Расположение корней квадратного трехчлена

Глава1. Расположение корней квадратного трехчлена.
  Многие задачи с параметрами сводятся к исследованию корней квадратного трехчлена ах2+bх+с относительно заданной точки или заданного промежутка (отрезка, интервала, луча).
  Приведем схему решения таких задач.
1.     Если коэффициент а отличен от константы, то решение задачи следует начинать с исследования случая, когда а=0.
При этом получится уравнение (или неравенство), как правило, с конкретными числовыми коэффициентами, решая которое, легко проверить выполнение условия задачи.
2.     Считая  а13 EMBED Equation.3 14150, найти дискриминант 13 EMBED Equation.3 1415 квадратного трехчлена. Если дискриминант есть полный квадрат некоторого выражения (т.е. извлекается [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]), то лучше найти корни [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] квадратного трехчлена и подчинить их условиям задачи.
3.     Если же [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] не извлекается, то также можно найти корни [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и подчинить их условиям задачи, но при этом, как правило, приходится решать непростые иррациональные неравенства, которые приводят к большим и утомительным вычислениям. В этом случае лучше использовать графический метод, включающий в себя следующие операции.
1). Графический анализ задачи - выбор тех положений параболы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно изучаемых точек, для которых выполняются все условия задачи. При этом следует опираться на рисунки:
 



Удовлетворяющие условиям задачи положения параболы можно получить, перемещая ее вправо и влево, вверх и вниз, т.е. рассматривая параболу, как «плавающую» фигуру, в силу чего данный метод называют еще методом «плавающей параболы». Иногда для получения более полной информации полезно рассматривать также некоторые случаи расположения параболы, когда часть условий задачи не выполняется.
     2).  Аналитическое описание подходящих по условиям задачи случаев расположения параболы, которое включает в себя следующие пункты (все или только некоторые):
-         описание знака, а иногда и значения коэффициента а;
-         описание знаков, а иногда и значения дискриминанта ;
-         описание знаков, а иногда и значения квадратичной функции 13 EMBED Equation.3 1415 в точках, относительно которых исследуется расположение корней функции;
-         наложение условий на расположение вершины параболы относительно изучаемых точек.
    В прилагаемой таблице приведены условия, описывающие наиболее часто встречаемые на практике случаи расположения корней квадратного трехчлена относительно одной и двух точек.














Замечание 1.  Если надо исследовать расположение корней квадратного трехчлена относительно точки х=0, то лучше использовать формулы Виета и теоремы, приведенные в начале пункта 2. Эти формулы можно использовать также для исследования расположения корней квадратного трехчлена относительно любой другой точки М или отрезка [М;N].
Замечание 2.  При исследовании уравнения  в случае а13 EMBED Equation.3 14150 , разделив обе части уравнения 13 EMBED Equation.3 1415на а  можно привести его к виду    13 EMBED Equation.3 1415. Однако исследовать полученное уравнение с дробными коэффициентами бывает не всегда проще, чем исследовать первоначальное уравнение.
       При решении многих задач, связанных с квадратными уравнениями, содержащими параметры, используются следующие теоремы:
Теорема Виета.
 Если 13 EMBED Equation.3 1415 - корни квадратного уравнения 13 EMBED Equation.3 1415  , то
13 EMBED Equation.3 1415
Следствие1.  Для того, чтобы корни квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415 были действительны и имели одинаковые знаки, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
13 EMBED Equation.3 1415
При этом оба корня будут положительны, если -b/a>0 и оба корня будут отрицательны, если –b/a<0.
Следствие 2. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена  13 EMBED Equation.3 1415были действительны и оба неотрицательны или оба неположительные, необходимо и достаточно выполнение следующих условий:
                             13 EMBED Equation.3 1415                                                [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
При этом оба корня будут неотрицательны, если -b/a>0 , и оба  корня будут неположительными, если -b/a<0
Следствие 3. Для того, чтобы корни квадратного трехчлена 13 EMBED Equation.3 1415 были действительны и имели разные знаки, необходимо и достаточно выполнение  условия:   c/a<0. При этом условие  D>0 выполняется автоматически.
Приведенные теоремы играют важную роль при решении задач, связанных с исследованием расположения корней квадратного уравнения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] относительно точки х=0, т.е. связанных с исследованием их знаков.
Приведем примеры из реальных вариантов ЕГЭ 2012-2015 годов.


Досрочный ЕГЭ 26 марта 2015

Найти все значения параметра а, при которых система уравнений
Имеет единственное решение.




Решение: Как всегда при решении иррациональных уравнений не забываем ОДЗ
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Решаем первое уравнение так, если бы оно было без параметра (если Вы не знаете, как решать какую-либо задачу с параметром, запишите её придав параметру любое значение и подумайте как вы будете его решать , так же поступите и с первоначальным уравнением или неравенством)
13 EMBED Equation.3 1415

Из второго уравнения системы выразим у=а-х. Можно сразу это подставить в уравнение (1) и решать уже уравнение с одной переменной, но с параметром, но можно попробовать решить его пока без этой подстановки, посмотрев на него , как на квадратное относительно у, а к переменной х отнестись как к параметру. Сгруппируем слагаемые в уравнении (1)
13 EMBED Equation.3 1415- это квадратное уравнение 13 EMBED Equation.3 1415, в котором b=-(х+4) и с=(2х+4).
Найдем его дискриминант 13 EMBED Equation.3 1415
Наш дискриминант представляет собой полный квадрат – это удача, значит, мы можем найти непосредственно корни и далее исследовать их на условия.
1)Обязательно отдельно рассмотрим случай, когда дискриминант =0
Х=0, корень рассматриваемого уравнения 13 EMBED Equation.3 1415 , решение (0,2) входит в ОДЗ отсюда а=х+у=0+2=2
2) х13 EMBED Equation.3 1415корни уравнения находим по обычной формуле для корней квадратного уравнения у=(х+4-х)/2=2 и у =(х+4+х)/2=х+2 так как х=а-у получаем две пары решений:
13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
Запишем условия, которые накладываются на решения из ОДЗ

13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415при таких значениях параметра а уравнение (1) имеет второе решение, входящее в ОДЗ системы.

Из второго уравнения получаем х=-4, для него у=а+4, записываем условие ОДЗ: а+4<5, получаем а<1 - это условие существования еще одного решения системы (-4;а+4).
Таким образом мы получили:
первое решение ((а-2)/2;(а+2)/2) при 13 EMBED Equation.3 1415, при этом учтем, что при а=2 первое и второе решения совпадают
второе решение (а-2;2) при 13 EMBED Equation.3 1415
третье решение (-4;а+4) при 13 EMBED Equation.3 1415

3)Еще один важный пункт, так как мы ищем условия, при которых система имеет единственное решение, то мы будем ниже на числовой оси искать значения а, при которых только одно из полученных решений входит в ОДЗ, то перед этим найдем значения а при которых наши решения двух разных уравнений совпадают!!
13 EMBED Equation.3 1415(сопадение 1-го и 3-го решения) или13 EMBED Equation.3 1415(совпадение 2-го и 3-го решения)
Для итогового поиска значений параметра, при которых есть только одно решение, удобно изобразить полученные интервалы на числовой оси




Изображаем дугами множества параметра а, при которых существует каждое решение, при этом учитываем открытый или закрытый интервал, и ищем, где только одно решение, по рисунку видим интервалы: левее -6 и правее 8, учитываем, что в а=-6 1-е и 3-е решения совпадают и дают только одну пару, поэтому -6 входит в интервал, при а=8 только 2-е решение входт в ОДЗ, его тоже вводим в интервал, при а=-2 2-е и 3-е решения совпадают, но и 1-е даёт еще одно решение отличное от них и система будет иметь 2 решения, поэтому а=-2 в решение не входит, и наконец, а=2 - смотрим на рисунок, это значение лежит в желтой и голубой зоне, где существуют первое и второе решения, но при этом они совпадают, значит, а=2 удовлетворяет нашим условиям.
Итого: 13 EMBED Equation.3 1415




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 5131645
    Размер файла: 604 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий