Расчет ступенчатого стержня на растяжение и сжа..

МИНИСТЕРСТВО СЕЛЬСКОГО ХОЗЯЙСТВА
И ПРОДОВОЛЬСТВИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ


ГЛАВНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ И КАДРОВ


БЕЛОРУССКАЯ ГОСУДАРСТВЕННАЯ
СЕЛЬСКОХОЗЯЙСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ


Кафедра гидравлики и строительной механики







РАСЧЕТ СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ


МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
ПО ВЫПОЛНЕНИЮ РАСЧЕТНО-ГРАФИЧЕСКОЙ РАБОТЫ


Для студентов БГСХА специальностей С.04.02.00 – мелиорация и водное хозяйство, С.03.01.00 – механизация сельского хозяйства и С.03.03.00 – механизация мелиоративных
и водохозяйственных работ






Горки – 2002


Одобрено методической комиссией факультета механизации сельского хозяйства 21.03.2002.

Составили В. И. ЖЕЛЯЗКО, В. В. ДЯТЛОВ, Л. И. МЕЛЬНИКОВА, Е. М. БЕЛЯВСКАЯ.


СОДЕРЖАНИЕ

Введение..............................................................................................
3

1. Порядок выполнения работы .....................................................................
5

2. Алгоритм решения задач........................................................................
8

3. Примеры решения типовых задач.............................................................
9

4. Расчет с использованием ПЭВМ..................................................................
22

5. Расчетные схемы стержня к задачам ...........................................................
23

6. Варианты исходных данных......................................................................
25

Литература..........................................................................................
27











УДК 539.382(072)
ББК 30.121 р
Р 248
Расчет ступенчатого стержня на растяжение и сжатие: Методические указания / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; Сост. В. И. Ж е л я з к о, В. В. Д я т л о в, Л. И. М е л ь н и -
к о в а, Е. М. Б е л я в с к а я. Горки, 2002. 28 с.


Приведены исходные данные и методические указания по расчету статически определимых и неопределимых одностержневых систем на прочность и жесткость с примерами решения типовых задач.
Для студентов специальностей 74-05-01 – мелиорация и водное хозяйство, 74-06-01 – техническое обеспечение процессов сельскохозяйственного производства, 74-06-04 – техническое обеспечение мелиоративных и водохозяйственных работ.
Таблиц 2. Рисунков 13. Библиогр. 8.
Рецензенты М. А. ЖАРСКИЙ, В. А. ДРЕМУК.


( Составление. Коллектив, 2002
( Белорусская государственная сельскохозяйственная академия, 2002









ВВЕДЕНИЕ

Целью расчетно-графической работы является закрепление теоретических знаний и приобретение практических навыков по выполнению расчетов одностержневой системы с использованием ручного счета и персональных ЭВМ.
Прежде чем приступить к выполнению работы, следует изучить теоретический материал по данной теме. Для этого рекомендуется учебная и справочная литература, основная и дополнительная.
Выполнение работы следует начинать с изучения схемы предложенного к расчету ступенчатого стержня, который имеет продольные размеры 1, 2, 3, площади поперечного сечения A1, А2, А3, и нагружен по оси продольными силами Fi, q или подвержен температурному нагреванию. При этом числовые значения размеров и приложенных внешних сил принимаются согласно варианту.
Числовые значения, соответствующие варианту, вписываются студентом в табл. 1 и 2 задания на выполнение расчетно-графической работы самостоятельно. После этого задание подписывается преподавателем.
В расчетно-графической работе предлагается решить три (четыре) задачи, условия которых сформулированы в задании на ее выполнение. Для решения этих задач на кафедре разработаны программы с использованием персональных ЭВМ. Программы составлены на языке программирования “Турбопаскаль” и предназначены для решения следующих задач:
Stergen 1. Расчет ступенчатого статически определимого стержня на растяжение (сжатие).
Stergen 2. Расчет ступенчатого статически неопределимого стержня на растяжение (сжатие).
Stergen 3. Расчет ступенчатого стержня под влиянием изменения температуры.
Stergen 4. Расчет статически неопределимого ступенчатого стержня под действием сосредоточенных и распределенных нагрузок.
Указанные программы записаны на дискету, которую пользователь может получить у ведущего дисциплину преподавателя или старшего лаборанта.
При выполнении расчетно-графической работы рекомендуется одни задачи, по указанию преподавателя, выполнить с использованием традиционного ручного счета, а другие рассчитать на ПЭВМ.
Расчетно-графическую работу следует выполнять на листах писчей бумаги, чернилами, четким почерком с полями: левое – 3 см, правое – 1,5...2 см, верхнее – 2,5 см и нижнее – 1 см.
Перед решением каждой задачи надо выписать полностью ее условие с числовыми данными, составить аккуратно расчетную схему и указать на ней в числах все величины, необходимые для расчета, и их размерности.
Решение каждой задачи должно сопровождаться краткими, последовательными и грамотными, без сокращения слов, пояснениями и чертежами, на которых все входящие в расчет величины должны быть указаны в числах: При использовании формул или данных, отсутствующих в рекомендуемой литературе, необходимо указать источник (автор, название, издательство, страницу).
При выполнении расчетов вычисления должны соответствовать необходимой точности, однако не следует вычислять большое число значащих цифр после запятой.
Выполненная работа должна быть аккуратно сброшюрована в такой последовательности: титульный лист, задание на выполнение расчетно-графической работы, текст решенных задач. В конце работы проставляется дата и подпись выполнившего работу студента, а затем она сдается на кафедру для проверки. После проверки необходимо исправить все отмеченные ошибки и устранить замечания.
Проверенная и исправленная работа представляется на защиту. Перечень примерных контрольных вопросов приведен в задании на выполнение работы. Форму защиты (письменная или устное собеседование) определяет преподаватель.
При выполнении работы рекомендуется использовать следующие буквенные обозначения и размерности:
Fi – внешняя сила (нагрузка), Н, кН;
q – распределенная нагрузка, Н/м, кН/м, Н/см, кН/см;
(t – температура нагревания, о С;
R – реакции связей (опор, заделки), Н, кН;
N – продольное усилие, Н, кН;
А – площадь поперечного сечения стержня, см2, м2;
– длина стержня, см, м;
( – нормальное напряжение в поперечном сечении, кН/см2, кН/м2;
Е – модуль упругости материала, кН/см2, кН/м2, Па, мпа,
1кН/см2 = 10 мПа.
1. ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Под растяжением или сжатием понимается такой вид нагружения стержня, при котором возникают только внутренние нормальные (продольные) силы, направленные вдоль его продольной оси.
При растяжении продольная сила направлена по внешней нормали к сечению и принимается положительной, а при сжатии – по внутренней и считается отрицательной.
Все внешние силы, приложенные к стержню, действуют по одной прямой – оси стержня. Поэтому можно составить только одно уравнение равновесия – уравнение проекций всех сил на ось стержня. При наличии двух неизвестных реакций стержень оказывается один раз статически неопределимым.
Дополнительное уравнение деформаций можно получить, учитывая, что сумма удлинений всех участков стержня под действием заданных сил и опорной реакции, заменяющей одну отброшенную опору, равна нулю. Написать это уравнение можно двумя способами:
1.Мысленно отбросив одну из опор и приложив к этому концу стержня неизвестную реакцию, определяют продольные усилия на каждом участке стержня и, зная эти усилия и размеры участка, вычисляют удлинения каждого участка. Сумму всех удлинений приравнивают нулю;
2.Пользуясь принципом независимости действия сил, при той же схеме нагружения находят удлинения всего стержня от каждой внешней силы в отдельности. Полное удлинение от действия внешних сил приравнивается удлинению стержня от реакции опоры.
Определив по первому или второму способу одну опорную реакцию, вторую можно найти из уравнения статики. Но для контроля правильности решения рекомендуется вторую реакцию также определять из уравнения деформаций, отбросив соответствующую этой реакции заделку. Если реакции найдены верно, то сумма проекций всех сил на продольную ось стержня должна быть равна нулю. В том случае, когда между нижним концом стержня и заделкой имеется зазор 13 EMBED Equation.2 1415, уравнение для определения опорной реакции приравнивают величине этого зазора.
После определения опорных реакций следует найти усилия на отдельных участках стержня (т. е. между точками приложения всех внешних сил, включая и опорные реакции), пользуясь методом сечений, т. е. составляя уравнения равновесия для отдельных участков стержня.
Вычислив значения продольных сил в характерных сечениях стержня, строят эпюру продольных сил, представляющую собой диаграмму изменения значения продольной силы по длине стержня при заданных внешних нагрузках.
При построении эпюры следует написать выражение для N на каждом участке стержня, затем вычислить значения N в начале и конце участка и отложить полученные значения в удобном масштабе перпендикулярно оси эпюры. Ось эпюры (база) располагается параллельно оси стержня. При этом положительные значения продольной силы N откладываются с одной стороны базы (например, справа), отрицательные – с другой (слева).
В местах приложения к стержню внешних сосредоточенных сил на эпюре N должны быть скачки, равные по величине значению этих сил.
Нормальные напряжения в любом поперечном сечении стержня, достаточно удаленном от места приложения нагрузки, принимаются равномерно распределенными по сечению, а их значения определяются по формуле
13 EMBED Equation.2 1415 (1)
При растяжении стержня нормальные напряжения принимаются положительными, при сжатии – отрицательными.
Для наглядного представления о распределении напряжений по длине стержня строится эпюра напряжений, которая представляет собой график, показывающий, как изменяется напряжение в поперечных сечениях по длине участков стержня. Строится она путем отложения в характерных местах вычисленных значений напряжений.
Построение эпюры напряжений
· сходно с построением эпюры продольной силы N. Скачки на эпюре должны быть как в местах приложения сосредоточенных сил, так и в местах изменения поперечного сечения стержня.
Под влиянием внешних нагрузок стержень изменяет свою длину. Абсолютная деформация участка стержня
( = 1 – , (2)
где 1 – длина участка стержня после приложения нагрузки.
Относительная продольная или линейная деформация участка стержня
( ( ( / . (3)
При упругих деформациях материала имеет место линейная зависимость между напряжениями и деформациями (закон Гука):
( ( (·(. (4)
С учетом этих зависимостей абсолютную деформацию участка стержня можно определить по выражению
13 EMBED Equation.2 1415. (5)
Полную деформацию ступенчатого стержня, а также стержня с несколькими участками, в пределах которых Е, N и А не изменяются, определяется алгебраическим суммированием деформаций всех его участков:
13 EMBED Equation.2 141513 EMBED Equation.2 1415. (6)
Если, например, N и А переменны по длине участков стержня, то полное удлинение стержня
13 EMBED Equation.2 1415. (7)
Здесь интегрирование производится в пределах каждого участка, а суммирование – по всем участкам стержня.
При вычислении полной деформации стержня, а также отдельных его участков не следует отождествлять понятия линейной деформации и перемещения, ибо в некоторых случаях участок стержня может перемещаться, но находится в недеформируемом состоянии.
Эпюра перемещений представляет собой график, ординаты которого изображают отложенные в масштабе перемещения сечений, а абсциссы – расстояния от этих сечений до начала координат, помещенного на неподвижной опоре.
Если перемещения определяются от действия сосредоточенных сил без учета влияния собственного веса стержня, то эпюра перемещений на данном участке представлена прямой, обычно наклонной, поскольку удлинения пропорциональны длине. При наличии на участке распределенной нагрузки эпюра перемещений ограничена квадратичной параболой.
Если на данном участке напряжение отсутствует, то линия эпюры перемещений параллельна базовой линии, т.е. оси стержня.
Стержни, работающие на растяжение или сжатие, испытывают помимо продольных деформаций и поперечные, которые определяются по формуле
(b = b – b1, (8)
где b1 – ширина стержня после деформации.
Тогда относительная поперечная деформация

(( ( (b / b. (9)
Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации (( к относительной продольной деформации ( называется коэффициентом Пуассона:
( ( – (( ( ( . (10)
Значение этого коэффициента для различных изотропных материалов изменяется: 0 ( ( ( 0,5.
Если известен коэффициент Пуассона, можно вычислить изменение объема стержня при растяжении или сжатии и найти относительное изменение объема:
(V = A··(·(1 – 2(); (11)

(( = (V / V = (·(1 – 2(); (12)
где А· – первоначальный объем стержня до деформации.

2. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Задача 1. Статически определимый ступенчатый стержень под действием внешних сосредоточенных сил.
Определяют (если необходимо) реакцию в жесткой заделке.
Стержень разбивают на участки.
Используя метод сечений, определяют продольные усилия на каждом участке стержня.
По найденным значениям усилий строят эпюру силы N.
Зная продольные усилия и площади поперечного сечения участков стержня, определяют напряжения на них.
По значениям напряжений на участках стержня строят эпюру напряжений.
Определяют деформации отдельных участков стержня.
По значениям деформаций вычисляют перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки.
По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строят эпюру перемещений.
Задача 2. Статически неопределимый стержень под действием внешних сосредоточенных сил.
Определяют степень статической неопределимости системы. Если стержень с зазором, следует убедиться, что конструкция действительно статически неопределима. Для этого необходимо мысленно отбросить заделку со стороны зазора и вычислить полную деформацию конструкции, считая ее статически определимой. Если полученная деформация растяжения больше величины зазора, получаем статически неопределимую систему. В противном случае, если после нагружения зазор не перекрывается, задачу необходимо решать как статически определимую.
2. Определяют каждую из опорных реакций, составляя для этого дополнительные уравнения совместности деформаций.
3. Проводят проверку правильности определения опорных реакций.
4. Далее последовательность выполнения задачи сводится к задаче 1, начиная с п. 2.
Задача 3. Статически неопределимый ступенчатый стержень (с зазором или без него) под влиянием изменения температуры.
Если стержень с зазором, необходимо убедиться, что конструкция является статически неопределимой.
Определяют степень статической неопределимости стержневой системы.
Определяют одну из опорных реакций (они равны по величине), составляя дополнительное уравнение совместности деформаций.
Используя метод сечений, определяют продольное усилие в стержне и строят эпюру силы N.
Разбивают стержень на участки.
Определяют напряжения на участках стержня, и строят эпюру.
7. Определяют деформации отдельных участков стержня.
8. По значениям деформаций вычисляют перемещения граничных участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора.
9. По значениям перемещений граничных сечений строят эпюру перемещений.
Задача 4. Статически неопределимый ступенчатый стержень с зазором под действием сосредоточенных и распределенных внешних сил.
Последовательность выполнения задачи аналогична выполнению задачи 2.

3. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ

Требуется построить эпюры продольных сил, напряжений и перемещений.
Задача 1. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 1);
Е= 2·104 кН/см2.
Решение. 1. Определяем реакцию в заделке А:

13 EMBED Equation.2 1415;
– Rа + F2 – F1 = 0;

Rа = F2 – F1 =
= 150 – 100 = 50 кН.
2. Разбиваем стержень на участки – границами являются концевые сечения, места изменения поперечного сечения и точки приложения сил.
Имеем два участка (рис. 2).
3. Определяем продольные усилия на участках:
участок 1 – 1 13 EMBED Equation.2 1415
N1 – F1 = 0;
N1 = F1 = 100 кН;
участок 2 – 2 13 EMBED Equation.2 1415
– Rа – N2 = 0;
N2 = – Rа = – 50 кН.
4. По значениям продольных усилий N строим эпюру (рис.3,а).
5. Определяем напряжения по участкам:
(1 = N1 / А1 = 100 / 10 = 10 кН/см2;
(2 = N2 / А2 = – 50 / 20 = – 2,5 кН/см2;
6. По значениям напряжений строим эпюру напряжений ( (рис.3,б).

Участок 1 – 1
13 EMBED Word.Picture.8 1415
Участок 2 – 2



Рис. 2. Расчетные схемы к определению продольных сил методом сечений.

7. Определяем деформации отдельных участков стержня:
(1 = N11 / ЕА1 = 100·200 / 2·104·10 = 0,1 см;
(2 = N22 / ЕА2 = – 50·100 / 2·104·20 = – 0,0125 см.
8. Вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня:
(вв = (2 = – 0,0125 см;
(сс = (вв + (1 = – 0,0125 + 0,1 = 0,0875 см.
9. По значениям перемещений строим эпюру ( (рис.3,в).

Рис. 3. Построение эпюр продольных сил N, напряжений ( и перемещений S.

Задача 2. Исходные данные: дан двухступенчатый стержень (рис. 4); А1 = 10 см2; А2 = 20 см2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F1 = 100 кН; F2 = 50 кН; Е = 2·104 кН/см2.

Рис. 4. Расчетная схема стержня к задаче 2.



Решение. 1. Определяем степень статической неопределимости системы:

(F(у) = 0;

– Rа + F2 – F1 – Rс = 0;

Получили одно уравнение статики, неизвестных – две. Следовательно, система один раз статически неопределима.
2. Обратимся к изучению де-формации системы (рис. 5). Мысленно отбросим нижнюю заделку. Предположим, что конструкция под действием внешних сил укоротилась на (F.
С другой стороны, реакция Rс должна вернуть сечение с-с в первоначальное положение, т.е. получили дополнительное уравнение совместности деформаций: |(Rc| = |(F|, или


Рис. 5. Схема к анализу деформации системы.

(Rc + (F = 0.

Запишем это уравнение, используя закон Гука:

(Rс = RcL1 / ЕА1 + RcL2 / ЕА2:

С учетом того, что А2 = 2А1 и L1 = 2L2 получим:

(F = F1L1 / 2EA1 + F1L2 / EA1 – F2L2 / 2EA2;

RcL1 / EА1 + RcL1 / EА2 + F1L1 / 2EА2 + F1L2 / 2EА2 – F2L2 / 2EА2 = 0;

Rc(2L2 / A1 + L2 / A1) = F2L2 / 4A1 – F12L2 / 2A1 – F1L2 / 2A1;

2,5Rc = 0,25F2 – 1,5F1;

Rc = (0,25F2 – 1,5F1) / 2,5 = (0,25·150 – 1,5·100) / 2,5 = – 45 кН;

Rc = – 45 кН.
На расчетной схеме изменяем направление реакции Rc (рис. 4).
Рассуждая аналогично, найдем реакцию в верхней заделке Ra.
Уравнение совместности деформаций

(Ra + (F = 0;
(Ra = – RаL2 / EA2 – RaL1 / EA1;

(F = – F1L1 / 2EA1 + F2L2 / 2EA2 + F2L1 / EA1;

С учетом, что А2 = 2А1 и L1 = 2L2 имеем:

– RаL2 / E2A1 – Rа2L2 / EA1 – F12L2 / 2EA1 + F2L2 / 2E2A1 + F22L2 / EA1=0;

–Rа (1/2 + 2) = F1 – F2 / 4 – 2F2;

Rа = (2,25F2 – F1) / 2,5 = (2,25·150 – 100) / 2,5 = 95 кН;

Rа = 95 кН.
3. Проводим проверку правильности определения реакций. Составляем сумму проекций всех сил на ось У:
(F(у) = 0; – Rа + F2 – F1 + Rс = 0;

– 95 + 150 – 100 + 45 = 0;

– 195 + 195 = 0;
Реакции определены верно.
4. Разбиваем стержень на участки сечениями А-А, В-В. Д-Д, Е-Е и С-С (рис. 4). Имеем четыре участка.
5. Определяем продольные усилия на каждом участке стержня, используя метод сечений (рис. 6).
Участок I-I: (F(у) = 0;

N1 + Rс = 0;

N1 = – Rс = – 45 кН.
Участок II-II: (F(у) = 0;

N2 + Rс – F1 = 0;

N2 = F1 – Rс = 100 – 45 = 55 кН.
Участок III-III: (F(у) = 0;

N3 – F1 + Rс = 0;

N3 = F1 – Rс = 100 – 45 = 55 кН.
Участок IV-IV: (F(у) = 0;

–RА – N4 = 0;
N4 = – R 4= – 95 кН.
6. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис.7,а).


Рис. 6. Расчетные схемы к определению внутренних усилий по участкам стержня.

7. Определяем напряжения по участкам стержня:
(1 = N1 / А1= – 45 / 10 = – 4,5 кН/см2;

(2 = N2 / А1 = 55 / 10 = 5,5 кН/см2;

(3 = N3 / А2= 55 / 20 = 2,75 кН/см2;

(4 = N4 / А2= – 95 / 20 = – 4,75 кН/см2.
8. По значениям напряжений на участках стержня строим эпюру напряжений ( (рис. 7,б).
9. Определяем деформации отдельных участков стержня:

( = N / EA = ( / E;
(1 = (11 / 2E = – 4,5·100 / 2·104 = – 0,0225 см;

(2 = (21 / 2E = 5,5·100 / 2·104 = 0,0275 см;


Рис. 7. Построение эпюр продольных сил N, напряжений ( и перемещений S.

(3 = (32 / 2E = 2,75·50 / 2·104= 0,006875 см;

(4 = (42 / 2E = – 4,75·50 / 2·104= – 0,011875 см.
10. Вычисляем значения перемещений граничных сечений участков стержня, начиная расчет от нижней заделки:
(ЕЕ = (1 = – 0,0225 см;

(DD = (ЕЕ + (2 = – 0,0225 + 0,0275 = 0,005 см;

(BB = (DD + (3 = 0,005 + 0,006875 = 0,011875 см;

(AA = (ВВ + (4 = 0,011875 – 0,011875 = 0.
11. По значениям перемещений граничных участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 7,в).
Задача 3. Исходные данные: двухступенчатый стержень с зазором (рис. 8) нагревается под действием температуры (t = 60 0С; материал – сталь 3; ( = 0,3 мм; Е = 2·104 кН/см2; ( = 125·10-7; А1 = 10 см2; А2 = = 20 см2; L1 = 200 см; L2 = 100 см.


Рис. 8. Расчетная схема стержня к задаче 3.


Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что конструкция является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия температуры:

(t = (·(t·(L1 + L 2) = 125·10-7·60·
·(200 + 100) = 0,225 см.

Получили, что (t=2,25 мм ( (=0,3 мм.
Следовательно, при нагревании стержня зазор ( = 0,3 мм будет перекрываться, и система является один раз статически неопределимой (рис.9).
2. Поскольку (F(у) = 0; Rc – Rа = 0, то можем составить только одно уравнение статики с двумя неизвестными реакциями.
Определяем реакцию Rc (Rа = Rc), составляя дополнительное уравнение совместности деформаций:

(t + (Rc = (.
Запишем составляющие этого уравнения:

(t = 0,225 см;

( = 0,03 см;

(Rc = – RcL1 / ЕА1 – RcL2 / ЕА2;

0,225 – RcL1 / ЕА1 – RcL2 / ЕА2 = 0,03;

0,225 – 0,03 = Rс(L1 / EA1 + L2 / EA2);

Rc = 0,195Е / (L1 / A1 + L2 / A2) = 156 кН.

Rа = Rc = 156 кН.

Используем метод сечений для определения продольных усилий по участкам стержня. Они постоянны на всех участках: Ni = Rc = – 156 кН (рис. 10,а).



Рис. 9. Схема к анализу деформации системы.


4. Вычисляем напряжения по участкам стержня и по найденным значениям (i строим эпюру напряжений ( (рис. 10,б):

(1 = N / A1 = – 156 / 10 = – 15,6 кН/см2;

(2 = N / A2 = – 156 / 20 = – 7,8 кН/см2.

5. Определяем деформации отдельных участков стержня:

(1 = ((ТL1 – (1L1 / Е = 125·10-7·60·200–– 15,6·200 / 2·104 = – 0,006 см;

(2 = ((ТL2 – (2 L2 / Е = 125·10-7·60·
·100 – 7,8·100 / 2·104 = 0,036 см.
6. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:

(BB = (2 = 0,036 см;

(СС = (BB + (1 = 0,036 – 0,006 = 0,03 см.
По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений (рис. 10,в).
Задача 4. Исходные данные: двухступенчатый статически неопределимый стержень с зазором (рис. 11) находится под действием сосредоточенной и распределенной нагрузок; материал – сталь; зазор ( = 0,1 мм; Е = 2·104 кН/см2; А1 = 10 см2; А2 = 20 см2; L1 = 200 см; L2 = 100 см; F = 100 кН; q = 2 кН/см.
Решение. 1. Так как стержень с зазором, необходимо убедиться, что система является статически неопределимой. Для этого мысленно отбрасываем нижнюю заделку и определяем общее удлинение стержня от действия внешних сил F и q:

(F= (qL1L1 / 2) / EA1 + qL1L2 / EA2 – (FL2/2) / EA2 =

= (2(200·200 / 2) / 2(104(10 +2(200(100 / 2(104(20 – 100(50 / 2(104(20 =

= 0,2875 см.

а) б) в)
Рис. 10. Построение эпюр продольных сил N, напряжений ( и перемещений S.

Получили (F = 0,2875 см ( ( = = 0,1 см. Следовательно, при нагружении стержня зазор ( = 0,1 см будет перекрываться, и данная система будет статически неопределимой. Можем составить уравнение статики:

Рис. 11. Расчетная схема стержня
к задаче 4.



(F(у) = 0;

Rc+Rа + F – qL1 = 0.

Это уравнение статики с двумя неизвестными реакциями. Следовательно, получили один раз статически неопределимую систему. Определяем реакцию Rc, мысленно отбросив для этого заделку СС, и составляем дополнительное уравнение совместности деформаций:

(F + (Rс =(;

(F = 0,2875 см; ( = 0,1 см;

(Rc = – RcL1 / EA1 – RcL2 / EA2;

0,2875 – 0,1 = Rc(L1 / EA1 + L2 / EA2);

Rc = 0,1875(2(104 / (200 / 10 +100 / 20) = 150 кН.

Аналогично определяем реакцию Rа

(F + (Rа=(;

(F = (FL2 / 2) / EA2 + FL1 / EA1 – (qL1L1/2) / EA1;

(Rа = RаL2 / EA2 + RаL1 / EA1;

FL2 / 2EA2 + FL1 / EA1 – qL12 / 2EA1 + Rа(L2 / A2 + L1 / A1) / Е = (;

Rа = ((E + qL12 / 2A1 – FL2 / 2A2 – FL1 / A1 / (L1 / A1 + L2 / A2)=0,1(2(104 +

+ 2(2002 / 2(10 – 100(100 / 2(20 + 200 / 10) / (200 / 10 + 100 / 20) =150 кН.

Проводим проверку правильности определения реакций:

(F(у) = 0;

Rс + Rа + F – qL1 = 0;

150 + 150 + 100 – 2·200 = 0;

400 – 400 = 0.
Следовательно, реакции определены правильно.
2. Разбиваем стержень на участки с границами АА; ВВ; СС и ДД.
3. Используя метод сечений, определяем продольные усилия на каждом участке стержня (рис. 12).
Участок АД (0 ( Z1 ( 50 cм):
(F(у) = 0;

N1 = Rа = 150 кН.
Участок ДВ (0 ( Z2 ( 50 cм):
(F(у) = 0;

Rа + F – N2 = 0;

N2 = Rа + F = 150 + 100 = 250 кН.
Участок ВС (0 ( Z3 ( 200 cм):
(F(у) = 0;
N3+ Rc – qZ3=0;

N3= qZ3 – Rc;



Рис. 12. Расчетные схемы к определению внутренних усилий
по участкам стержня.

NZз = о = – Rc = – 150 кН;

NZз = 200 = 2 200 – 150 = 250 кН.

4. По найденным значениям продольных усилий строим эпюру силы N (рис. 13,а). Найдем значение Z3, при котором продольная сила N3 = 0:
N3 = qZ3 – Rc = 0;

Z3 = Rс / q = 150 / 2 = 75 cм.

5. Зная продольные усилия и площади поперечного сечения участков стержня, определяем напряжения на них:

(1 = N1 / A2 = 150 / 20 = 7,5 кН/см2 ;

(2 = N2 / A2 = 250 / 20 = 12,5 кН/см2 ;

(в3 = Nв3 / A1 = 250 / 10 = 25 кН/см2 ;

(с3 = Nс3 / A1 = – 150 / 10 = – 15 кН/см2 .
6. По значениям напряжений на участках строим эпюру напряжений ( (рис. 13,б).
7. Определяем деформации отдельных участков стержня:

(AD = (1L2 / 2Е = 7,5·50 / 2·104 = 0,01875 см;

(DB = (2L2 / 2Е = 12,5·50 / 2·104 = 0,03175 см.


а) б) в)
Рис. 13. Построение эпюр продольных сил N, напряжений ( и перемещений S.

В соответствии с эпюрой силы N , разбиваем участок СВ стержня на два участка – ВЕ, где происходит растяжение, и зона ЕС, где происходит деформация сжатия:

13 EMBED Equation.2 1415
13 EMBED Equation.2 1415

8. По значениям деформаций вычисляем перемещения граничных сечений участков стержня, начиная расчет от заделки без зазора:

SDD = (AD = 0,01875 см;

SBB = SDD + (DB = 0,01875 + 0,03125 = 0,05 см;

SЕЕ = SBB + (ВЕ = 0,05 + 0,078125 = 0,128125 см;

SCC = SЕЕ + (СЕ = 0,128125 – 0,028125 = 0,1 см.

9. По значениям перемещений граничных сечений участков стержня строим эпюру перемещений, учитывая, что на участке ВС с распределенной нагрузкой q по длине эпюра имеет криволинейный характер (рис. 13,в).


4. РАСЧЕТ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ПЭВМ

Все рассмотренные задачи для расчетно-графической работы по теме “Растяжение – сжатие” можно выполнить на ПЭВМ.
Расчеты выполняются в среде TURBOPASCAL по следующим программам:
Задача 1 – STERGEN 1 (STER1 PRN.PAS );
Задача 2 – STERGEN 2 (STER2 PRN.PAS );
Задача 3 – STERGEN 3 (STER3 PRN.PAS);
Задача 4 – STERGEN 4 (STER4 PRN.PAS).
Для выполнения задач на ПЭВМ необходимо вызвать требуемую программу, подготовить принтер к работе, запустить программу. Порядок ввода исходных данных выдается на дисплей (диалоговый режим работы). По ходу ввода исходных данных на принтере выдается распечатка с решением задачи. Необходимо проанализировать полученные результаты и построить эпюры продольных сил и напряжений, а также эпюру перемещений граничных сечений участков стержня.
Порядок нумерации граничных сечений при построении эпюры перемещений указан в распечатке каждой задачи.













5. РАСЧЕТНЫЕ СХЕМЫ СТЕРЖНЯ К ЗАДАЧАМ

13 EMBED PBrush 1415

Задача 1.
Статически определимый стержень
под действием сосредоточенных сил.
13 EMBED PBrush 1415

Задача 2.
Статически неопределимый стержень
под действием сосредоточенных сил.




13 EMBED PBrush 1415


Задача 3.
Статически неопределимый стержень
под действием температуры.
13 EMBED PBrush 1415


Задача 4.
Статически неопределимый стержень
под действием распределенной нагрузки.



6. ВАРИАНТЫ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ

Т а б л и ц а 1. Числовые значения размеров стержня к задачам расчетно-графической работы

Номер
строки
Длина участка, м
Площадь поперечного сечения, см2
Материал
стержня
Зазор
(, мм


l1
l2
l3
А1
А2
А3



0
0,5
1,0
0.4
4
6
7
Сталь
0,12

1
0,6
1,1
0,5
12
8
15
Чугун
0,10

2
0,7
1,2
0,6
7
10
16
Медь
0,13

3
0,8
1,3
0,7
5
13
11
Сталь
0,152

4
0.9
1,4
0,8
13
12
12
Медь
0,17

5
1,0
1,5
0,9
10
14
9
Чугун
0,18

6
1,1
1,6
1,0
8
15
13
Чугун
0,14

7
1,2
1,7
1,1
6
7
14
Сталь
0,16

8
1,3
1,8
1,2
9
9
10
Медь
0,19

9
1,4
1,9
1,3
11
11
8
Чугун
0,11

Шифр













Т а б л и ц а 2. Числовые значения силовых факторов к задачам расчетно-графической работы


Нагрузки


Номер
строки
сосредоточенные, кН
распределенные, кН / м
(t,


F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
q1
q2
q3
oC

0
55
-50
70
-165
170
-265
270
20
105
10
40

1
-60
45
-75
160
-175
260
-275
40
95
20
45

2
65
-40
80
-155
180
-255
280
60
85
30
50

3
-70
35
-85
150
-185
250
-285
80
75
40
55

4
75
-30
90
-145
190
-245
290
100
65
50
60

5
-80
25
-95
140
-195
240
-295
120
55
60
65

6
85
-20
100
-135
200
-235
300
140
45
70
70

7
-90
15
-105
130
-205
230
-305
160
35
80
75

8
95
-10
110
-125
210
-225
310
180
25
90
80

9
-100
5
-115
120
-215
220
-315
200
15
100
85

Шифр


















ЛИТЕРАТУРА

О с н о в н а я

1. Б е л я е в Н. М. Сопротивление материалов. Изд. 8. М.: Наука, 1976.
2. Ф е о д о с ь е в В. И. Сопротивление материалов. Изд.9. М.,1986.
3. П о д с к р е б к о М. Д. Сопротивление материалов. Мн.: Дизайн ПРО, 1998.

Д о п о л н и т е л ь н а я

1. Т а т у р Г. К. Общий курс сопротивления материалов. Мн.: Вышэйшая школа, 1974.
2. Д а р к о в А. В. Ш п и р о Г. С. Сопротивление материалов.М.1975 (и последующие издания).
3. П и с а р е н к о Г. С., А г а р е в В. А., К в и т к а А. Л. и др. Сопротивление материалов. Киев: Вища школа, 1979.
4. С т е п и н П. А. Сопротивление материалов. М.: Высшая школа, 1979.
5. Расчет одностержневой статически неопределимой системы. Методические указания. / Белорусская государственная сельскохозяйственная академия; Сост. Н. Т.
Х а й ч е н к о, Ф. Т. Н о в и к о в, С. А. Л е б е д ь. Горки, 1985. 24 с.



















































У ч е б н о - м е т о д и ч е с к о е и з д а н и е

Владимир Иосифович Желязко
Владимир Владимирович Дятлов
Людмила Ивановна Мельникова
Елена Михайловна Белявская

РАСЧЕТ СТУПЕНЧАТОГО СТЕРЖНЯ НА РАСТЯЖЕНИЕ И СЖАТИЕ

Методические указания по выполнению расчетно-графической работы

Редактор П. М. Лаходанов
Техн. редактор Н. К. Шапрунова
Корректор Е. А. Юрченко

Подписано в печать .20.06. 2002.
Формат 60 ( 84 1/16. Бумага для множительных аппаратов.
Печать ризографическая. Гарнитура "Таймс".
Усл. печ. л. 1,63. Уч.-изд. л. 1,80.
Тираж 150 экз. Заказ . Цена 2200 руб.

______________________________________________________________________

Редакционно-издательский отдел БГСХА
213410, г. Горки Могилевской обл., ул. Студенческая, 2
Отпечатано на ризографе лаборатории множительных аппаратов
БГСХА, г. Горки, ул. Мичурина, 5









13PAGE 15


13PAGE 143115





27

13PAGE 15


13PAGE 142415













































































































































































































Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeЎ: 15Times New Roman

Приложенные файлы

  • doc 7996615
    Размер файла: 598 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий