ВОШ-2017 МЭ Решения 5 6 7 8 15.11.17г

5 класс
1. Коробка и 100 лежащих в ней одинаковых алюминиевых шариков весят 510 г. Такая же коробка и 100 одинаковых пластмассовых шариков, лежащих в ней, весят 492 г. Сколько будет весить коробка и лежащие в ней 20 алюминиевых и 80 пластмассовых шариков?
2. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, по линиям сетки на две равные (равные фигуры можно совместить наложением)?
3. Миша сосчитал произведения 1(2, 2(3, 3(4, ... , 2017(2018. У скольких из них последняя цифра – нуль?
4. По кругу расположены 17 кнопок-лампочек. Вначале все лампочки горят. За одно нажатие на кнопку изменяют своё состояние(горит на не горит и наоборот) нажатая кнопка-лампочка и её соседи. Можно ли такими операциями погасить все кнопки-лампочки?
5. В кладовке Винни-Пух хранит 11 горшочков, в семи из которых находится варенье, а в четырёх – мёд. Все горшочки стоят в ряд, причем Винни помнит, что горшочки с мёдом стоят подряд. Какое наименьшее число горшочков должен проверить Винни-Пух, чтобы найти горшочек с мёдом?
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.



6 класс
1. Найти все натуральные числа такие, что если к ним прибавить их наименьший делитель, больший единицы, то получится 30.
2. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, по линиям сетки на две равные (равные фигуры можно совместить наложением)?
3. В круг встали восемь аборигенов –представителей трёх племён. Они говорят правду соплеменникам и лгут представителям других племён. Могло ли случится так, что каждый из них сказал соседу справа: " Мой сосед слева – из другого племени?"
4. Квадрат 10(10 разбит на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной диагонали?
5. Маша купила по три пирожка каждого из двух видов: с яблоками и с вишней. Пока она несла их домой , они перепутались. У Маши дома есть аппарат, в который можно положить несколько пирожков, и если среди них есть пирожки разных видов, то загорится зелёная лампочка. Как за четыре обращения к аппарату разделить все пирожки на две группы одного вида?
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.

7 класс
1. Старший брат заметил, что через 10 лет младшему брату будет столько лет, сколько ему сейчас, а его возраст будет в два раза больше, чем возраст младшего брата сейчас. Сколько лет младшему брату сейчас?

2. Можно ли разрезать фигуру , показанную на рисунке, по линиям сетки на четыре равные (равные фигуры можно совместить наложением)?

3. Некоторое число представили в виде суммы тысячи различных простых чисел больших пяти. Доказать, что его можно представить в виде суммы тысячи различных составных чисел.
4. Прямоугольник 10(20 разбит на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной диагонали?
5. В ряд лежит 99 внешне одинаковых монет. Десять из них более лёгкие (не обязательно одного веса) и лежат подряд. Как с помощью двухчашечных весов найти за два взвешивания лёгкую монету?
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.
8 класс
1. Можно ли число 2017 представить в виде суммы четырёх слагаемых, в десятичной записи каждого из которых используется только одна цифра, и в записи которых различное число цифр?
2. В круг встали семнадцать аборигенов – представителей нескольких племён. Они говорят правду соплеменникам и лгут представителям других племён. Могло ли случится так, что каждый из них сказал соседу справа: " Мой сосед слева – из другого племени"?
3. Даны три числа. Если каждое их все увеличить на 1, то их произведение тоже увеличится на 1. Если все исходные числа увеличить на 2, то их произведение тоже увеличится на 2. Найти эти числа.
4.. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC (AC=BC) точки D и F – середины отрезков AB и BC соответственно. На луче DC отметили точку E такую, что AF=FE. Найти углы треугольника AFE.
5. В турнире играют 15 волейбольных команд, каждая команда играет со всеми остальными командами только один раз. Поскольку в волейболе нет ничьих, в каждом матче есть победитель. Команда считается выступившей хорошо, если она проиграла не более двух матчей. Найти наибольшее возможное число команд, выступивших хорошо?
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.



Условия, решения и критерии проверки.
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.
5 класс
1. Коробка и 100 лежащих в ней одинаковых алюминиевых шариков весят 510 г. Такая же коробка и 100 одинаковых пластмассовых шариков, лежащих в ней, весят 490 г. Сколько будет весить коробка и лежащие в ней 20 алюминиевых и 80 пластмассовых шариков?
Решение. Способ 1.Возьмём 4 коробки с пластмассовыми шариками и одну с алюминиевыми. Их общий вес 4*490+510=2970 (г). Перераспределим шарики по коробкам так, чтобы в каждой было по 20 алюминиевых и 80 пластмассовых шариков. Тогда вес всех коробок одинаков, и вес одной коробки с шариками равен 2970:5=494(г).
Способ 2. (Для знакомых с десятичными дробями) Разделив вес каждой коробки с шариками на 100, получим вес одного шарика плюс 1/100 часть веса коробки: 5,1г и 4,9 г. Сложив вес 20-ти алюминиевых ( 20(5,1)и 80-ти пластмассовых ( 80(4,9) шариков, получим их вес вместе с коробкой, т.к. всего шариков 100: 102+ 392 = 494 (г).
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Приведено решение способом 2, в котором по умолчанию считается, что коробка невесомая (частный случай), и получен верный ответ. Нет обоснования, что все случаи, когда коробка имеет вес, сводятся к этому частному: 2 балла. (Если есть обоснование – это верное решение)
Приведён только верный ответ: 1 балл.

2. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, по линиям сетки на две равные (равные фигуры можно совместить наложением)?
Ответ: можно.
Решение. Способ разрезания на две равные фигуры показан на рисунке. Несложно убедиться, что эти фигуры можно совместить наложением.
Критерии. Любое верное разрезание, даже без пояснений: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов

3. Миша сосчитал произведения 1(2, 2(3, 3(4, ... , 2017(2018. У скольких из них последняя цифра – нуль?
Решение. Последняя цифра произведения зависит от последних цифр множителей. В последовательности натуральных чисел последние цифры повторяются через десяток. В каждом десятке в последовательности произведений на нуль оканчивается четыре произведения: ...4 ( ...5, ... 5 ( ...6, ...9 ( ...0, ...0 ( ...1. Полных десятков 201. И ещё в конце семь произведений, из которых два оканчиваются на нуль.
Значит, всего на нуль оканчивается 4(201+2=806 произведений.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
В решении потеряны два нуля из последнего неполного десятка: 4 балла.
Приведён только верный ответ: 1 балл.

4. По кругу расположены 17 кнопок-лампочек. Вначале все лампочки горят. За одно нажатие на кнопку изменяют своё состояние(горит на не горит и наоборот) нажатая кнопка-лампочка и её соседи. Можно ли такими операциями погасить все кнопки-лампочки?
Решение. После семнадцать нажатий по одному разу на каждую кнопку-лампочку они все изменят своё состояние три раза, и значит будут не гореть. Ответ: можно.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Указан правильный алгоритм нажатий, но не обосновано, почему он приводит к цели: 6 баллов.
Указано, что каждую кнопку достаточно нажимать не более одного раза, и порядок нажатий роли не играет: 1 балл.
5. В кладовке Винни-Пух хранит 11 горшочков, в семи из которых находится варенье, а в четырёх – мёд. Все горшочки стоят в ряд, причем, Винни помнит, что горшочки с мёдом стоят подряд. Какое наименьшее число горшочков должен проверить Винни-Пух, чтобы найти горшочек с мёдом?
Ответ: один.
Решение. Пронумеруем горшки числами от 1 до 11 в порядке их расположения в ряду. Ровно один из горшков с номерами 4 и 8 содержит мёд. Поэтому достаточно проверить один из них. Указать горшок с мёдом без проверок нельзя, так как в любом горшке может оказаться как мёд, так и варенье.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Указано, что проверять нужно 4-й(8-й) горшочек, но не сказано, что делать, если в нём варенье: 3 балла.
Приведён только верный ответ: 0 баллов

6 класс
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.

1. Найти все натуральные числа такие, что если к ним прибавить их наименьший делитель, больший единицы, то получится 30.
Ответ: 25; 27; 28.
Решение. Наименьший делитель, больший единицы – простое число. Если каждое из слагаемых делится на него, то и сумма делится. У числа 30 три простых множителя: 2, 3, 5. Возможные варианты искомых чисел : 30–2=28, 30–3=27, 30–5=25. Проверка показывает, что все эти числа подходят.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Правильный ответ без объяснения, почему не подходят другие числа: 3 балла.
Наличие каждого числа в ответе: 1 балл.
2. Можно ли разрезать фигуру, показанную на рисунке, по линиям сетки на две равные (равные фигуры можно совместить наложением)?
Ответ: можно.
Решение. Способ разрезания на две равные фигуры показан на рисунке. Несложно убедится, что эти фигуры можно совместить наложением.
Критерии. Любое верное разрезание, даже без пояснений: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.
3. В круг встали восемь аборигенов – представителей трёх племён. Они говорят правду соплеменникам и лгут представителям других племён. Могло ли случится так, что каждый из них сказал соседу справа: " Мой сосед слева – из другого племени"?
Ответ: могло.
Решение. Представителей племён обозначим числами: 1, 2, 3. Поставим их так: (1( 1 ( 2( 2(1( 1( 3( 3( (стрелка показывает кто кому говорит). Понятно, что соплеменнику каждый говорит правду, а представителю другого племени лжёт.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Верный пример без обоснования его правильности: 6 баллов.
Верный ответ: 0 баллов.
4. Квадрат 10(10 разбит на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной диагонали?
Ответ: 110.
Решение. На рисунке показан один из получаемых треугольников. Все такие треугольники – прямоугольные, причём вершиной прямого угла может быть узел решётки, кроме лежащих на диагонали. Всего узлов 11(11, а на диагонали находится 11 из них, значит треугольников 11(11–11=110.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Неверно учтены узлы на диагонали: 4 балла.
Верный ответ: 2 балла.
5. Маша купила по три пирожка каждого из двух видов: с яблоками и с вишней. Пока она несла их домой , они перепутались. У Маши дома есть аппарат, в который можно положить несколько пирожков, и если среди них есть пирожки разных видов, то загорится зелёная лампочка. Как за четыре обращения к аппарату разделить все пирожки на две группы одного вида?
Решение. Выберем один из пирожков. Этот пирожок сравниваем с четырьмя из остальных. По результатам сравнения в приборе отправляем пирожок в группу того же вида, что и выбранный или в другую. Шестой пирожок добавляем так, чтобы пирожков каждого вида стало по три.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Требуемое найдено за пять проверок: 2 балла.
7 класс
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.
1. Старший брат заметил, что через 10 лет младшему брату будет столько лет, сколько ему сейчас, а его возраст будет в два раза больше, чем возраст младшего брата сейчас. Сколько лет младшему брату сейчас?
Ответ: 20 лет.
Решение. Пусть возраст младшего брата сейчас - x лет, а старшего - y лет. Через 10 лет возраст младшего будет y лет, а старшего 2x лет. Так как возраст каждого изменился на 10 лет, имеем уравнения: y+10=2x, x+10=y. Сложив и упростив уравнения, получим x=20.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Верный ответ: 1 балл.
2. Можно ли разрезать фигуру , показанную на рисунке, по линиям сетки на четыре равные (равные фигуры можно совместить наложением)?
Ответ: можно.
Решение. Способ разрезания на четыре равные фигуры показан на рисунке. Несложно убедится, что эти фигуры можно совместить наложением.
Критерии. Любое верное разрезание, даже без пояснений: 7 баллов.
Приведён только верный ответ: 0 баллов.

3. Некоторое число представили в виде суммы тысячи различных простых чисел больших пяти. Доказать, что его можно представить в виде суммы тысячи различных составных чисел.
Решение. Все простые, большие пяти - нечётны. Пятьсот наименьших уменьшим на единицу, а пятьсот наибольших увеличим на единицу. Все числа станут чётными и большими 4, то есть составными. Сумма не изменилась, и все числа по-прежнему будут различными.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
4. Прямоугольник 10(20 разбит на единичные квадратики. Сколько всего треугольников образуется после проведения одной диагонали?

Ответ: 220.
Решение. На рисунке показан один из получаемых треугольников. Все такие треугольники – прямоугольные, причём, вершиной прямого угла может быть узел решётки, кроме лежащих на диагонали. Всего узлов 21*11, а на диагонали находится 11 из них, значит, треугольников 21*11–11=220.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Неверно учтены узлы на диагонали: 4 балла.
Верный ответ: 2 балла.
5. В ряд лежит 99 внешне одинаковых монет. Десять из них – более лёгкие (не обязательно одного веса) и лежат подряд. Остальные 89 весят одинаково. Как с помощью двухчашечных весов найти за два взвешивания лёгкую монету?
Решение. Занумеруем монеты числами от 1 до 99 в порядке следования в ряду. Рассмотрим монеты с номерами, кратными десяти. Их ровно 9. И только одна из них лёгкая. Её можно найти из этих девяти за два взвешивания. Первое: сравниваем две их тройки между собой. Если они равны, то лёгкая - среди трёх оставшихся, иначе она лежит на более лёгкой части. Сравнив две монеты из лёгкой тройки, найдём лёгкую, если нет равновесия, и лёгкая – третья, если равновесие.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Задача сведена к задаче нахождения одной лёгкой среди 9 монет: 3 балла.
Сделано первое взвешивание, которое можно довести до верного решения: 2 балла.
8 класс
Составитель всех задач Женодаров Р.Г.
1. Можно ли число 2017 представить в виде суммы четырёх слагаемых, в десятичной записи каждого из которых используется только одна цифра, и в записи которых различное число цифр?
Решение. Искомое представление: 2017=1111+888+11+7.
Критерии. Любое верное представление: 7 баллов.
2. В круг встали семнадцать аборигенов – представителей нескольких племён. Они говорят правду соплеменникам и лгут представителям других племён. Могло ли случится так, что каждый из них сказал соседу справа: " Мой сосед слева - из другого племени"?
Ответ: не могло.
Решение. У каждого аборигена ровно один из его соседей – его соплеменник. Если оба соседа – соплеменники, он должен говорить правду, а он лжёт. Если оба соседа из других племён, он должен лгать, а он говорит правду. Значит, все аборигены должны разбиваться на пары соседей соплеменников. Но для 17 аборигенов это невозможно, поскольку 17 - нечётное число.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
3. Даны три числа. Если каждое из них увеличить на 1, то их произведение тоже увеличится на 1. Если все исходные числа увеличить на 2, то их произведение тоже увеличится на 2. Найти эти числа.
Ответ: –1, –1, –1.
Решение.
Пусть искомые числа а, b, с. Тогда (a+1)(b+1)(c+1)=abc+1 (1) и (a+2)(b+2)(c+2)=abc+2 (2). После раскрытия скобок и упрощений получим a+b+c+ab+ac+bc=0 (3) и 4(a+b+c)+2(ab+bc+ac)+6=0 (4). Значит, a+b+c=–3 (5), ab+bc+ac=3 (6). Возведя (5) в квадрат и учитывая (6), получим a2+b2+c2=3 (7). Из (6) и (7) следует a2+b2+c2 = ab+bc+ac (8). Это равносильно следующему равенству (a–b)2+(b–c)2+(c–a)2=0 (9). Отсюда имеем, что a=b=c.
Учитывая (5), получаем a=b=c= –1.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Получено равенство (8), но не заменено (9): 3 балла.
Получено равенство (5) или (6): 2 балла.
Записаны равенства (1) и (2): 1 балл.
Только ответ: 0 баллов.
4. В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC (AC=BC) точки D и F – середины отрезков AB и BC соответственно. На луче DC отметили точку E такую, что AF=FE. Найти углы треугольника AFE.
Ответ: 45(, 45(, 90(.
Решение. Треугольник CDB – прямоугольный равнобедренный. (СD – медиана и высота прямоугольного равнобедренного треугольника ACB и, значит, CD=DB). Опустим перпендикуляры из F на CD и DB. Их основаниями служат середины отрезков CD и DB (обозначим их M и N соответственно. DMFN – квадрат. Треугольники ANF и EMF равны по гипотенузе и катету. Значит (AFN=(EFM. Далее (AFE=(EFM+(MFA =(AFN+(MFA=90(. Треугольник AFE – прямоугольный и равнобедренный, его углы: 90(, 45(, 45(.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Только ответ: 0 баллов.
5. В турнире играют 15 волейбольных команд, каждая команда играет со всеми остальными командами только один раз. Поскольку в волейболе нет ничьих, в каждом матче есть победитель. Команда считается выступившей хорошо, если она проиграла не более двух матчей. Найти наибольшее возможное число команд, выступивших хорошо.
Ответ: 5.
Решение.
Оценка. Если команд, сыгравших хорошо, не менее 6, то рассмотрим шесть из них. Они могли проиграть не более 6(2=12 матчей. Но игр между собой они совершили 6(5/2=15. И, значит, суммарно проиграли не менее 15 матчей. Противоречие.
Пример. Поставим капитанов 5 команд по кругу лицом к центру. Пусть каждая команда проиграла двум командам, капитаны которых справа от их капитана по кругу, а у двух команд, капитаны которых слева – выиграла, и ещё выиграла у остальных 10 команд. Игры 10 команд между собой могут закончиться как угодно. Пять команд, капитаны которых стоят в круге, выступили хорошо. Остальные проиграли не менее пяти матчей.
Критерии. Любое верное решение: 7 баллов.
Сделана оценка, что 6 и более команд хорошими быть не могут: 4 балла.
Приведён пример для 5 хороших команд: 2 балла.
Только ответ: 0 баллов.

Критерии проверки:


Рисунок 815

Приложенные файлы

  • doc 1413073
    Размер файла: 593 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий