîñòüLFSRñðåãèñòðîììåíüøåé
äëèíû?Åñëè"äà",òîêàêèìîáðàçîì?Åñëè"íåò",
òîïî÷åìó?
Çàäà÷à163.
ÏóñòüèìååòñÿLFSRñäëèíîé
ðåãèñòðà
L
èñâÿçóþùèììíîãî÷ëåíîì
c
(
x
)=1+
c
1
x
+
:::
+
c
L
x
L
2
F
2
[
x
]
:
Çàäàíâåêòîðíà÷àëüíûõ
108
ñîäåðæàíèé
(
s
L

1
;:::;s
1
;s
0
)
2f
0
;
1
g
L
:
Ñîäåðæàíèÿ
s
j
ïðè
j

2
îïðåäåëÿþòñÿïîôîðìóëå:
s
j
=
c
1
s
j

1
+
c
2
s
j

2
+
:::
+
c
L
s
j

L
(mod2)
:
Îáîçíà÷èì÷åðåç
S
j
âåêòîðñîäåðæàíèé,
èìåþùèéñÿíà
j
-ìøàãå,
j
=0
;
1
;:::;j;::::
1)Ïîêàçàòü,÷òîâåêòîð
S
j
j

L
ìîæíî
âû÷èñëÿòüïîìàòðè÷íîéôîðìóëå
s
j
=
S
j

1

A;
ãäå
A
ôèêñèðîâàííàÿìàòðèöà,ïîëíîñòüþ
îïðåäåëÿåìàÿñâÿçóþùèììíîãî÷ëåíîì
c
(
x
)
:
Íàéòè
ååâèä.
2)Äîêàçàòü,÷òîñâÿçóþùèéìíîãî÷ëåí
c
(
x
)
ÿâëÿåòñÿõàðàêòåðèñòè÷åñêèììíîãî÷ëåíîì
ìàòðèöû
A:
Ñëåäîâàòåëüíî,
f
(
A
)=0
:
3)Äîêàçàòü,÷òîåñëèñâÿçóþùèéìíîãî÷ëåí
f
(
x
)
íåñèíãóëÿðåíèíåïðèâîäèì,òîîíÿâëÿåòñÿ
ìèíèìàëüíûììíîãî÷ëåíîììàòðèöû
A:
Âýòîì
ñëó÷àåñâÿçóþùèéìíîãî÷ëåíîïðåäåëÿåòïîëå
F
2
[
x
]
=ideal
(
f
(
x
))
:
Äîêàçàòü,÷òîâýòîìñëó÷àåïîðÿäîê
x
êàê
ýëåìåíòàïîëÿñîâïàäàåòñïîðÿäêîììàòðèöû
A:
109
Åñëèìíîãî÷ëåí
c
(
x
)
ïðèìèòèâåí,òîýòîòïîðÿäîê
ìàêñèìàëåí,ò.å.ðàâåí
2
L

1
:
110
Ÿ15.
Èäåíòèôèêàöèÿ
èàóòåíòèôèêàöèÿ
Åñëèâñåòèíåïðåäóñìîòðåíîäîêàçàòåëüñòâî
ëåãèòèìíîñòèïîëüçîâàòåëåé,ðàáî÷èõñòàíöèé,
ñåðâåðîâ,òîñåòüíåçàùèùåíàîòïîäìåíè
íåëèãèòèìíîãîèñïîëüçîâàíèÿ.
Çàäà÷à164.
Âñåòèêàæäûéïîëüçîâàòåëü
A
èìååòñâîéîòêðûòûéàëãîðèòìøèôðîâàíèÿ
E
A
èñåêðåòíûéàëãîðèòìäåøèôðîâàíèÿ
D
A
:
Ñîîáùåíèå
m
îò
A
ê
B
ïîñûëàåòñÿâ
ôîðìàòå
(
E
B
(
m
)
;A
)
:
Àäðåñ
A
ãîâîðèò
B;
îò
êîãîïðèøëîñîîáùåíèå.Ïîëó÷àòåëü
B
èçâëåêàåò
èçñîîáùåíèÿ
m
èàâòîìàòè÷åñêèïîñûëàåòîáðàòíî
ïîóêàçàííîìóàäðåñó
A
ñîîáùåíèå
(
E
A
(
m
)
;B
)
â
òîìæåôîðìàòå.
Ïîêàæèòå,÷òîòðåòèéïîëüçîâàòåëü
C;
êîòîðûé
ìîæåòïåðåõâàòûâàòüñîîáùåíèÿèïîñûëàòüèõâ
ïðàâèëüíîìôîðìàòå,ñïîñîáåíèçâëå÷üñîîáùåíèå
m:
Çàäà÷à165.
Ïîêàçàòü,÷òîèçìåíåíèåôîðìàòà
íà
E
B
(
E
B
(
m
)
;A
)
;A
)
èàâòîìàòè÷åñêîãîîòâåòà
111
E
A
(
E
A
(
m
)
;B
)
;B
)
íåäåëàåòêîììóíèêàöèþ
áåçîïàñíîé.
Çàäà÷à166.
Ñëåäóþùàÿñèñòåìàáûëà
ïðåäëîæåíàäëÿîñóùåñòâëåíèÿìîáèëüíîé
ñâÿçèâÑØÀ,íîíåáûëàðåàëèçîâàíà
âñëåäñòâèåâñêðûâøèõñÿñëàáîñòåé.Ïðåäëàãàëîñü
îðãàíèçîâàòüäîâåðèòåëüíûéöåíòð(ÄÖ)
ðàñïðåäåëåíèÿêëþ÷åéìåæäóïîëüçîâàòåëÿìè.
ÄÖóñòàíàâëèâàëóñåáÿñèñòåìóRSA,âûáèðàÿ
ñåêðåòíûåïàðàìåòðû
p;q
èïóáëèêóÿ
n
=
pq:
ÅñëèïîëüçîâàòåëèÀëèñàèÁîáõîòåëèóñòàíîâèòü
ñâÿçü,îíèâûáèðàëèñëó÷àéíûå÷èñëà
0
an
è
0
bn
èîòïðàâëÿëèâÄÖâåëè÷èíû
a
3
(mod
n
)
è
b
3
(mod
n
)
;
ñîîòâåòñòâåííî.ÄÖ,çíàÿ
p
è
q
,âû÷èñëÿë
a
è
b:
ÇàòåìÄÖîòïðàâëÿë
Àëèñå
a
+
b
(mod
n
)
;
èÀëèñàîáû÷íûìâû÷èòàíèåì
íàõîäèëà
b;
÷òîîáúÿâëÿëîñüñåêðåòíûìêëþ÷îì,
ðàçäåëåííûììåæäóÀëèñîéèÁîáîì.
Â÷åìñëàáîñòüòàêîãîðàçäåëåíèÿêëþ÷à,
êîòîðîéìîæåòâîñïîëüçîâàòüñÿïîòåíöèàëüíûé
âçëîìùèê?
112
Ÿ16.
Ýëåêòðîííûåïîäïèñè
Ýëåêòðîííàÿ(öèôðîâàÿ)ïîäïèñüâàæíåéøåå
ïðèëîæåíèåêðèïòîãðàôèè.Òîëüêîñåå
ïîÿâëåíèåìñòàëèâîçìîæíûýëåêòðîííûåïëàòåæè.
Âñîâðåìåííîììèðåýëåêòðîííàÿïîäïèñü
ïðèîáðåòàåòâñåáîëüøóþçíà÷èìîñòü.Íåîáõîäèìî
ïîìíèòü,÷òîñîâðåìåííûåñõåìûýëåêòðîííîé
ïîäïèñèïðåäïîëàãàþòååíåîòúåìëåìóþñâÿçü
íåòîëüêîñîáëàäàòåëåìòàêîâîé,íîèñ
ïîäïèñûâàåìûìäîêóìåíòîì.Äðóãèìèñëîâàìè,
ïîäïèñüäîëæíàçàâèñåòüîòäîêóìåíòà.
Çàäà÷à167.
Ðàññìîòðèìñëåäóþùååóïðîùåíèå
ñõåìûÝëüÃàìàëÿ.Ïóñòü
p
ïðîñòîå÷èñëî,
g

ïîðîæäàþùèéýëåìåíòìóëüòèïëèêàòèâíîéãðóïïû
Z

p
:
Ýòèäàííûåîòêðûòû.
Ïîëüçîâàòåëüâûáèðàåòñåêðåòíîå÷èñëî
1

a

p

1
èîòêðûâàåòçíà÷åíèå
y
=
g
a
(mod
p
)
:
Êñîîáùåíèþ
m
2f
0
;
1
g

ïðèìåíÿåòñÿèçâåñòíàÿ
õýø-ôóíêöèÿ,äàþùàÿçíà÷åíèå
h
=
h
(
m
)
2
Z
p
:
Âñå,êàêâàëãîðèòìåÝëüÃàìàëÿ.
Äîïóñòèì,÷òîíîä
(
h;p

1)=1
:
Ýòîãîìîæíî
äîáèòüñÿ,âíåñÿíåîáõîäèìûåêîððåêòèâûâñëó÷àå
113
íåâûïîëíåíèÿ.Ìûíåóòî÷íÿåì,êàêýòîìîæíî
ñäåëàòü.
Ïðèãåíåðàöèèïîäïèñèïîëüçîâàòåëüâû÷èñëÿåò
çíà÷åíèå
z
=
h

1
a
(mod(
p

1))
:
Âêà÷åñòâåïîäïèñèïîääîêóìåíòîì
m
ïðåäëàãàåòñÿèñïîëüçîâàòü
g
z
:
Ïðîâåðêàïðàâèëüíîñòèïîäïèñèýëåìåíòàðíà:
(
g
z
)
h
=
g
h

1
ha
=
g
a
(mod
p
)
:
Ïîäïèñüïðèíèìàåòñÿ,åñëèïîëó÷åííîåçíà÷åíèå
ñîâïàäåòñ
y:
Îáúÿñíèòü,ïî÷åìóóïîìÿíóòàÿñõåìà
íåïðèåìëåìà.
Çàäà÷à168.
Ïîêàçàòü,÷òîåñëèâáàçîâîé
ïîäïèñèÝëüÃàìàëÿâûáðàíîîäíîèòîæå
çíà÷åíèåñåññèîííîãîêëþ÷à
k
äëÿäâóõðàçëè÷íûõ
äîêóìåíòîâ
m
1
è
m
2
;
ñëåäîâàòåëüíî,ñîâïàëè
ïåðâûåýëåìåíòûèõïîäïèñåé
(
r
i
;s
i
)
;i
=1
;
2
;
òîïîòåíöèàëüíûéâçëîìùèêìîæåòïî÷òèâñåãäà
âû÷èñëèòüñåêðåòíûéïàðàìåòð
a:
114
Ÿ17.
Ýëåêòðîííûåïëàòåæè
Âñîâðåìåííîììèðåýëåêòðîííûåïëàòåæè
îáû÷íîñâÿçûâàþòñýëåêòðîííûìèêàðòî÷êàìè.
Ñòî÷êèçðåíèÿòåîðèèèíôîðìàöèèñàìè
ýëåêòðîííûåêàðòî÷êèèñïîëüçóþòñÿòîëüêî
äëÿóäîáñòâàêàêíîñèòåëèèíôîðìàöèè,íå
áîëååòîãî.Ãëàâíîåýòîèíôîðìàöèÿè
çàùèòàèíôîðìàöèè.Îïëà÷èâàòüòîâàðûè
óñëóãèìîæíîðàçíûìèñïîñîáàìè,÷àñòîíå
ïðåäóñìàòðèâàþùèìèñïåöèàëüíûõìàòåðèàëüíûõ
íîñèòåëåéèíôîðìàöèè.
Çàäà÷à169.
Ïðèâåñòèñõåìóçàêàçàýëåêòðîííîé
êàðòî÷êè,âêîòîðîéôèêñèðóåòñÿèìÿâëàäåëüöà.
Ïðåäïîëàãàåòñÿçàùèùåííîñòüòàêîéôèêñàöèè.
Çàäà÷à170.
Ïðèâåñòèñõåìóýëåêòðîííûõ
ïëàòåæåé,ïðèêîòîðîéáàíê-ýìèòåíòíåâëàäååò
ïîëíîéèíôîðìàöèåéîáîñòàòêåñðåäñòâíà
êàðòî÷êå.Îíìîæåòëèøüñóäèòüîäîñòàòî÷íîñòè
îñòàòêàïðèî÷åðåäíîìïëàòåæå.
115
Ÿ18.
Óïðàâëåíèåêëþ÷àìè
Êðèïòîãðàôè÷åñêèåñèñòåìûèñïîëüçóþò
êëþ÷èñàìîãîðàçíîãîâèäà.Ýòîêëþ÷è
øèôðîâàíèÿèäåøèôðîâàíèÿ,äîñòóïàê
èíôîðìàöèè,àóòåíòèôèêàöèè,ìåòàêëþ÷è
äëÿâûðàáîòêèðàóíäîâûõêëþ÷åéèò.ï.Â
òåëåôîíèèêëþ÷èâûðàáàòûâàþòñÿíåïðåðûâíî,
äàæååñëèïîëüçîâàòåëüâäàííûéìîìåíòèõ
íåèñïîëüçóåò.Ðàçëè÷àþòäîëãîñðî÷íûåè
ñåññèîííûåêëþ÷è.Îíèãåíåðèðóþòñÿ,õðàíÿòñÿ,
ïåðåäàþòñÿ,ðàñïðåäåëÿþòñÿ,ðàáîòàþò,âðåìåííî
çàìîðàæèâàþòñÿ,óíè÷òîæàþòñÿ.Ýòèýòàïû
âàæíûêàæäûéïîñâîåìó.Ñîîòâåòñòâóþùèå
ñèñòåìûäîëæíûðàáîòàòüêîìïëåêñíî.
Çàäà÷à171.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîâíåêîòîðîé
ñòðóêòóðåèñïîëüçóåòñÿñèñòåìàøèôðîâàíèÿ,â
êîòîðîé,êàê,íàïðèìåð,âDES,êëþ÷è
K
ïðåäñòàâëÿþòñîáîéáèíàðíûåïîñëåäîâàòåëüíîñòè
ôèêñèðîâàííîéäëèíû
l
(âDESýòàäëèíàðàâíà
56).Ïðåäïîëîæèì,÷òîêëþ÷èõðàíÿòñÿâ
çàøèôðîâàííîìñèñïîëüçîâàíèåìñèñòåìûRSA
âèäå,êàê
116
C
=
K
e
(mod
n
)
:
Çäåñü,êàêîáû÷íî,
n
=
pq
ìîäóëüñèñòåìû
RSA,
e
îòêðûòûéêëþ÷øèôðà.Êëþ÷
K
ïðè
ýòîìðàññìàòðèâàåòñÿêàê÷èñëîâäâîè÷íîéçàïèñè.
Ïîêàçàòü,÷òîñáîëüøîéâåðîÿòíîñòüþêëþ÷
K
ìîæåòáûòüðàñêðûòïóòåìïåðåáîðàïðèìåðíîãî
îáúåìà
2
l=
2
:
Îòêóäàïîÿâèëàñüäîïîëíèòåëüíàÿ
ñëàáîñòü?Êàêîåñâîéñòâîíàòóðàëüíûõ÷èñåë
ìîæåòáûòüèñïîëüçîâàíî?
Çàäà÷à172.
Ïðèäóìàòüñõåìóðàçäåëåíèÿêëþ÷à
àíàëîãè÷íóþñõåìåÄèôôè-Õåëëìàíàìåæäó
n
ïîëüçîâàòåëÿìèäëÿ
n

3
:
Çàäà÷à173.
Ïðèäóìàòüñõåìóðàçäåëåíèÿñåêðåòà
ìåæäó
n
ïîëüçîâàòåëÿìèäëÿ
n

3
òàêóþ,
÷òîñåêðåòìîãóòâîññòàíîâèòüòîëüêîëþáûå
m
ïîëüçîâàòåëåé(
m
ôèêñèðîâàííîå÷èñëîìåíüøåå
n
),íîíåìîãóòâîññòàíîâèòüëþáûå

m

1
ïîëüçîâàòåëåé.
117
Ÿ19.
Ýëëèïòè÷åñêèåêðèâûå
Âàæíåéøèìñâîéñòâîìýëëèïòè÷åñêîéêðèâîé
ÿâëÿåòñÿâîçìîæíîñòüîïðåäåëåíèÿíàååòî÷êàõ
ãðóïïîâîéîïåðàöèè.Ïðîâåðêàýëëèïòè÷íîñòè
êðèâîéäîâîëüíîïðîñòà.Âû÷èñëåíèÿâãðóïïå
ïðîèçâåäåíèÿýëåìåíòîâèîáðàòíîãîýëåìåíòà
ïðîâîäÿòñÿïîôîðìóëàìèòàêæåíåâûçûâàþò
çàòðóäíåíèé.Âòîæåâðåìÿíàãðóïïå
ýëëèïòè÷åñêîéêðèâîéîïðåäåëÿåòñÿäèñêðåòíûé
ëîãàðèôì,âû÷èñëåíèåêîòîðîãîÿâëÿåòñÿòðóäíîé
çàäà÷åé.Çíà÷èò,ýëëèïòè÷åñêèåêðèâûå,àòî÷íåå
èõãðóïïû,ìîãóòáûòüèñïîëüçîâàíû(ðåàëüíî
èñïîëüçóþòñÿ)êàêïëàòôîðìûøèôðîâàíèÿè
êðèïòîãðàôè÷åñêèõïðîòîêîëîâ.
Çàäà÷à174.
Ïóñòü
E
ýëëèïòè÷åñêàÿêðèâàÿ
íàäïîëåì
F
2
4
;
çàäàííàÿóðàâíåíèåì
y
2
+
y
=
x
3
:
Ïîêàçàòü,÷òîäëÿëþáîéòî÷êè
P
2
E
èìååòìåñòî
ðàâåíñòâî
3
P
=0
:
Ýòîîçíà÷àåò,÷òîãðóïïà
G
(
E
)
èìååòïåðèîä3.
Ñêîëüêîòî÷åêñîäåðæèòãðóïïà
G
(
E
)
?Êàêîâà
ååàëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðà?
Çàäà÷à175.
Ïðîâåðèòü,÷òîóðàâíåíèå
118
y
2
=
x
3
+2
x
+1
çàäàåòýëëèïòè÷åñêóþêðèâóþ
E
íàäïîëåì
Z
5
:
Íàéòèâñåýëåìåíòûãðóïïû
G
(
E
)
:
Ïðèâåñòè
òàáëèöóñëîæåíèÿýòèõýëåìåíòîâ.Êàêîâà
àëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðàýòîéãðóïïû?Áóäåòëè
îíàöèêëè÷åñêîé?
Çàäà÷à176.
Ïðîâåðèòü,÷òîóðàâíåíèå
y
2
=
x
3
+7
x
+3
çàäàåòýëëèïòè÷åñêóþêðèâóþ
E
íàäïîëåì
Z
11
:
Íàéòèâñåýëåìåíòûãðóïïû
G
(
E
)
:
Ïðèâåñòè
òàáëèöóñëîæåíèÿýòèõýëåìåíòîâ.Êàêîâà
àëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðàýòîéãðóïïû?Áóäåòëè
îíàöèêëè÷åñêîé?
Çàäà÷à177.
Ïðîâåðèòü,÷òîóðàâíåíèå
y
2
=
x
3
+2
x
+1
çàäàåòýëëèïòè÷åñêóþêðèâóþ
E
íàäïîëåì
Z
11
:
Íàéòèâñåýëåìåíòûãðóïïû
G
(
E
)
:
Ïðèâåñòè
òàáëèöóñëîæåíèÿýòèõýëåìåíòîâ.Êàêîâà
119
àëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðàýòîéãðóïïû?Áóäåòëè
îíàöèêëè÷åñêîé?
Çàäà÷à178.
Ïðîâåðèòü,÷òîóðàâíåíèå
y
2
=
x
3
+
x
+1
çàäàåòýëëèïòè÷åñêóþêðèâóþ
E
íàäïîëåì
Z
23
:
Íàéòèâñåýëåìåíòûãðóïïû
G
(
E
)
:
Ïðèâåñòè
òàáëèöóñëîæåíèÿýòèõýëåìåíòîâ.Êàêîâà
àëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðàýòîéãðóïïû?Áóäåòëè
îíàöèêëè÷åñêîé?
Çàäà÷à179.
Ïîñòðîèòüýëëèïòè÷åñêèåêðèâûå
íàäïîëÿìè
F
2
4
;
F
13
;
F
5
2
;
ïðèâåñòèòàáëèöû
ñëîæåíèÿäëÿñîîòâåòñòâóþùèõãðóïï.Êàêîâàèõ
àëãåáðàè÷åñêàÿñòðóêòóðà?
120
Ÿ20.
Êðèïòîãðàôèÿ,îñíîâàííàÿíà
ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõ
Ñóùåñòâóþòýëëèïòè÷åñêèåàíàëîãèâñåõ
èçâåñòíûõïðîòîêîëîâ,èñïîëüçóþùèõäèñêðåòíûé
ëîãàðèôì.
Çàäà÷à180.
Ïðèâåñòèïðèìåðûïðîòîêîëîâ
ÄèôôèÕåëëìàíàèÌàññèÎìóðûäëÿ
ýëëèïòè÷åñêèõêðèâûõíàäïîëÿìè
F
5
;
F
13
;
F
2
4
:
Çàäà÷à181.
Ïóñòüäàíàýëëèïòè÷åñêàÿêðèâàÿ
E
:
y
3
=
x
3
+3
x
+1
íàäïîëåì
F
11
:
Äëÿ
àíàëîãàïðîòîêîëàÄèôôè-ÕåëëìàíàÀëèñàèÁîá
äîãîâîðèëèñüîâûáîðåýëåìåíòà
P
=(

5
;

2)=
(6
;
9)
2
E:
Àëèñàâûáðàëàñåêðåòíîå÷èñëî
a
è
ïåðåñëàëàÁîáóýëåìåíò
aP
=(1
;

4)=(1
;
7)
:
ÁîáñäåëàëòîæåñàìîåèïåðåñëàëÀëèñåýëåìåíò
bP
=(0
;

1)=(0
;
10)
:
1)
Íàéòèlog
P
aP
=
a
èlog
P
bP
=
b:
2)
Âû÷èñëèòüðàçäåëåííûéêëþ÷
K
=
abP:
121
Ÿ21.
Àëãåáðàè÷åñêîåøèôðîâàíèå
Ýòîíàïðàâëåíèåñðàâíèòåëüíîíîâîå.Ñì.
îòíîñèòåëüíîíåãî[24-25].Îðèãèíàëüíîå
èçëîæåíèåñõåìûÀíøåëü-Àíøåëÿ-Ãîëäôèëäà
â[18].Òåîðèÿãðóïïêîñ,÷àñòîèñïîëüçóåìûõâ
êà÷åñòâåïëàòôîðìøèôðîâàíèÿ,ìîæíîíàéòèâ
[8],[19].Äëÿðåøåíèÿçàäà÷èçýòîãîïàðàãðàôà
òðåáóþòñÿñîîòâåòñòâóþùèåçíàíèÿïîòåîðèè
ãðóïï.
Çàäà÷à182.
Ïðèâåñòèêîíêðåòíûéïðèìåð
ðàçäåëåíèÿêëþ÷àâñõåìåÀíøåëüÀíøåëÿ
Ãîëäôèëäà.
Çàäà÷à183.
Îáúÿñíèòü,ïî÷åìóèñïîëüçîâàíèå
âìåñòîãðóïïûêîñ
B
n
ñâîáîäíîéãðóïïû
F
n
â
ñèñòåìåÀíøåëüÀíøåëÿÃîëäôèëäàíåîáëàäàåò
äîñòàòî÷íîéêðèïòîñòîéêîñòüþ.
Çàäà÷à184.
(Â.Øïèëüðàéí.)Ðàññìîòðèìñõåìó
ÀíøåëüÀíøåëÿÃîëäôèëäà,ðåàëèçîâàííóþ
íàïëàòôîðìå
G
=
u;v;w
j
uw
=
wu�:
Ïóñòü
a
1
=
uv;a
2
=
wv;b
1
=
uvw;b
2
=
uw
ùòêðûòûå
ïàðàìåòðûñõåìû
122
Ïðåäïîëîæèì,÷òîñåêðåòíûéêëþ÷Àëèñû
u
=
a
2
a

1
1
;
Áîáà
v
=
b
1
b

1
2
:
1)Ïðîâåñòèâñåâû÷èñëåíèÿÀëèñûèÁîáàäëÿ
ïîëó÷åíèÿðàçäåëåííîãîêëþ÷à.
2)Ïðåäïîëîæèì,÷òîâìåñòîãðóïïû
G
èñïîëüçóåòñÿååãîìîìîðôíûéîáðàç
H
.Äîïóñòèì,
îáðàçýëåìåíòà
u
â
H
ïåðåñòàíîâî÷åíñîáðàçîì
ýëåìåíòà
v:
×òîîòñþäàñëåäóåò?
123
Ÿ22.
ÑòàíäàðòøèôðîâàíèÿDES
Ïåðâûéñòàíäàðòñèììåòðè÷åñêîãî
øèôðîâàíèÿ.ÏðèíÿòâÑØÀâ1977ãîäó.
ÏîëíîåíàçâàíèåDataEncryptionStandard.
Øèðîêîðàñïðîñòðàíåí.Îñíîâíàÿñëàáîñòü
çàêëþ÷àåòñÿâíåäîñòàòî÷íîìîùíîìêëþ÷å(
56
áèò).×àñòîèñïîëüçóåòñÿòðîéíîéDES,ïðè
êîòîðîìøèôðîâàíèåïðîèçâîäèòñÿòðèðàçàñ
ðàçíûìèêëþ÷àìè(ëèáîïåðâûéêëþ÷ñîâïàäàåò
ñòðåòüèì).Îáëàäàåòëàâèííûìýôôåêòîì.Â
îñíîâåøèôðLUCIFERèçñåìåéñòâàÔåéñòåëåâûõ.
Íåâñåðàóíäîâûåîïåðàöèèîáðàòèìû.Êëþ÷
äåøèôðîâàíèÿëåãêîïîëó÷àåòñÿèçêëþ÷à
øèôðîâàíèÿ.Àëãîðèòìäåøèôðîâàíèÿñîâïàäàåò
ñàëãîðèòìîìøèôðîâàíèÿ.Ðàçðàáîòêèíîñèëè
âîñíîâíîìýìïèðè÷åñêèéõàðàêòåð.Äåòàëè
ðàçðàáîòîêèâûõîäàâñâåòíåÿñíûäîñèõïîð.
Çàäà÷à185.
Ñêîëüêîâñåãîñóùåñòâóåò
êîíêðåòíûõøèôðîâDES?
Çàäà÷à186.
ÊàêèåèçðàóíäîâûõîïåðàöèéDES
îáðàòèìû,àêàêèåíåò?
124
Çàäà÷à187.
Ïîêàçàòü,÷òîâDESäëÿâñåõ
êëþ÷åé
K
2f
0
;
1
g
56
èâñåõ
x
2f
0
;
1
g
64
âûïîëíåíî
ðàâåíñòâî
E
K
(
x
)=
E

K
(
x
)
:
×åðòàîçíà÷àåòâçÿòèå
äîïîëíèòåëüíîéáèíàðíîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè
(íóëèíàìåñòååäèíèöèíàîáîðîò).
Çàäà÷à188.
Ïóñòü
D

S
M
ïîäìíîæåñòâî
ýëåìåíòîâãðóïïû
S
M
âñåõïîäñòàíîâîêíåêîòîðîãî
êîíå÷íîãîìíîæåñòâà
M:
Äëÿëþáîéïàðû
ýëåìåíòîâ
d
2
D
è
m
2
M
îïðåäåëèìíàèìåíüøåå
÷èñëî
k
=
k
(
d;m
)
;
äëÿêîòîðîãî
d
k
(
m
)=
m:
Äîêàçàòü,÷òî
k
äåëèòïîðÿäîê
j
d
j
ýëåìåíòà
d
2
S
M
:
Çàäà÷à189.
ÏðîâåðèòüïîîäíîéèçS-òàáëèö
ñëåäóþùèåñâîéñòâà:
1)ïðèôèêñèðîâàííûõêðàéíèõáèòàõ
6
-
áèòîâîãîâõîäàöåíòðàëüíûå4-áèòîâûåáëîêè
íàõîäÿòñÿâîâçàèìíî-îäíîçíà÷íîìñîîòâåòñòâèèñ
4-áèòîâûìèâûõîäàìè;
2)åñëèâõîäûîòëè÷àþòñÿòîëüêîîäíèìáèòîì,
òîâûõîäûîòëè÷àþòñÿíåìåíåå÷åìäâóìÿáèòàìè.
Çàäà÷à190.
Ïî÷åìóíàïðàêòèêå÷àñòî
èñïîëüçóþòòðîéíîéDES,íîíåèñïîëüçóþò
äâîéíîéDES?
125
Çàäà÷à191.
Èçâåñòíî,÷òîïðåîáðàçîâàíèÿDES
ãðóïïûíåîáðàçóþò.Íàéòèäâàêîíêðåòíûõ
ïðåîáðàçîâàíèÿDES,ïðîèçâåäåíèåêîòîðûõóæåíå
ðåàëèçóåòñÿêàêDES.
126
Ÿ23.
Ñòàíäàðòûýëåêòðîííîé
ïîäïèñè
Ïåðâûìñòàíäàðòîìýëåêòðîííîéïîäïèñèñòàë,
ïðèíÿòûéâ1991ãîäóÍàöèîíàëüíûìèíñòèòóòîì
ñòàíäàðòîâèòåõíîëîãèé(NIST)ÑØÀ,ñòàíäàðò
DSS(DigitalSignatureStandard).Ðîññèéñêèé
ñòàíäàðòýëåêòðîííîéïîäïèñèÃÎÑÒÐ34.10-94
ïðèíÿòâ1994ãîäó.Îáàýòèõñòàíäàðòàîñíîâàíû
íàñõåìåáàçîâîéýëåêòðîííîéïîäïèñèÝëüÃàìàëÿ.
Âòîæåâðåìÿîíèèìåþòðÿäîòëè÷èòåëüíûõ
îñîáåííîñòåé.Âïîñëåäñòâèèáûëèïðèíÿòûè
äðóãèåñòàíäàðòûýëåêòðîííûõïîäïèñåéâÐîññèè,
ÑØÀèäðóãèõñòðàíàõ.×àñòüèçíèõýòîïðîñòî
ýëëèïòè÷åñêèåàíàëîãèïîäïèñåéíàïëàòôîðìàõ
êîíå÷íûõïîëåé.
Çàäà÷à192.
Ïóñòü
G
=
C
n
öèêëè÷åñêàÿãðóïïà
êîíå÷íîãîïîðÿäêà
n;q
äåëèòåëü
n:
Äîêàçàòü,
÷òîâãðóïïå
G
ñóùåñòâóåòåäèíñòâåííàÿïîäãðóïïà
H
=
C
q
ïîðÿäêà
q:
Äàííîåñâîéñòâîèñïîëüçóåòñÿïðèïîñòðîåíèè
ïëàòôîðìîïèñàííûõâûøåñòàíäàðòîâ
ýëåêòðîííîéïîäïèñè.
127
Çàäà÷à193.
Ïðåäïîëîæèì,÷òîÀëèñàèñïîëüçóåò
âñèñòåìåDSAîäèíèòîòæå"ñëó÷àéíûé"
ñåññèîííûéêëþ÷
k
äëÿïîäïèñèäâóõðàçëè÷íûõ
äîêóìåíòîâ
m
1
è
m
2
:
Ïóñòüýòèïîäïèñè
(
r
1
;s
1
)
è
(
r
2
;s
2
)
;
ñîîòâåòñòâåííî.Ïðåäïîëîæèì,÷òî
ïîòåíöèàëüíûéâçëîìùèêÎñêàðçíàåòêàê
äîêóìåíòû
m
1
;m
2
;
òàêèäàííûåïîäïèñè.
Ïîêàçàòü,êàêÎñêàðìîæåòâîññòàíîâèòü
ñåêðåòíûéêëþ÷
a:
Çàäà÷à194.
Àëèñàïîëüçóåòñÿ"äåòñêîéâåðñèåé
DSSñïðîñòûìïàðàìåòðîì
p
=43
èïîðîæäàþùèì
ýëåìåíòîìöèêëè÷åñêîéïîäãðóïïû
f
=21
ïîðÿäêà
7
:
Ñëó÷àéíîîíàïîäïèñûâàåòñðàçóäâà
äîêóìåíòà,èñïîëüçóÿîäèíèòîòæåñåññèîííûé
êëþ÷
k:
Õýøèðîâàííûåçíà÷åíèÿ
h
(
m
1
)
;h
(
m
2
)
äëÿ
ýòèõäîêóìåíòîâðàâíû
2
è
3
;
ñîîòâåòñòâåííî.
Ïîäïèñè
(2
;
1)
è
(2
;
6)
;
ñîîòâåòñòâåííî.Îïðåäåëèòü
äîëãîñðî÷íûéêëþ÷
a:
128
Ÿ24.
ÑòàíäàðòøèôðîâàíèÿAES
Ïðèíÿòâ2000ãîäó.Øèôðîâàíèå
ñèììåòðè÷åñêîåáëî÷íîå.Âñåèñïîëüçóåìûå
îïåðàöèèàëãåáðàè÷íûèîáðàòèìû.Îñíîâà
ñòîéêîñòèâãåíåðàöèèðàóíäîâûõêëþ÷åé.
Àëãîðèòìûøèôðîâàíèÿèäåøèôðîâàíèÿ
íåñêîëüêîîòëè÷àþòñÿäðóãîòäðóãà.
Çàäà÷à195.
Ïåðåìíîæèòüáàéòû:
(1
;
1
;
0
;
1
;
0
;
0
;
1
;
1)

(0
;
1
;
1
;
1
;
0
;
0
;
1
;
1)
;
(0
;
1
;
0
;
1
;
0
;
1
;
0
;
1)

(1
;
0
;
1
;
0
;
1
;
0
;
1
;
0)
:
Çàäà÷à196.
Íàéòèîáðàòíûåêñëåäóþùèì
áàéòàì:
(1
;
1
;
0
;
1
;
1
;
0
;
1
;
1)
;
(1
;
0
;
0
;
0
;
0
;
1
;
1
;
1)
:
Çàäà÷à197.
Äîêàçàòüíåïðèâîäèìîñòü
ìíîãî÷ëåíà
f
(
x
)=
x
8
+
x
4
+
x
3
+
x
+1
2
Z
2
[
x
]
;
ïî
êîòîðîìóñòðîèòñÿïîëå
F
2
8
âñèñòåìåAES.
Çàäà÷à198.
Íàéòèîáðàòíóþêìàòðèöå,
èñïîëüçóåìîéïðèçàìåíåáàéòîâ(SubBytes-
Transformation).
129
Çàäà÷à199.
Ïóñòü
g
(
y
)
2
Z
2
8
[
y
]
ìíîãî÷ëåí,
èñïîëüçóåìûéâïåðåìåøèâàíèèñòîëáöîâ(Mix-
ColumnsTransformation).Óêàçàòüÿâíûéâèä
ìíîãî÷ëåíà
g
0
(
y
)
2
Z
2
8
[
y
]
òàêîãî,÷òî
g
(
y
)
g
0
(
y
)=1(mod(
y
4
+1))
:
Äðóãèìèñëîâàìè,äàòüÿâíûéâèäìíîãî÷ëåíà
g
(
y
)

1
(mod(
y
4
+1))
:
Çàäà÷à200.
Ïîêàçàòü,÷òîîïåðàöèþ
ïåðåìåøèâàíèÿñòîëáöîâ(MixColumnsTransforma-
tion)ìîæíîïðåäñòàâèòüêàêóìíîæåíèåâåêòîðîâ
ðàçìåðà
4
;
ñîîòâåòñòâóþùèõìíîãî÷ëåíàìîò
y
ñòåïåíè

3
;
íàìàòðèöóðàçìåðà
4

4
íàä
F
2
8
:
Íàéòèÿâíûéâèäýòîéìàòðèöû.Áóäåòëèîíà
îáðàòèìîé?
130
Ÿ25.
Ïðèìåðûâûïîëíåííûõ
óïðàæíåíèé
Àëãîðèòìèîáîáùåííûéàëãîðèòì
Ýâêëèäà.
ÈñïîëüçóÿîáîáùåííûéàëãîðèòìÝâêëèäà,
íàéòè
d
=
ÍÎÄ
(
m;n
)
;
èåãîïðåäñòàâëåíèåââèäå
d
=
mk
+
nl:
1)
m
=385
;n
=217;
385=217

1+168
;
217=168

1+21
;
168=49

3+21
;
49=21

2+7
;
21=7

3
:
d
=
ÍÎÄ
(385
;
217)=7
:
7=49

21

2=49

2

(168

49

3)=7

49

2

168=
7

(217

168)

2

168=7

217

9

168=
7

217

9

(385

217)=

9

385+16

217
:
Îòâåò:
d
=
mk
+
nl
=385

(

9)+217

16
:
2)
m
=2965
;n
=734;
2965=734

4+29
;
734=29

25+9
;
29=9

3+2
;
131
9=2

4+1
;
2=1

2
:
d
=
ÍÎÄ
(2965
;
734)=1
:
1=9

2

4=9

4

(29

9

3)=

4

29+13

9=

4

29+13

(734

29

25)=13

734

329

29=
13

734

329

(2965

734

4)=

329

2965+1329

734
:
Îòâåò:
d
=
mk
+
nl
=2965

(

329)+734

1329
:
Íàéòè
k

1
(mod
n
)
:
3)
k
=29
;n
=808;
808=29

27+25
;
29=25

1+4
;
25=4

6+1
;
4=1

4
:
1=25

4

6=25

6

(29

25)=

6

29+7

25=

6

29+7

(808

29

27)=

195

29+7

808
:

195=613(mod808)
:
Îòâåò:
29

1
=613(mod808)
:
4)
k
=9
;n
=547;
547=9

60+7
;
9=7

1+2
;
7=2

3+1
;
2=1

2
:
132
1=7

2

3=7

3

(9

7)=74

7

3

9=
4

(547

9

60)

3

9=4

547

243

9
:

243=304(mod547)
Îòâåò:
9

1
=304(mod547)
:
Ìàòðèöûíàäêîëüöàìèâû÷åòîâ.
Íàéòèìàòðèöó,îáðàòíóþêäàííîéìàòðèöå
A
íàäêîëüöîìâû÷åòîâ
Z
74
:
A
=

305
72

:
A

1
=
d

1

(
M
ij
)
0
:
d
=30

2

5

7=25
;d
6
=0(mod74)
;
çíà÷èò,ìàòðèöà
A
îáðàòèìà.
Âû÷èñëèì
25

1
(mod74)
:
74=25

2+24
;
25=24

1+1
;
24=1

24
:
1=25

24=25

(74

25

2)=3

25

74;
d

1
=3(mod74)
:
A

1
=
d

1

(
M
ij
)
0
=3


2

5

730

=
133

6

15

2116

=

659
5316

:
Îòâåò:
A

1
=

659
5316

:
Êèòàéñêàÿòåîðåìàîáîñòàòêàõ.
ÈñïîëüçóÿÊèòàéñêóþòåîðåìóîáîñòàòêàõ,
âû÷èñëèòü
x
èíàéòèîáùååðåøåíèåñèñòåìû
óðàâíåíèé
8

:
x
=22(
mod
237)
;
x
=20(
mod
374)
;
x
=10(
mod
643)
:
N
=237

374

643
;N
1
=374

643
;N
2
=237

643
;N
3
=237

374
:
M
1
=
N

1
1
(mod237)
;N
1
=240482=164(mod237)
;
237=164

1+73
;
164=73

2+18
;
73=18

4+1
;
18=1

18
:
1=73

18

4=73

4

(164

73

2)=

4

164+9

73=

4

164+9

(237

164

1)=9

237

13

164
:
M
1
=

13=224(mod237)
:
M
2
=
N

1
2
(mod374)
;N
2
=152391=173(mod374)
;
134
374=173

2+28
;
173=28

6+5
;
28=5

5+3
;
5=3

1+2
;
3=2

1+1
;
2=1

2
:
1=3

2=3

(5

3)=2

3

5=2

(28

5

5)

5=
2

28

11

5=2

28

11

(173

28

6)=

11

173+68

28=

11

173+68

(374

173

2)=
68

374

147

173
:
M
2
=

147=227(mod374)
:
M
3
=
N

1
3
(mod643)
;N
3
=88638=547(mod643)
;
643=547

1+96
;
547=96

5+67
;
96=67

1+29
;
29=9

3+2
;
9=2

4+1
;
2=1

2
:
1=9

2

4=9

4

(29

9

3)=13

9

4

29=
13

(67

29

2)

4

29=13

67

30

29=
13

67

30

(96

67

1)=

96

30+43

67=

96

30+43

(547

96

5)=43

547

245

96=
43

547

245

(643

547)=

245

643+288

547
:
135
M
3
=288(mod643)
:
Òàêèìîáðàçîì,
x
=22

M
1

N
1
+20

M
2

N
2
+10

M
3

N
3
=
22

224

374

643+20

227

237

643+10

288

237

374=
2132227876
:
Îáùååðåøåíèå:
f
y
2
Z
:
y
=
x
(mod
N
g
:
ØèôðÕèëëà.
Øèôðóåìûéòåêñò:¾ÌîÿôàìèëèÿÑèìîíîâà¿.
Ìàòðèöàøèôðîâàíèÿ:
A
=
0
@
1186
4109
22716
1
A
:
Ñòîëáåöñäâèãà:
b
=
0
@
0
1
2
1
A
:
136
Îöèôðîâêàøèôðóåìîãîòåêñòà(êàæäîéáóêâå
ñîïîñòàâëÿåòñÿå¼íîìåðâàëôàâèòå,íóìåðàöèÿ
íà÷èíàåòñÿñíóëÿ):
13
;
15
;
32
;
21
;
0
;
13
;
9
;
12
;
9
;
3218
;
9
;
13
;
15
;
14
;
25
;
2
;
0
:
A

0
@
13
15
32
1
A
+
b
=
0
@
13
29
14
1
A
;A

0
@
21
0
13
1
A
+
b
=
0
@
0
13
17
1
A
;
A

0
@
9
12
9
1
A
+
b
=
0
@
15
7
32
1
A
;A

0
@
32
18
9
1
A
+
b
=
0
@
14
27
19
1
A
;
A

0
@
13
15
14
1
A
+
b
=
0
@
4
32
23
1
A
;A

0
@
15
2
0
1
A
+
b
=
0
@
18
15
16
1
A
:
Çàøèôðîâàííûéòåêñò:
13
;
29
;
14
;
0
;
13
;
17
;
15
;
7
;
32
;
14
;
27
;
19
;
4
;
32
;
23
;
18
;
15
;
16
;
137
÷òîñîîòâåòñòâóåò¾íýîàíñïçÿîûóäÿ÷òïð¿.
Äëÿïðîâåðêèíàéä¼ìîáðàòíóþìàòðèöó:
4

1
=25(mod33)
;A

1
=25

0
@
31183
21615
6264
1
A
:
=
0
@
16219
17412
18231
1
A
:
Äåøèôðóåìïåðâóþòðîéêó:
A

1

0
@
13
29
14
1
A

A

1

b
=
0
@
13
15
32
1
A
:
Äåøèôðóÿàíàëîãè÷íûìñïîñîáîìîñòàëüíûå
òðîéêè,ïîëó÷èìèñõîäíûéòåêñò.
ØèôðÂèæåíåðà.
Øèôðóåìûéòåêñò:¾Òåïåðü,åñëè
ïðåäïîëîæèòü,÷òîíàøòåêñòíàïèñàííà
åñòåñòâåííîìÿçûêå,íàïðèìåð,íàðóññêîìèëè
àíãëèéñêîì,ÿâëÿåòñÿäîñòàòî÷íîäëèííûìèåãî
138
õàðàêòåðèñòèêèñîîòâåòñòâóþòèçâåñòíûìíàì
õàðàêòåðèñòèêàìäàííîãîÿçûêà,òîäëÿíåãî
ìîæíîïîëó÷èòüîæèäàåìûéèíäåêññîâïàäåíèé,
èñïîëüçóÿèçâåñòíûå÷àñòîòûïîÿâëåíèÿîòäåëüíûõ
áóêâ¿.
Îöèôðîâêàøèôðóåìîãîòåêñòà(íóìåðàöèÿñ0,
áóêâà¼íåâêëþ÷àåòñÿâàëôàâèò):
18
;
5
;
15
;
5
;
16
;
28
;
5
;
17
;
11
;
8
;
15
;
16
;
5
;
4
;
15
;
14
;
11
;
14
;
6
;
8
;
18
;
28
;
23
;
18
;
14
;
13
;
0
;
24
;
18
;
5
;
10
;
17
;
18
;
13
;
0
;
15
;
8
;
17
;
0
;
13
;
13
;
0
;
5
;
17
;
18
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5
;
17
;
18
;
2
;
5
;
13
;
13
;
14
;
12
;
31
;
7
;
27
;
10
;
5
;
13
;
0
;
15
;
16
;
8
;
12
;
5
;
16
;
13
;
0
;
16
;
19
;
17
;
17
;
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141
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snow;AndeverywherethatMarywent,Thelambwas
suretogo.¿
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íà÷èíàÿñíóëÿ.Ñ÷èòàåì,÷òîåäèíèöàìèèñõîäíîãî
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24

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26
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143
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26
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áóêâó,ïîëó÷èìèñõîäíûéòåêñò,çíà÷èò,ïîäïèñü
ïðàâèëüíàÿ.
145
Ëèòåðàòóðà
1.
ÀãèáàëîâÃ.Ï.
Èçáðàííûåòåîðåìû
íà÷àëüíîãîêóðñàêðèïòîãðàôèè:ó÷åáíîåïîñîáèå.
Òîìñê:Èçä-âîíàó÷.-òåõí.ëèò-ðû,2005.113ñ.
2.
ÀëôåðîâÀ.Ï.,ÇóáîâÀ.Þ.,ÊóçüìèíÀ.Ñ.,
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Îñíîâûêðèïòîãðàôèè:ó÷åáíîå
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