Теория электрических цепей лекция 4


Чтобы посмотреть презентацию с картинками, оформлением и слайдами, скачайте ее файл и откройте в PowerPoint на своем компьютере.
Текстовое содержимое слайдов презентации:

Теория электрических цепей Гармонические напряжения и токиГармонические колебания тока или напряжения могут быть описаны одной из функций Обе записи равноправны, однако при решении задач следует придерживаться какой-либо одной из них. Мы будем пользоваться первой.Наибольшее по абсолютному значению отклонение колеблющейся величины называется её амплитудой и обозначается .Наименьшее значение времени, после которого процесс полностью повторяется (время одного цикла колебания), называется периодом колебания Т. Число циклов колебания в единицу времени называется циклической частотой колебания или просто частотой. Частота измеряется в герцах (Гц). Герц – одно колебание в секунду. Число циклов колебания в интервале, равном 2π единицам времени, называется угловой частотойВеличина называется фазой колебания. Значение фазы колебания в момент времени называется начальной фазой колебания.Действующим значением любого периодического колебания называется его среднеквадратичное значение за период Измерительные приборы теплового действия показывают действующие значения токов и напряжений. Разность фаз колебанийПусть даны два гармонических колебания:Под разность фаз понимают:Если - колебания f2(t) и f1(t) находятся в фазе - колебание f2(t) опережает колебание f1(t) по фазе - колебание f2(t) отстает от колебания f1(t) по фазе - колебания f2(t) и f1(t) находятся в противофазе - колебания f2(t) и f1(t) находятся в квадратуре Векторная диаграммаГармоническое колебание изображают на плоскости в виде некоторой диаграммы, которая получила название векторной диаграммы. На ней в полярной системе координат каждому колебанию соответствует радиус-вектор, длина которого в выбранном масштабе пропорциональна амплитуде колебания, а полярный угол равен начальной фазе колебания. Мгновенная и средняя мощностьМгновенная мощность гармонических колебаний в общем случае, когда ток и напряжение сдвинуты по фазе на некоторый угол определяется по формуле: Средняя мощность Гармонические колебания на элементах электрической цепи1. Резистивное сопротивлениеДля резистивного сопротивления при согласном выборе положительных направлений напряжения и токаТок и напряжение на резистивном сопротивлении находятся в фазе. Векторная диаграмма, соответствующая временным диаграммам гармонических колебаний на резистивном сопротивлении, имеет следующий вид. Вектора тока и напряжения находятся в фазе.Мгновенная мощность на резистивном сопротивлении:Средняя мощность Графики напряжения и тока на резистивном сопротивленииГрафик мгновенной мощности на резистивном сопротивлении 2. ИндуктивностьТок и напряжение на индуктивности находятся в квадратуре. Векторная диаграмма, соответствующая временным диаграммам гармонических колебаний на индуктивности, имеет следующий вид. Вектора тока и напряжения находятся в квадратуре, при этом напряжение опережает ток.Мгновенная мощность на индуктивности:Средняя мощность Графики напряжения и тока на индуктивностиГрафик мгновенной мощности на индуктивности 3. ЕмкостьТок и напряжение на емкости находятся в квадратуре Векторная диаграмма, соответствующая временным диаграммам гармонических колебаний на емкости, имеет следующий вид. Вектора тока и напряжения находятся в квадратуре, при этом ток опережает напряжение.Мгновенная мощность на емкостиСредняя мощность на емкости Графики напряжения и тока на емкостиГрафик мгновенной мощности на емкости Символический метод анализа установившихся гармонических колебанийПод установившимся колебанием понимают колебание, которое меняется по периодическому закону.Каждой косинусоидальной функции заданной частоты ω можно сопоставить вектор на комплексной плоскости. Каждый вектор можно записать в виде комплексного числа. Гармоническому колебанию, описываемому функцией можно сопоставить радиус-вектор на комплексной плоскости. Длина вектора в выбранном масштабе, равна амплитуде колебания Fm, а угол, образованный этим вектором с положительным направлением вещественной оси, – начальной фазе колебания ψ. Где - мнимая единица; a – вещественная часть; b – мнимая частьМодуль комплексного числа равен длине вектора Аргумент комплексного числа равен углу между вектором и осью абсциссДля перехода от показательной формы записи комплексного числа c=|c|∙ ∙ejψ к алгебраической c=a+jb используется формула Эйлераejψ = cos ψ + j sin ψ . Тогда c=|c|∙cosψ + j|c|∙sinψ , и поэтому вещественная часть комплексного числа a= Re (a + jb)= |c|∙cosψ и коэффициент при мнимой части b= Im (a + jb)= |c|∙sinψ.Имеют место соотношения: j=ej90°; j2= –1 = ej180°, j3= –j = e–j90°, j4=1. Два комплексных числа с и с* считаются сопряжёнными, если они отличаются лишь знаками их мнимых частей, т.е. если с=a + jb, то с*=a – jb. Комплексная амплитуда гармонического колебанияКомплексное число принято называть комплексной амплитудой гармонического колебания f(t). Комплексная амплитуда гармонического колебания – это комплексное число, модуль которого равен амплитуде колебания, а аргумент – его начальной фазе. Между комплексной амплитудой и гармоническим колебанием существует взаимно однозначное соответствие, которое математически выражается следующими зависимостями:Комплексные действующие значения отличаются от комплексных амплитуд в раза. Законы Кирхгофа в комплексной форме Комплексные значения токов и напряжений в электрической цепи удовлетворяют законам Кирхгофа. Заменим мгновенные значения токов в первом законе Кирхгофа их комплексными значениями, получимде n – число ветвей, сходящихся в узле; Заменив мгновенные значения напряжений во втором законе Кирхгофа их комплексными значениями, получимгде m – число ветвей, входящих в контур; Закон Ома в комплексной формеКомплексные амплитуды напряжения и тока на входе двухполюсника формально удовлетворяют закону Ома:где Z(jω) = R + jX = |Z(jω)| ∙– комплексное сопротивление цепи,Y(jω) = G + jB = |Y(jω)|∙ – комплексная проводимость цепи. В этих выраженияхR = |Z(jω)|∙cos( ) = Re Z(jω); X = |Z(jω)|∙sin( ) = Im Z(jω);G = |Y(jω)|∙cos( ) = Re Y(jω); B = |Y(jω)|∙sin( ) = Im Y(jω).Вещественные части этих представлений, т.е. R и G, называют резистивными, а коэффициенты при мнимых частях, т.е. X и B, реактивными составляющими соответственно сопротивления и проводимости двухполюсника.Модуль комплексного сопротивления равен отношению амплитуды напряжения на внешних зажимах двухполюсника к амплитуде тока, который проходит через эти зажимы.Обратное отношение характеризует модуль комплексной проводимости двухполюсника. Аргумент комплексного сопротивления равен разности фаз колебаний напряжения и тока на внешних зажимах двухполюсника и отличается знаком «минус» от аргумента комплексной проводимости двухполюсника. У пассивных двухполюсников значения аргументов лежат в пределах: Комплексные сопротивления пассивных элементов!. Резистивное сопротивление 2. Индуктивность 3. Емкость Символический метода анализа Алгоритм анализа цепи символическим методом:!. Переходим к комплексной схеме замещения цепи. Заданные гармонические колебания заменяются их комплексными амплитудами и вычисляются комплексные сопротивления элементов цепи. На схеме анализируемой цепи помечаются комплексные амплитуды колебаний.2. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения. Составляется и решается система алгебраических уравнений для комплексных амплитуд колебаний, для чего можно использовать любой метод анализа цепей (метод эквивалентных преобразований цепи, метод наложения, метод узловых напряжений).3. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд к косинусоидальным функциям, описывающим колебания в цепи. ПримерДля цепи, схема которой приведена на рис. 3.7,а, рассчитать все токи и напряжения, записать их мгновенные значения, вычислить действующие значения, если u(t)=20∙cos(105∙t) В; L=0,4∙10–3 Гн; С=0,25∙10–6 Ф; R1=40 Ом; R2=80 Ом. 1. Переходим к комплексной схеме замещения цепи. Определим параметры схемы: = Um∙ejψu = 20 В; = 0;ZL = jωL = j∙105∙0,4∙10–3 = j40 = 40∙ej90° Ом;ZC = = = –j40 = 40∙e–j90° Ом;Z1 = R1 =40 Ом; Z2 = R2 = 80 Ом.2. Определяем неизвестные комплексные токи и напряжения линейной цепи с одним независимым источником напряжения путём эквивалентных преобразований схемы заданной цепи.Последовательное соединение элементов Z1 и ZC заменим эквивалентным ZЭ1:ZЭ1 = Z1 + ZC = 40 – j40 = 40∙(1–j) = 40∙∙e–jarctg(1) = 56,57∙e–j45° Ом. Параллельное соединение элементов Z2 и ZЭ1 заменим эквивалентным ZЭ2:ZЭ2 = Z2∙ZЭ1/(Z2+ZЭ1) = 80∙40∙(1–j)/(120–j40) = 16∙(2–j) = 16∙∙e–j26,57° Ом. Вычислим комплексную амплитуду тока mL: mL = m/(ZL+ZЭ2) =20/(32+j24) =0,1∙(4–j3) =0,1∙∙e–jarctg(0,75) =0,5∙e–j36,87° А. Вычислим комплексное напряжение 10 между узлами 1 и 0 схемы: 10 = mL∙ZЭ2 = 0,5∙e–j36,87° ∙ 16∙∙e–j26,57° = 17,89∙e–j63,44° В.Вычислим комплексные амплитуды токов m1 и m2: m1 = 10/ZЭ1 = 17,89∙e–j63,44° / (56,57∙e–j45° ) = 0,3162∙e–j18,44° А, m2 = 10/Z2 = 17,89∙e–j63,44° / 80 = 0,2236∙e–j63,44° АВычислим комплексные амплитуды напряжений mL, mC, m1, m2: mL = mL∙ZL = 0,5∙e–j36,87°∙40∙ej90° = 20∙ej53,13° В,mC = m1∙ZC = 0,3162∙e–j18,44°∙40∙e–j90° = 12,648∙e–j108,44° В,m1 = m1∙Z1 = 0,3162∙e–j18,44°∙40 = 12,648∙e–j18,44° В,m2 = m2∙Z2 = 0,2236∙e–j63,44°∙80 = 17,888∙e–j63,44° В.3. Осуществляем переход от найденных комплексных амплитуд токов и напряжений к косинусоидальным функциям по формулам Получим для ω=105 рад/с реальные токи и напряженияiL(t) = 0,5∙cos(ωt – 36,87°) A; i1(t) = 0,3162∙cos(ωt – 18,44°) A;i2(t) = 0,2236∙cos(ωt – 63,44°) A; uL(t) = 20∙cos(ωt + 53,13°) B;uC(t) = 12,648∙cos(ωt – 108,44°) B; u1(t) = 12,648∙cos(ωt – 18,44°) B;u2(t) = 17,888∙cos(ωt – 63,44°) B.

Приложенные файлы

  • pptx 998596
    Размер файла: 608 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий