Гл. 1. Высказывание

Глава 1. Логика высказываний
1. Высказывание и логическая формула
Во Введении мы определили логику как науку о рассуждениях, позволяющих получать истинные знания о мире. Любое рассуждение выступает как совокупность предложений. Поэтому логика начинает с анализа предложений, но не всяких, а таких, которые могут быть определены как истинные или ложные.
Известно, что предложения бывают вопросительные, побудительные, риторические и повествовательные. Например:
Будет ли завтра хорошая погода? – вопросит. предложение.
Закройте, пожалуйста, дверь! – побудит. предложение.
Придет ли час моей свободы? (Пушкин) – риторич. вопрос.
Волга впадает в Каспийское море. – повеств. предложение.
Из этих четырех предложений лишь последнее, повествовательное, имеет смысл проверять на соответствие с действительностью и, следовательно, оценивать как истинное или ложное. Итак, логику интересуют, прежде всего, повествовательные предложения. Приведем ряд таких предложений.
1. Если мы перемножим 2 и 3, то получим 25.
2. Москва – столица России.
3. В городе Витебске 7 января 1994 года была метель.
4. Сумма внутренних углов треугольника равна 90°.
5. Волга впадает в Балтийское море.
6. Трус не играет в хоккей.
7. Счастливые часов не наблюдают.
8. Если соединить два куска урана-235, составляющих вместе больше одного килограмма, то начнется цепная реакция и произойдет атомный взрыв.
9. Это животное является позвоночным.
Присматриваясь к предложениям, мы обнаруживаем, что одни из них являются истинными. Это предложения 6, 7, 8. Другие являются ложными. Это предложения 1, 4, 5. Предложение 3 – о метели в городе Витебске – можно проверить, выяснив, как в действительности обстояло дело, поэтому в принципе ясно, что и оно либо истинно, либо ложно.
Но в нашем списке имеется предложение 2, о котором, если быть точным, нельзя сказать ( истинное оно или ложное. Дело в том, что неясно, о какой России идет речь: периода Ивана Грозного, когда столицей России была действительно Москва, или России XVII-XIX веков, когда столицей стал Петербург, или современной России, столицей которой является снова Москва. Так же обстоит дело с предложением 9, о котором тоже нельзя сказать – истинное оно или ложное. Потому что не ясно, о каком животном идет речь. Ведь каждое животное – «это животное».
Поэтому необходимо уточнить, что логика изучает не любые повествовательные предложения, но те, содержание которых однозначно определено. Однако, как правило, содержание основной массы повествовательных предложений бывает достаточно ясным из контекста. Например, если в тексте шла речь об определенном животном, а потом утверждается, что это животное ( позвоночное, то ясно, что данное предложение либо истинно, либо ложно.
Итак, мы выяснили, что логика выделяет, прежде всего, повествовательные предложения с определенным содержанием. Уточним теперь, что не сами эти предложения интересуют логику, иначе она немногим отличалась бы от языкознания. Логике важны мысли, которые высказываются в предложениях. И вот эти мысли могут быть истинными либо ложными. Поэтому необходимо различать предложение и стоящую за ним истинную или ложную мысль.
Это несовпадение предложения и выражаемой им мысли обнаруживается в том факте, что одну и ту же мысль можно выразить различными предложениями, и наоборот, различные мысли ( одним и тем же предложением. Сравним следующие предложения:
Роман «Война и мир» написал граф Лев Толстой.
Роман «Война и мир» написал автор романа «Воскресенье».
Мы видим, что достаточно близкие мысли сообщаются разными предложениями, что было бы невозможно, если бы предложение и выражаемая им мысль совершенно совпадали. Теперь прочитаем вслух два одинаковые предложения, делая ударение на подчеркнутых словах.
Завтра будет солнечный день.
Завтра будет солнечный день.
Мы видим, что теперь уже два одинаковых предложения в зависимости от того, на какое слово падает смысловое ударение, выражают различные мысли. В первом предложении говорится о времени, когда будет солнечный день, во втором – о том, каким будет день завтра.
Поэтому необходимо различать предложение и мысль, которая в нем содержится. Чтобы подчеркнуть, что в логике речь идет не просто о предложениях, но о мыслях, передаваемых через предложения, – а это и есть человеческое рассуждение, – мы будем говорить не о предложениях, а о высказываниях или суждениях. Причем по сложившейся в литературе традиции в главах «Логика высказываний», «Логика предикатов», «Неклассические логики» будем употреблять слово «высказывание», в других главах – слово «суждение».
Итак, дадим определение высказывания, которое, впрочем, почти совпадет с тем определением, которое мы привели во Введении.
Высказывание – это повествовательное предложение, выражающее истинную или ложную мысль.
Высказывания бывают сложные и простые. Сложные высказывания состоят из простых высказываний. Например, высказывание «Если человек выздоравливает, то его температура нормализуется» является сложным, так как состоит из двух простых высказываний: «Человек выздоравливает», «Его температура нормализуется».
Перейдем к понятию «логическая формула». В качестве отправного пункта мы возьмем следующее рассуждение:
Если завтра будет солнце и не будет дождя, то мы отправимся на природу или поиграем в волейбол.
Это рассуждение является сложным высказыванием, состоящим из четырех простых высказываний, каждое из которых может быть истинным либо ложным. Выпишем простые высказывания отдельно в полном виде и обозначим их строчными латинскими буквами.
Завтра будет солнце – а.
Завтра будет дождь – b.
Мы отправимся на природу – c.
Мы поиграем в волейбол – d.
Перепишем высказывание, используя введенные обозначения.
Если a и не-b, то c или d.
Обозначим союзы и отрицание особыми символами и дадим им названия:
союз «если ..., то ...» обозначим стрелкой ( , назовем импликацией;
союз «и» обозначим точкой ( , назовем конъюнкцией;
союз «или» обозначим уголком, направленным вниз, (, назовем дизъюнкцией;
частицу «не» обозначим знаком ( перед соответствующим высказыванием, например, (a, назовем отрицанием. В развернутой форме отрицание записывается «неверно, что». Например: «Неверно, что завтра будет дождь».
Теперь еще раз перепишем высказывание о планах на завтра, используя все обозначения:
a((b(c(d.
Чтобы уточнить, что импликация относится ко всему выражению «c(d», заключим его в скобки.
a((b((c(d).
Итак, мы получили символическую, или знаковую, запись высказывания. Эта запись и является его логической формулой. Дадим определение логической формулы.
Логическая формула есть символическая запись высказывания, отражающая связь между высказываниями, из которых оно состоит.
В предельном случае, когда мы имеем дело с одним простым высказыванием, логическая формула будет состоять всего из одной буквы, например, a, или b, или c и т.д.
В литературе простые высказывания иногда называют логическими атомами, а сложные высказывания, которые записываются в виде составных формул,
· логическими молекулами.
В логической формуле можно выделить два вида символов. Во-первых, символы, обозначающие простые высказывания: а, b, с, d, .... Они называются логическими переменными, так как могут иметь различные значения, а именно ( истина или ложь. Во-вторых, символы (, (, (, ( ... Они называются логическими постоянными (константами), так как имеют строго фиксированное значение: ими обозначаются логические операции, которые иногда называют также логическими связками или логическими союзами.
Формулы сложных высказываний могут входить в качестве частей в еще более сложные формулы. Для обозначения таких формул-частей используют заглавные латинские буквы А, В, С, D, ...
Например, в формулу высказывания о планах на завтра входят в качестве частей формулы a((b и c(d. Обозначим их буквами A и B. В таком случае формулу a((b((c(d) можно переписать в виде A(B.
Теперь, используя известные нам обозначения, будем определять в качестве упражнений логические формулы сложных высказываний.
Если вода нагревается, то она испаряется.
Перед нами сложное высказывание, состоящее из двух простых высказываний. Обозначим высказывание «Вода нагревается» буквой а, высказывание «Она испаряется» буквой b. Оба высказывания связаны между собой импликацией. Формула сложного высказывания: а(b. Читается: a имплицирует b.
Другой пример:
Если мы этим летом поедем на юг, то будем много загорать и много купаться.
Это сложное высказывание, оно состоит из трех простых высказываний: «Мы этим летом поедем на юг», «Будем много загорать», «Будем много купаться». Обозначим их соответственно как а, b и c. Они соединяются двумя операциями
· импликацией и конъюнкцией. Формула сложного высказывания: a(b(c. Читается: a имплицирует b конъюнкция c.
Обратим внимание на то, что конъюнкция b(c не заключена в скобки. Считается, что эта операция выполняется в первую очередь, подобно тому, как в алгебре сначала выполняют умножение.
Неверно, что если на Марсе была разумная цивилизация, то на нем отсутствуют искусственные сооружения.
Это сложное высказывание состоит из двух простых высказываний, они соединяются импликацией. Обратим внимание на то, что отрицание «неверно, что» стоит перед всем сложным высказыванием и что слово «отсутствуют» можно истолковать как «неверно, что имеются в наличии», т.е. как еще одно отрицание, но касающееся второго простого высказывания. Тогда формула будет следующая: ((а((b). Читается: неверно, что a имплицирует неверно, что b.
Дитя не плачет, мать не разумеет.
Хотя два простых высказывания связаны запятой, все сложное высказывание можно истолковать как импликацию, получаем: «Если дитя не плачет, то мать не разумеет». Обозначим простые высказывания «Дитя плачет» и «Мать разумеет» как а и b. К каждому из этих простых высказываний применена операция отрицания. Итак, имеем импликацию и два отрицания. Формула: (а((b. Читается: неверно, что a имплицирует неверно, что b.
Можно обратить внимание, что формулы ((а((b) и (а((b различны, а на слух произносятся одинаково. Чтобы все же подчеркнуть различие, вторую формулу можно прочитать иначе: отрицание a имплицирует отрицание b. Но ясно, что обязательна письменная запись формул с использованием скобок.
Она опоздает в театр, если не поспешит и не перестанет крутиться перед зеркалом.
Это сложное высказывание строится на импликации, но та ее часть, которая начинается с выражения «если», стоит на втором месте, а должна стоять на первом. Перепишем все выражение в стандартном виде: «Если она не поспешит и не перестанет крутиться перед зеркалом, то опоздает в театр». Кроме импликации в высказывании присутствуют конъюнкция и два отрицания. Формула: (b((c(a. Читается: конъюнкция отрицания b и отрицания c имплицирует a.
Каждый человек стремится к счастью, и неверно, что это неверно.
Перед нами сложное высказывание, состоящее из двух простых высказываний. Обозначим высказывание «Каждый человек стремится к счастью» как а. В выражении «Неверно, что это неверно» присутствует два отрицания, которые относятся к слову «это». Но «это» можно расшифровать как замену высказывания «Каждый человек стремится к счастью», которое уже обозначено буквой а. Итак, имеем конъюнкцию а и его двойного отрицания: а(( ( а. Читается: a конъюнкция неверно, что неверно, что a.
Теперь будем сразу переходить от сложного высказывания к формуле.
В отпуск Петров поедет на юг, и если не будет штормить, он каждый день будет купаться в море: а(((b(с).
Лес редел, но грибы продолжали встречаться на каждом шагу: а(b.
Это число делится без остатка на 3 или не является четным: а((b.
Задание 1. Запишите высказывания в виде формул.
Этот треугольник или равнобедренный, или прямоугольный.
Мал золотник, да дорог.
Если я решу уравнение 3х – 4 = 24 – x, то узнаю величину х.
Тише едешь, дальше будешь.
Неверно, что если число делится без остатка на 5 или на 3, то оно обязательно нечетное.
Не в свои сани – не садись.
Не все золото, что блестит.
Придумайте несколько сложных высказываний с импликацией, конъюнкцией, дизъюнкцией и отрицанием, и дайте логические формулы этих высказываний.
2. Определение логических операций с использованием
таблиц истинности
Итак, мы можем записывать высказывания в виде формул, состоящих из логических переменных и логических констант (операций).
Также мы определили высказывание как повествовательное предложение, выражающее истинную или ложную мысль. Ясно, что это определение относится к простым высказываниям. Но относится ли это определение к сложным высказываниям? Сложное высказывание есть тоже высказывание, поэтому и оно должно выражать истинную или ложную мысль. Или выразимся иначе – должно иметь истинностное значение: либо истина, либо ложь.
Но каким образом можно определить истинностное значение сложного высказывания? Проведем аналогию с алгеброй.
Рассмотрим выражение x+y. От чего зависит числовое значение этого выражения? Оно зависит, во-первых, от конкретных числовых значений переменных x и y; во-вторых – от характера применяемой алгебраической операции. В данном случае речь идет об операции сложения. Допустим, что x равно 2, а y равно 6. Тогда их сложение даст число 8. Но допустим, что мы заменили сложение умножением, т.е. перешли к выражению x(y. Тогда при тех же числовых значениях x и y числовое значение выражения в целом тоже изменится. Действительно, 2(6 = 12. Итак, числовое значение алгебраического выражения зависит от значений переменных и от характера тех операций, которые к этим переменным применяются.
Вернемся к высказываниям. Здесь у нас имеются переменные а, b, c..., способные принимать различные истинностные значения: истина и ложь. И имеются логические операции – отрицание, конъюнкция, импликация и др. Ясно, что и сложное высказывание должно принимать то или другое истинностное значение – истина или ложь – в зависимости от истинностных значений входящих в него простых высказываний и от характера логических операций, которые эти высказывания связывают между собой.
Поэтому нам предстоит теперь определить каждую логическую операцию таким образом, чтобы иметь возможность получать истинностные значения сложных высказываний. Но сначала необходимо показать, в чем состоит отличие операций логики высказываний «если..., то...», «и», «или» и др. от соответствующих грамматических союзов. На этом отличии мы до сих пор не акцентировали внимание. Сравним два предложения.
Сумрак стал гуще, и звезды сияли выше. (Бунин)
Дни поздней осени бранят обыкновенно,
Но мне она мила, читатель дорогой. (Пушкин)
В этих предложениях используются союзы “и” и “но”, которые несут различную смысловую нагрузку. Поэтому союз “и” относят к соединительным, а союз “но” к противительным союзам. Итак, грамматические союзы фиксируют определенную смысловую связь между предложениями.
Операции логики высказываний эту смысловую связь не учитывают. Простое высказывание рассматривается как неделимая единица, т.е. именно как логический атом. Поэтому оно и обозначается целиком буквами а, b, с, ... Важно то, что они, во-первых, вообще отличаются друг от друга, и, во-вторых, либо истинны, либо ложны. Внутреннее строение простого высказывания мы начнем рассматривать и учитывать в других разделах логики.
Поэтому с точки зрения логики высказываний в приведенных выше примерах существенно лишь то, что в обоих случаях речь идет о конъюнкции высказываний. В силу этого оба сложных высказывания – одно с союзом “и”, другое с “но” – выражаются одинаковой логической формулой a(b.
Но в таком случае круг выражений, которые могут рассматриваться в логике высказываний, значительно расширяется, он включает также такие, которые для естественного языка кажутся бессмысленными. Так, в естественном языке выражение «В огороде – бузина, а в Киеве – дядька» является примером бессмысленности. В логике высказываний важно одно – являются ли истинными оба высказывания (например, действительно ли в огороде, о котором идет речь, растет бузина, и действительно ли дядька живет в Киеве), или истинным является лишь одно из них, или же ложны оба предложения. И тогда конъюнкция этих предложений в первом случае даст истинное сложное высказывание, в обоих других случаях сложные высказывания будут ложными. – Почему именно так, станет понятным, когда мы перейдем к специальному изложению особенностей операции «конъюнкция».
Итак, вопрос о содержательной смысловой связи в логике высказываний не является существенным. Чтобы подчеркнуть отличие логических операций от грамматических союзов, рассмотрим еще примеры.
В каждом треугольнике сумма углов равна 180°, и Волга впадает в Каспийское море.
В каждом треугольнике сумма углов равна 180°, и Волга впадает в Балтийское море.
Здесь неважно, что между треугольниками и рекой Волгой не существует смысловой связи, важно лишь – истинны или ложны каждое из составляющих данных сложных высказываний.
Сказанное о конъюнкции – учет лишь истинностных значений, относится и к другим операциям логики высказываний.
Перейдем к определениям логических операций по отдельности. Начнем с отрицания.
Отрицание
Символически отрицание записывается как (А, где А ( сложное или простое высказывание, а символ ( означает операцию отрицания. Читается: «Неверно, что A». Если отрицается сложное высказывание, то знак ( ставится перед всем сложным высказыванием, которое заключается в скобку. Например: ((A(B).
Дадим определение операции отрицание.
Отрицание ( логическая операция, превращающая истинное высказывание в ложное, а ложное высказывание в истинное.
Пример: Волга впадает в Балтийское море. Высказывание ложное, поэтому его отрицание дает истинное высказывание: Неверно, что Волга впадает в Балтийское море.
Другое высказывание: 2 меньше 5. Высказывание истинное. Поэтому его отрицание порождает ложное высказывание: Неверно, что 2 меньше 5.
Операцию отрицания можно определить через так называемую таблицу истинности. Введем два дополнительных символа. Истинность высказывания будем обозначать единицей – 1, ложность высказывания будем обозначать нулем – 0.

Таблица истинности
для отрицания



A

(A

( (A

1
0
1

0
1
0



Первая строчка таблицы показывает, что если исходное высказывание A истинно, то его отрицание (А ложно. Вторая строчка показывает, если исходное высказывание является ложным, то его отрицание будет истинным высказыванием. На основании данной таблицы можно также вывести логическое тождество или равенство высказывания А и его двойного отрицания ( (А (неверно, что неверно, что А). Это тождество можно записать так: ( (А ( А. Здесь символ ( означает логическое тождество, или равенство. Можно сформулировать правило двойного отрицания:
Двойное отрицание высказывания тождественно исходному высказыванию.
Примеры:
1. Молекула озона состоит из 3-х атомов кислорода.
Высказывание истинно, поэтому его отрицание дает ложное высказывание: Неверно, что молекула озона состоит из 3-х атомов кислорода. Но двойное отрицание исходного высказывания дает снова истинное высказывание: Неверно, что неверно, что молекула озона состоит из 3-х атомов кислорода.
2. Полуостров Таймыр – родина апельсинов.
Высказывание ложно, его отрицание дает истинное высказывание: Неверно, что полуостров Таймыр – родина апельсинов. Двойное отрицание исходного высказывания порождает снова ложное высказывание: Неверно, что неверно, что полуостров Таймыр – родина апельсинов.
Задание 1. Проведите отрицание и двойное отрицание нижеследующих высказываний и определите истинностное значение полученных высказываний на основании истинностных значений исходных высказываний.
Марс является планетой Солнечной системы.
По понедельникам на Гавайских островах выпадает снег.
Неверно, что Марс является планетой Солнечной системы.
Задание 3. Постройте таблицу истинности для тройного отрицания, сформулируйте закон тройного отрицания, и запишите его в виде логического тождества.
Конъюнкция
Сложное высказывание, образованное при помощи конъюнкции, называется конъюнктивным, или соединительным, высказыванием.
Символическая запись такого высказывания: А(В(С(..., где А, В, С – сложные или простые высказывания, точка ( означает операцию конъюнкции. Могут использоваться также символы (, (, & или символ вообще может отсутствовать. Примеры записи: A(B(C, или А(В(С, или А&В&С, или АВС. Читается: А конъюнкция В конъюнкция С.
В простейшем случае конъюнкция объединяет всего два высказывания: А(В.
В русском языке операции конъюнкции соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “да”, “однако”, “зато”, “хотя”, “не смотря на”, “не только..., но и...”, просто запятая, точка с запятой. Конъюнктивным высказыванием может быть совокупность предложений, разделенных точками. Примеры:
Корень учения горек, зато плоды его сладки. (Посл.)
Мал золотник, да дорог. (Посл.)
Встает заря во мгле холодной;
На ниве шум работ умолк. (Пушкин)
Стада шумят, и соловей
Уж пел в безмолвии ночей. (Пушкин)
Был вечер. Небо меркло. Воды
Струились тихо. Жук жужжал.
Уж расходились хороводы. (Пушкин)


Таблица истинности
для конъюнкции



A
B
A(B
B(A

1
1
1
1

1
0
0
0

0
1
0
0

0
0
0
0



Таблица показывает, что высказывание А(В является истинным лишь в том случае, когда истинно высказывание А и истинно высказывание В. Во всех остальных случаях высказывание А(В является ложным. Дадим определение операции конъюнкции.
Конъюнкция – логическая операция, объединяющая высказывания в такое новое высказывание, которое является истинным, если каждое из составляющих его высказываний истинно, во всех остальных случаях новое высказывание ложно.
Рассмотрим примеры конъюнкций независимых по смыслу высказываний.
Сумма углов треугольника равна 180°, и Волга впадает в Балтийское море.
Сумма углов треугольника равна 180°, и Волга впадает в Каспийское море.
Сумма углов треугольника равна 90°, и Волга впадает в Каспийское море.
Сумма углов треугольника равна 90°, и Волга впадает в Балтийское море.
Согласно определению конъюнкции лишь второе конъюнктивное высказывание является истинным, остальные три ( ложные.
При помощи таблицы истинности можно вывести правило коммутативности конъюнкции: при перестановке членов конъюнктивного высказывания его истинностное значение не меняется.
Правило коммутативности позволяет отличать предложения, которые тоже могут быть соединены союзом “и”, запятой и т.д., но не образуют конъюнктивного высказывания. Рассмотрим пример:
Анисья тотчас к ней явилась.
И дверь пред ними отворилась.
И Таня входит в дом пустой. (Пушкин)
Здесь мы не можем переставлять местами отдельные предложения, так как налицо последовательность во времени. Следовательно, это не конъюнктивное высказывание.
Задание 4. Определите, какие фрагменты из “Евгения Онегина” Пушкина можно охарактеризовать как конъюнктивные высказывания.
Нигде, ни в чем ей нет отрад...
И облегченья не находит
Она подавленным слезам,
И сердце рвется пополам.
И входит на пустынный двор.
К ней, лая, кинулись собаки.
На крик испуганный ея
Ребят дворовая семья
Сбежалась шумно.
И в одиночестве жестоком
Сильнее страсть ее горит,
И об Онегине далеком
Ей сердце громче говорит.
Татьяна в лес; медведь за нею;
Снег рыхлый по колено ей.
Упала в снег; медведь проворно
Ее хватает и несет;
Она бесчувственно-покорна,
Не шевельнется, не дохнет.
Задание 5. Определите истинностные значения конъюнктивных высказываний.
7 является четным числом, и Волга впадает в Балтийское море, однако, произведение чисел 8 и 5 равно 70.
Понедельник – первый день недели, а январь – первый месяц в году, но в феврале один раз в 4 года бывает 31 день.
Дизъюнкция
В логике высказываний различают два вида дизъюнкции: слабую (нестрогую) дизъюнкцию, которую часто называют просто дизъюнкцией, и мы ее также будем называть; и сильную (строгую) дизъюнкцию. Рассмотрим сначала один вид, затем другой.
Высказывание, полученное при помощи слабой (нестрогой) дизъюнкции, называется соединительно-разделительным, часто просто дизъюнктивным высказыванием.
Символическая запись дизъюнктивного высказывания A(В(С(..., где А, В, С – сложные или простые высказывания, символ ( означает операцию дизъюнкции. Может также использоваться символ (. Например, А(В(С. Читается: А дизъюнкция B дизъюнкция С. В простейшем случае могут объединяться два высказывания: А(В. Члены дизъюнктивного высказывания называются альтернативами.
В русском языке слабой дизъюнкции соответствуют союзы “или”, “либо”. Пример дизъюнктивного высказывания:
В отпуск я уеду на море или проведу какое-то время на даче.


Таблица истинности
для слабой дизъюнкции

A
B
A(B
B(A

1
1
1
1

1
0
1
1

0
1
1
1

0
0
0
0



Таблица показывает, что высказывание A(B является ложным, лишь когда ложны обе альтернативы A и B – четвертая строка. Во всех остальных случаях дизъюнктивное высказывание A(B является истинным. Из таблицы видно, что дизъюнктивное высказывание коммутативно.
Определение слабой дизъюнкции.
Слабая дизъюнкция – логическая операция, объединяющая высказывания в такое новое высказывание, которое является ложным, если каждое из составляющих его высказываний ложно, во всех остальных случаях новое высказывание истинно.
Вернемся к дизъюнктивному высказыванию «В отпуск я уеду на море или проведу какое-то время на даче». Это высказывание окажется ложным, если не состоятся ни поездка на море, ни отдых на даче. Но высказывание будет истинным, если будет осуществлено что-то одно либо и то, и другое.
Этот треугольник либо равносторонний, либо равнобедренный.
Если треугольник, о котором идет речь, – равносторонний, то он и равнобедренный, но возможно, что он только равнобедренный. В обоих случаях высказывание будет истинным. Ложным оно будет только при условии, что треугольник окажется на самом деле неравнобедренным, а значит и неравносторонним.
Высказывание, полученное при помощи сильной (строгой) дизъюнкции, называется исключающе-разделительным.
Символическая запись сильной дизъюнкции: A(B(C( , где А, В, С – сложные или простые высказывания, символ ( означает операцию строгой дизъюнкции.
В русском языке строгой дизъюнкции соответствуют те же союзы, что и слабой дизъюнкции, т.е. “или“, “либо”. Используются также удвоенные союзы “или..., или”, “либо..., либо”. Пример исключающе-разделительного высказывания:
Это натуральное число является четным либо является нечетным.
Чтобы определить вид дизъюнкции, можно поставить перед всем высказыванием выражение «Одно из двух (трех, четырех). Если высказывание сохранит смысл, значит, имеем дело с сильной дизъюнкцией.
Так, вполне можно сказать: «Одно из двух: это натуральное число является четным либо является нечетным». Но получится бессмыслица, если мы скажем «Одно из двух, это натуральное число четное, либо делится на 3 без остатка», потому что вполне возможно, что данное число, обладает как тем, так и другим свойством; таково, например, число 6.


Таблица истинности
для сильной дизъюнкции

A
B
A(B
B(A

1
1
0
0

1
0
1
1

0
1
1
1

0
0
0
0



Таблица показывает, что высказывание A(B является истинным, когда одна, и лишь одна, из альтернатив является истинной ( строчки 2, 3. Во всех остальных случаях высказывание A(B является ложным. Сильная дизъюнкция коммутативна.
Определение сильной дизъюнкции.
Сильная дизъюнкция – логическая операция, объединяющая высказывания в такое новое высказывание, которое является истинным, если лишь одно из составляющих его высказываний истинно, во всех остальных случаях оно ложно.
Рассмотрим примеры:
Треугольник АВС является либо прямоугольным, либо он является тупоугольным, либо является остроугольным.
Слоны обитают либо на Аляске, либо обитают в Австралии.
Слоны обитают либо в Австралии, либо обитают в Африке, либо обитают в Азии.
Из этих высказываний первое является истинным, так как объединяются сильной дизъюнкцией такие высказывания, из которых одно обязательно является истинным. Второе высказывание ложно, т.к. сильной дизъюнкцией объединяются два ложных простых высказывания. В самом деле, бессмысленно утверждать, что одно из двух: либо слоны обитают на Аляске либо в Австралии, так как слоны обитают совсем в других местах. Третье высказывание тоже ложно, т.к. сильной дизъюнкцией объединяются три простых высказывания, из которых два ( второе и третье ( являются истинными, поэтому нельзя использовать выражение «одно из трех». Но это же высказывание о слонах будет истинным, если мы истолкуем союзы «либо..., либо...» как слабую дизъюнкцию, так как при слабой дизъюнкции могут быть истинными больше, чем одна альтернатива. В таком случае изменится формула высказывания: не A(B(C, но A(B(C.
Рассмотрим с логической точки зрения фрагменты из «Евгения Онегина» Пушкина.
Я жду тебя: единым взором
Надежды сердца оживи
Иль сон тяжелый перерви
Увы, заслуженным укором!
Быть может, он для блага мира
Иль хоть для славы был рожден.
В первом случае союз “иль” означает сильную дизъюнкцию, т.к. не может быть и то, и другое, лишь что-то одно. Во втором случае союз “иль” означает слабую дизъюнкцию, так как возможно одновременно как то, так и другое.
Задание 6. Определите вид дизъюнкции:
Не дай мне Бог сойтись на бале
Иль при разъезде, на крыльце
С семинаристом в желтой шали
Иль с академиком в чепце!
Паду ли я, стрелой пронзенный,
Иль мимо пролетит она.
Все благо: бдения и сна
Приходит час определенный.
Импликация
Сложное высказывание, полученное при помощи импликации, называется импликативным, или условным, высказыванием. Первый член в таком сложном высказывании называется основанием, или антецедентом, второй – следствием, или консеквентом.
Символическая запись импликативного высказывания: А(В, где A и B – сложные или простые высказывания, символ ( означает операцию импликации. Может использоваться символ (, например, А(В. Читается: А имплицирует В.
В русском языке операции импликации соответствуют союз «если A, то B», а также выражения: «коль скоро A, то B»; «кто A, тот B», «для A необходимо B», «А, только если B», «поскольку A, постольку B», «В, если A», «там B, где A»; «тогда B, когда A», «А достаточно для B» и т.п. Могут использоваться тире и запятая. Примеры импликативных высказываний:
Если вода нагревается, то она испаряется.
Тише едешь – дальше будешь.
Подальше положишь – поближе возьмешь.
Кто беден, тот тебе не пара. (Грибоедов)
Подписано, так с плеч долой. (Грибоедов)
Он знак подаст – и все хохочут.
Он пьет – все пьют и все кричат. (Пушкин).
Мы видим, что грамматические союзы могут быть самые различные или вообще отсутствовать. Здесь нет какого-то четкого единого правила, кроме одного: выражение, соответствующее импликативному высказыванию, всегда можно преобразовать без утери исходного смысла в предложение с союзом «если..., то...». Например:
Если беден, то тебе не пара.
Если подписано, то с плеч долой.
Если он знак подаст, то все хохочут.


Таблица истинности
для импликации




A
B
A(B
B(A

1
1
1
1

1
0
0
1

0
1
1
0

0
0
1
1



Таблица истинности показывает, что высказывание A(B является истинным во всех случаях, кроме случая, когда основание истинно, а следствие ложно. Импликация, в отличие от предыдущих операций, некоммутативна: от перестановки членов значение импликативного высказывания может изменяться. Так, ложности выражения B(A соответствует уже не вторая строчка, но третья.
Определение операции импликации:
Импликация – логическая операция, объединяющая два высказывания в такое новое высказывание, которое является ложным, если первый ее член истинен, а второй ложен, во всех остальных случаях новое высказывание истинно.
Обычно возникает вопрос, почему импликативное высказывание A(B является истинным, когда основание A ложно, а следствие B истинно, или: как можно содержательно понять истинность высказывания типа «если ложь, то истина» (третья строчка таблицы)?
Рассмотрим высказывание «Если прошел дождь, то асфальт мокрый», т.е. А(В. Допустим, что А ложно, т.е. на самом деле дождя не было. Может ли, тем не менее, асфальт оказаться мокрым? И здесь мы должны согласиться с тем, что это вполне возможно. Асфальт может оказаться мокрым по другим причинам: прошла поливальная машина, дворник полил асфальт и т.п. Но асфальт может оказаться и сухим, а не мокрым. Этим двум случаям как раз и соответствуют 3-я и 4-я строчки таблицы: 0(1 и 0(0. Сделаем несколько неожиданный, но с логической точки зрения вполне правомерный вывод: если основание ложно, то следствие может быть как истинным, так и ложным.
Единственная ситуация, которая невозможна, следующая: дождь прошел, а асфальт остался сухим, т.е. не мокрым. Этой ситуации как раз и соответствует 2-я строчка: 1(0.
Иногда операцию импликации отождествляют с причинной связью, т.е. A(B понимают так, что A порождает B. На самом деле импликация может выражать не только причинные, но и самые разнообразные связи: например, последовательность во времени: «Прошла зима, настало лето», или свойства чисел: «Если число четное, то оно оканчивается на четное число», также другие связи. Важно одно, что импликативное высказывание является ложным, если первый член истинен, а второй ложен, в остальных случаях высказывание истинно. Импликация может связывать высказывания совершенно независимые по смыслу. Рассмотрим такие случаи:
Если сумма углов треугольника равна 180°, то Волга впадает в Балтийское море.
Если сумма углов треугольника равна 180°, то Волга впадает в Каспийское море.
Если сумма углов треугольника равна 90°, то Волга впадает в Балтийское море.
Если сумма углов треугольника равна 90°, то Волга впадает в Каспийское море.
Согласно таблице истинности первое импликативное высказывание является ложным (первый член истинен, а второй ложен), остальные три импликативных высказываний являются истинными.
Задание 7. Определите истинностное значение следующих импликативных высказываний.
Если 7 – четное число, то истиной является все что угодно.
Если 7 – нечетное число, то истиной является не все что угодно.
Если истиной является все что угодно, то 7 – четное число.
Если истиной не является все что угодно, то и 7 не есть четное число.
Если истиной не является все что угодно, то 7 – четное число.
Если истиной является все что угодно, то 7 – нечетное число.
Если 7 – четное число, то истиной не является все что угодно.
Если 7 нечетное число, то истиной является все что угодно.
3. Произвольные высказывания, тавтологии, тождества
и тождественные преобразования
В предыдущем параграфе речь шла о сложных высказываниях, которые построены на использовании лишь одной логической операции – отрицании, конъюнкции, дизъюнкции (слабой или сильной), импликации.
Однако высказывания, вообще говоря, могут включать несколько операций, причем различного вида. Рассмотрим следующие примеры:
Если завтра будет солнце и не будет дождя, то мы отправимся на природу или поиграем в волейбол.
Скоро мы поедем в Москву и, если у нас будет достаточно времени, то погуляем по Красной площади.
Формула первого высказывания: a((b((c(d), в ней 4 переменных: а, в, с, d и 4 операции: конъюнкция, отрицание, импликация, слабая дизъюнкция.
Формула второго высказывания: а((b(с), в ней 3 переменных и 2 операции: конъюнкция и импликация.
Как определять истинностные значения сложных высказываний, которые строятся на нескольких операциях? Или по-другому – при каких значениях переменных a, b, с... высказывание будет истинным, а при каких – ложным?
Для решения этого вопроса мы снова строим таблицу истинности, но уже не для отдельных логических операций, а для сложных высказываний, включающих больше одной операции.
Сначала дадим правила построения таких таблиц.
Правило 1. Число строчек таблицы истинности равно 2n, где п – число переменных в формуле.
Допустим, что переменных в формуле всего 2, т.е. а и b. Поэтому строчек в таблице будет 22 = 4.
Но допустим, что число переменных равно 3 – а, b, с. Тогда строчек будет 23 = 8. При 4-х переменных строчек будет 16 и т.д.
Правило 2. Распределение истинностных значений переменных в столбцах должно обеспечивать перебор всех комбинаций значений «истина» и «ложь» данного числа переменных.
Для этого в столбце первой переменной 1, т.е. «истина», проставляется в первой половине строчек 0, т.е. «ложь», проставляется во второй половине строчек.
В столбце второй переменной 1 проставляется уже в первой четверти общего числа строчек, 0 – во второй четверти общего числа строчек, далее 1 проставляется в третьей четверти числа строчек, 0 – в оставшейся четверти строчек.
В столбце третьей переменной 1 проставляется в первой восьмой части всего числа строчек, 0 – в следующей восьмой части общего числа строчек, далее 1 проставляется в третьей восьмой части, 0 в четвертой восьмой части общего числа строчек. Снова 1 проставляется в следующей восьмой части строчек и т.д.
Словесное описание этого принципа выглядит громоздким, но его легко понять на конкретных примерах построения таблиц.
Таблица с 1-й
переменной

а

1

0


Таблица с 2-мя
переменными

а
b

1
1

1
0

0
1

0
0



Таблица с 3-мя
переменными
а
B
с

1
1
1

1
1
0

1
0
1

1
0
0

0
1
1

0
1
0

0
0
1

0
0
0




Правило 3. Последовательность применения логических операций в сложных формулах такова: сначала выполняются отрицание, потом конъюнкция, операции в скобках, затем остальные операции.
Смысл правила состоит в том, чтобы не делать лишних скобок. Поясним на примерах. Имеем формулу a((b((c(d). Сначала выполняем отрицание (b, затем конъюнкцию a((b, затем операцию в скобках, т.е. дизъюнкцию c(d, и заключительной операцией будет импликация a((b((c(d). Пронумеруем операции на самой формуле:
a(2(b1(4(c(3d).
Обратим внимание на то, что порядок выполнения операций изменится, если уберем скобки:
a(2(b1(3c(4d.
Другой пример. Формула а((b(с). Сначала выполняем операцию в скобках, т. е. импликацию, затем конъюнкцию. Пронумеруем операции:
а(2(b(1с).
Еще примеры: а(3((b1(2с); (a(1b) (3(b2(5(a4.
Теперь, опираясь на указанные три правила, построим таблицу истинности следующего сложного высказывания:
В отпуск Петров поедет на юг, и, если не будет штормить, он каждый день будет купаться в море.
Формула этого высказывания: а(((b(с). Переменных в высказывании 3, следовательно, в таблице, согласно Правилу 1, будет 8 строчек (23). Строим таблицу.
В этой таблице мы проставили истинностные значения переменных а, b, c согласно Правилу 2. Согласно Правилу 3 выполнили сначала операцию (b и проставили соответствующие значения в столбце под выражением13 EMBED Equation.2 1415(b в формуле.

a
b
c
а(((b(с)

1
1
1
1 0 1

1
1
0
1 0 1

1
0
1
1 1 1

1
0
0
0 1 0

0
1
1
0 0 1

0
1
0
0 0 1

0
0
1
0 1 1

0
0
0
0 1 0



Затем выполнили операцию (b(с, проставив соответствующие истинностные значения под импликацией.
Наконец, выполнили конъюнкцию, проставив под ней окончательные значения всего высказывания в целом. Эти значения выделили жирным шрифтом.
Что можно теперь сказать о данном высказывании в целом? Мы обнаруживаем, что это высказывание истинно лишь в трех случаях.
Первый – когда истинны одновременно высказывания a, b и с, т.е. когда Петров действительно в отпуск поехал на юг и даже в шторм каждый день купался в море.
Второй – когда истинны высказывания a и b, а высказывание с ложно, т.е. в отпуск Петров поехал на юг, но в шторм не купался.
Третий – когда истинны высказывания а и с, а высказывание b ложно, т.е. в отпуск Петров поехал, и купался в море, когда оно не штормило.
Высказывание является ложным во всех случаях, когда Петров на самом деле на юг не поехал; и также в том случае, когда поездка на юг состоялась, но даже когда не штормило, Петров в море не купался.
Рассмотрим другой пример.
Скоро мы поедем в Москву, и, если у нас будет достаточно времени, то погуляем по Красной площади.
Формула высказывания а((b(с). Строим таблицу истинности.
Согласно таблице высказывание истинно лишь в трех случаях. Первый – мы поехали в Москву, времени было достаточно, и мы погуляли по Красной площади.
Второй – мы поехали в Москву, и, несмотря на нехватку времени, мы все-таки погуляли по Красной площади.
Третий – мы поехали в Москву, и из-за нехватки времени по Красной площади не погуляли.
a
b
c
а((b(с)

1
1
1
1 1

1
1
0
0 0

1
0
1
1 1

1
0
0
1 1

0
1
1
0 1

0
1
0
0 0

0
0
1
0 1

0
0
0
0 1



В остальных случаях высказывание ложно. Например, в случае, когда мы поехали в Москву, и времени там у нас было достаточно, но по Красной площади мы не погуляли – 2-я строчка.
Задание 8. Сформулируйте, опираясь на таблицу, остальные случаи ложного высказывания о поездке в Москву.
Задание 9. В качестве упражнения постройте таблицу истинности сложного высказывания «Дитя не плачет, мать не разумеет». Определите, в каких случаях это высказывание будет истинным, а в каких – ложным.
Тавтологии. Построим общую таблицу истинности для ниже следующих формул. В этой таблице используются прописные латинские буквы, означающие как простые, так и сложные высказывания. Так, например, в формуле A(B вместо A и B могут быть подставлены простые высказывания или высказывания, имеющие сложную структуру.

A

B

A(A

A((A

((A((A)

A((B(A)

(A(B)(A(B

1
1
1
1 0
1 0 0
1 1
1 1 1

1
0
1
1 0
1 0 0
1 1
0 0 1

0
1
1
1 1
1 0 1
1 0
1 0 1

0
0
1
1 1
1 0 1
1 1
1 0 1

Присмотримся к таблице внимательно. В ней, как и прежде, жирным шрифтом выделены истинностные значения формул в целом. Можно обнаружить замечательное свойство данных формул: они и соответствующие им сложные высказывания являются истинными при любых значениях входящих в них переменных, т.е. простых высказываний. Получается, что эти логические выражения всегда истинны в силу одной своей структуры. Такие логические выражения называются тавтологиями.
Тавтология
· сложное высказывание, которое благодаря своей структуре является истинным при любых истинностных значениях входящих в него высказываний.
Например, всегда истинными будут следующие сложные высказывания:

· если светит солнце, то светит солнце, a(a;

· солнце светит или неверно, что солнце светит, a((a;

· неверно, что солнце светит и в то же время не светит, ((a((a);

· если светит солнце, то, если идет дождь, то светит солнце, a((b(а);

· если идет дождь, то асфальт мокрый, дождь идет, ( значит, асфальт мокрый, (a(b)(a ( b.
Тавтологии лежат в основе логических законов и умозаключений в логике высказываний, которые мы будем рассматривать в соответствующих разделах.
Логические тождества. Построим общую таблицу истинности для других формул и тоже присмотримся к ней внимательно.

A

B
1
A(B
2
(A(B
3
((A((B)
4
((A(B)
5
(A((B
6
(A((B
7
((A(B)

1
1
1
0 1
1 0 0
0 1
0 0 0
0 0 0
0 1

1
0
0
0 0
0 1 1
0 1
0 0 1
0 1 1
1 0

0
1
1
1 1
1 0 0
0 1
1 0 0
1 1 0
1 0

0
0
1
1 1
1 0 1
1 0
1 1 1
1 1 1
1 0

Можно заметить, что пары формул 1 и 2, 1 и 3, 4 и 5, 6 и 7 имеют одинаковое распределение истинностных значений. Это означает, что они логически тождественны. Запишем это их свойство в виде тождеств.
A(B ( (A(B;
A(B (((A((B);
((A(B) ( (A((B;
(A((B ( ((A(B);
Итак, мы имеем логические тождества. Дадим их определение.
Логические тождества – это такие пары логических формул, у которых истинностные значения совпадают при одних и тех же истинностных значениях входящих в них формул.
Приведем список основных тождеств логики высказываний, на них мы будем опираться в дальнейшем при решении логических задач.
Тождества логики высказываний

1. A(B ( (A(B
2. A(B ( ((A((B)

правила устранения
импликации


3. A(B ( (B((A

правило контрапозиции


4. ((A(B) ( (B((A
5. ((A(B) ( (A((B

правила
де Моргана

6. A(B ( B(A
7. A(B ( B(A

правила
коммутативности

8. A(A(B ( A
9. A((A(B) ( A

правила
поглощения

10. A((B(C) ( (A(B)((A(C)
11. A(B(C ( (A(B)((A(C)

правила
дистрибутивности

12. (A(B)((C(D) ( A(C ( A(D ( B(C ( B(D
правило раскрытия скобок


13. ( (A ( A
правило двойного отрицания

14. A(A ( A
15. A(A ( A

правила равносильности
(идемпотентности)

16. A((B(C) ( (A(B)(C
17. A((B(C) ( (A(B)(C

правила
ассоциативности


18. A((A ( 1



19. A((A ( 0


20. A(1 ( 1


21. A(0 ( A


22. A(1 ( A


23. A(0 ( 0



24. A((A(B ( 0



25. A((A(B ( 1



26. A((A(B ( B



27. (A((A)(B ( B



28. A(B ( A((B(B((A
правило удаления сильной дизъюнкции

Разъясним смысл некоторых тождеств. Правила де Моргана выражают взаимосвязь дизъюнкции и конъюнкции, которая состоит в следующем:

· отрицание дизъюнкции высказываний тождественно конъюнкции отрицаний этих высказываний;

· отрицание конъюнкции высказываний тождественно дизъюнкции отрицаний этих высказываний.
Правила коммутативности показывают, что истинностное значение конъюнктивных и дизъюнктивных высказываний не меняется от перестановки членов местами.
Правила равносильности, или идемпотентности, означают, что дизъюнкция или конъюнкция одинаковых высказываний равны этим высказываниям. Например, сложное высказывание «Идет дождь, и идет дождь» тождественно простому высказыванию «Идет дождь».
Тождества 18 и 19 означают, что дизъюнкция высказывания и его отрицания всегда будет истинной, а их конъюнкция ( всегда ложной. Например, истинным будет высказывание «Идет дождь или не идет дождь», и ложным высказывание «Идет дождь, и не идет дождь».
Смысл остальных тождеств попробуйте уяснить сами.
Задание 10. Докажите при помощи таблицы истинности правила поглощения, а также тождества 20, 21, 22, 23.
Покажем, что некоторые тождества можно доказать не табличным методом, но опираясь на другие тождества, предполагая, что эти другие тождества уже доказаны.
Докажем тождество 24, т.е. A((A(B ( 0.
1. A((A(B ( 0(В – заменили формулу A((A на 0 в соответствии с тождеством 19.
2. 0(B ( B(0 – см. тождество 6.
3. В(0 ( 0 ( см. тождество 23.
Итак, доказано, что A((A(B ( 0.
Перепишем доказательство в виде цепочки, указывая при знаке ( номер используемого тождества: A((A(B (19 0(В (6 В(0 (23 0.
Доказательство тождества 25: A((A(B (18 1(B (7 B(1 (20 1. Таким образом: A((A(B ( 1.
Доказательство тождества 12: (A(B)((C(D) (10 (A(B)(C((A(B)(D (6 C((A(B)(D((A(B) (10 A(C(A(B(A(D(B(D (7 A(C(A(D(B(C(B(D. Таким, образом: (A(B)((C(D) ( A(C(A(D(B(C(B(D.
В последнем доказательстве выражение A(B мы брали как целое, которое можно было бы обозначить особой буквой, например, Е.
Тождественные преобразования. Теперь мы можем перейти к тождественным преобразованиям логических формул. Собственно, мы к ним уже перешли, простейшими примерами такого рода преобразований были только приведенные доказательства тождеств 24, 25, 12.
Итак, что такое тождественное преобразование?
Тождественное преобразование ( это переход от одной логической формулы к другой, при котором вся формула или ее части заменяются тождественными им выражениями.
Преобразуя таким способом одни логические формулы в другие, мы тем самым можем видоизменять соответствующие высказывания. В ходе этих изменений высказывания должны, по-видимому, сохранять какой-то минимум общего для них смыслового содержания. Проверим это, преобразуя известное нам высказывание о планах на завтра.
Если завтра будет солнце и не будет дождя, то мы отправимся на природу или поиграем в волейбол.
Формула этого высказывания a((b((c(d). Дадим два варианта ее преобразования.
a((b((c(d) (1 a((b(((c(d).
Высказывание, соответствующее новой формуле, будет звучать так: «Если завтра будет солнце и не будет дождя, то если мы не отправимся на природу, то поиграем в волейбол».
a((b((c(d) (3 ((c(d)(((a((b) (2 ((c(d)((a(b) (4 (c((d((a(b).
Новое высказывание: «Если завтра мы не отправимся на природу и в волейбол не поиграем, то ( если завтра будет солнце, то будет дождь».
Очевидно, что имеется определенная смысловая преемственность исходными высказываниями и результатом их преобразования, однако можно предположить, что чем более сложные высказывания мы будем преобразовывать, тем труднее будет усматривать смысловые связи между ними.
Используем метод тождественных преобразований, чтобы вернуться к тавтологиям. Выше мы определили тавтологию как выражение, логическая структура которого обеспечивает его истинность при любых значениях входящих в него переменных. Чтобы обнаружить, что перед нами тавтология, нам приходилось строить таблицу истинности, а это является довольно громоздким делом, особенно если число переменных в формуле велико. Но теперь, преобразуя выражение и упрощая его, мы можем гораздо легче проверить его на тавтологичность.
Проверим методом тождественных преобразований, является ли формула a((b(а) тавтологией:
a((b(а) (1 (a((b(а) (1 (a((b(а (7 (a(а((b (25 1.
Итак, независимо от значений а и b формула a((b(а) тождественна единице, т.е. всегда истинна, следовательно, она является тавтологией. Проверим таким же образом тавтологию ((a((a):
((a((a) (5 (a(( (a (13 (a(a (7 a((a (18 1.
Снова данная формула оказывается истинной независимо от значений ее составляющих, следовательно, она является тавтологией.
Задание 11. Проверьте методом тождественных преобразований тавтологии: a(a; a((a; (a(b)(a(b; (a(b)((b((a.
4. Решение задач методом логических уравнений
Чтобы освоить работу с тождествами, порешаем ряд задач, используя метод логических уравнений. Начнем с решения простой задачи, на которой и выделим особенности метода. Затем попрактикуемся на решении других задач различной степени сложности.
Бедный завуч. Завуч школы нервно мерил шагами свой кабинет. Только что ушли три учителя, которые заявили свои требования к расписанию уроков, причем каждый стоял на своем, не желая ничего слушать.
Учительница математики, ссылаясь на семейные обстоятельства, просила, чтобы ее занятия стояли первым или вторым уроком.
Учитель истории вежливо, но твердо настаивал на том, чтобы его занятия стояли первым или третьим уроком, потому что во время второго урока он должен заниматься в лингафонном кабинете иностранным языком, чтобы в скором будущем поехать в зарубежную командировку.
Пожилая учительница литературы не могла вставать ни свет, ни заря, чтобы успеть к первому уроку, и хотела, чтобы ее занятия шли вторым или третьим уроком.
Можно ли составить расписание занятий, удовлетворяющее требования всех трех учителей?
Перепишем просьбу учительницы математики в виде дизъюнктивного высказывания: М1(М2, т.е. математика должна идти первым или вторым уроком.
Требование учителя истории перепишем в виде дизъюнктивного высказывания: И1(И3, т.е. история должна идти первым или третьим уроком.
Желание учительницы литературы запишем в виде высказывания: Л2(Л3, т.е. литература должна идти вторым или третьим уроком.
В каждом из дизъюнктивных высказываний один из членов является истинным, поэтому и сами дизъюнктивные высказывания истинны. Это означает, что конъюнкция этих высказываний тоже должна дать истинное высказывание. Запишем это обстоятельство:
(MI(М2)((И1(И3)((Л2(Л3) ( 1.
Таким образом, мы записали задачу в виде логического уравнения. Теперь начнем преобразовывать его левую часть, опираясь на список основных тождеств. Для простоты некоторые знаки конъюнкции будем опускать.
Раскроем две первые скобки согласно тождеству 12. Далее мы будем писать сокращенно, например, т. 12.
(М1И1(М1И3(М2И1(М2И3)((Л2(Л3) ( 1.
Обратим внимание на то, что подчеркнутое выражение ложно, так как математик и историк не могут вести занятие одновременно первым уроком. В таком случае, согласно т. 21:
(М1И3(М2И1(М2И3)((Л2(Л3) ( 1.
Раскроем оставшиеся скобки согласно т.12.
М1И3Л2(М2Л2И1(М2Л2И3(М1И3Л3(М2И1Л3(М2И3Л3 ( 1.
Подчеркнутые выражения ложны, т.к. два учителя не могут вести занятия одновременно. Ложными в таком случае являются и конъюнктивные высказывания, в которые входят подчеркнутые выражения, согласно т. 23. Но тогда, согласно т. 21, получаем окончательное уравнение:
М1Л2ИЗ(И1М2ЛЗ ( 1.
Оказывается, завуч может составить целых два варианта расписания, которые удовлетворят требования каждого из учителей: либо первым уроком поставить математику, вторым ( литературу, а третьим историю; либо первым уроком поставить историю, вторым ( математику, а третьим литературу.
Итак, решение задачи включает в себя, во-первых, переписывание условий в виде высказываний, во-вторых, составление логического уравнения, в-третьих, максимальное упрощение уравнения путем тождественных преобразований.
Решим еще одну задачу.
Смешливые марсианки. Космический корабль странной формы опустился на лесную лужайку. Откинулся люк, и по трапу на землю сошли четыре прекрасные марсианки. Журналисты прорвали оцепление и окружили пришельцев. Воцарилась тишина. Наконец один из журналистов хриплым голосом задал вопрос, от волнения не понимая, что он спрашивает: «Сколько вам лет?». Толпа ахнула.
Марсианки переглянулись. Одна из них улыбнулась и сказала: «Бортмеханику Ми недавно исполнилось 22 месяца, а вот штурман Me постарше, ей 21 миллион лет». Вторая тоже улыбнулась и коснулась плеча говорившей: «Подруга немного напутала. На самом деле бортмеханику Ми – 21 миллион лет, а вот нашему командиру Мо всего 19 тысяч лет». Звонко рассмеялась третья: «Командиру Мо в действительности всего 18 недель, 21 миллион лет нашему стажеру Ма».
Четвертая марсианка с тревогой посмотрела на землян. Достаточно ли развиты умственные способности этих симпатичных существ, чтобы решать такие задачи, подумала она. И сказала негромко: «Прошу извинить моих подруг. На Марсе логические головоломки одно из любимых развлечений. Но вы легко определите наш возраст, если учтете, что в каждом ответе что-то верно, а что-то нет».
Разберемся с возрастом смешливых марсианок. Для этого перепишем их ответы в виде дизъюнктивных высказываний:
1. Ми22(Me21; 2. Ми21(Мо19; 3. Мо18(Ма21.
Каждое дизъюнктивное высказывание является истинным, согласно подсказке четвертой марсианки. Поэтому их конъюнкция тоже даст истинное высказывание. Строим логическое уравнение:
(Ми22(Ме21)((Ми21(Мо19)((Мо18(Ма21) ( 1.
Проведем тождественные преобразования, чтобы упростить уравнение и найти его решение. Используем правило раскрытия скобок, т.е. т. 12.
(Ми22Ми21(Ме21Ми21(Ми22Мо19(Ме21Мо19)((Мо18(Ма21) ( 1.
Обнаруживаем, что подчеркнутые выражения ложны, т.к. не может быть у Ми одновременно два возраста, и не могут Me и Ми иметь одинаковый возраст (примем, что должны быть распределены все возраста). Наше уравнение приобретает следующий вид:
(0(0(Ми22Мо19(Ме21Мо19)((Мо18(Ма21) ( 1.
Используя т. 21, еще раз перепишем уравнение:
(Ми22Мо19(Ме21Мо19)((Мо18(Ма21) ( 1.
Снова используем правило раскрытия скобок.
Ми22Мо19Мо18(Ме21Мо19Мо18(Ми22Мо19Ма21(Ме21Ма21Мо19 ( 1.
Подчеркнутые выражения ложны, т.к. Мо не может иметь два возраста сразу, а Me и Ма не могут иметь одинаковый возраст. Но ложность этих выражений делает ложными и конъюнктивные высказывания, в которые они входят, согласно т. 23. Используя заодно т. 21, получаем в конечном счете:
Ми22Мо19Ма21 ( 1.
Полученное конъюнктивное высказывание истинно, следовательно, истинным является каждое из его составляющих высказываний. Таким образом, получаем решение задачи:
Возраст бортмеханика Ми – 22 месяца, командира Мо – 19 тысяч лет, стажеру Ма – 21 миллион лет, а штурману Me – оставшиеся 18 недель.
Рассмотрим более сложную задачу.
Кого пригласить на вечеринку? Допустим, что ваша компания, кроме вас, состоит еще из 5 человек – Алексея, Веры, Глеба, Даши и Евгения. Сначала все очень дружили, но со временем отношения усложнились, и пригласить в гости на вечеринку стало нелегкой проблемой.
Дело в том, что теперь если пригласить Алексея, то необходимо пригласить и Веру. С другой стороны, можно пригласить либо Глеба, либо Веру, но вместе их приглашать не стоит. Можно также пригласить либо Дашу, либо Евгения, либо обоих вместе. Дашу также можно пригласить либо вместе с Глебом, либо ни того, ни другого. И если пригласить Евгения, то необходимо пригласить Алексея и Дашу. Кого же пригласить в гости, чтобы вечер прошел без выяснения отношений?
Перепишем условия в виде соответствующих высказываний, заменив имена начальными буквами.
Если А, то В; т.е. А(В.
В либо Г, но не В и Г; т.е. (В(Г)(((ВГ).
Д либо Е, либо Д и Е; т.е. Д(Е(ДЕ.
Д и Г, либо ни Д, ни Г; т.е. ДГ((Д((Г.
Если Е, то А и Д; т.е. Е(АД.
Каждое высказывание истинно, следовательно, истинным будет состоящее из них конъюнктивное высказывание. Строим логическое уравнение.
(А(В)((В(Г)(((ВГ)((Д(Е(ДЕ)((ДГ((Д(Г)((Е(АД) ( 1.
Надо бы начинать раскрывать скобки, но сначала необходимо избавиться от импликаций, согласно, т. 1, а также от общего отрицания, согласно правилу де Моргана. Выражение ДЕ устраняем, согласно правилу поглощения. Переписываем уравнение.
((А(В)((В(Г)(((В((Г)((Д(Е)((ДГ((Д(Г)(((Е(АД) ( 1
Объединим сначала скобки вторую и третью, а также четвертую и пятую как близкие по содержанию.
((А(В)((В(В(Г(В(В(Г(Г(Г)((ДДГ(ЕДГ(Д(Д(Г(Е(Д(Г)(((Е(АД) ( 1.
Выражения В(В, Г(Г, Д(Д(Г устраняем, согласно т. 19, т. 24, т. 21. ДДГ заменяем на ДГ, согласно т. 15. Переписываем уравнение:
((А(В)((Г(В(В(Г)((ДГ(ЕДГ(Е(Д(Г)(((Е(АД) ( 1.
Выражение ДГ(ЕДГ заменяем на ДГ, согласно т. 10. Снова переписываем:
((А(В)((Г(В(В(Г)((ДГ(Е(Д(Г)(((Е(АД) ( 1.
Объединим теперь скобки первую и вторую, третью и четвертую.
((АГ(В(ВГ(В((АВ(Г(ВВ(Г)((ДГ(Е(Е(Д(Г(Е(ДГАД(Е(Д(ГАД) ( 1.
ВГ(В, Е(Д(Г(Е, Е(Д(ГАД ложны, согласно т. 24. ВВ(Г заменяем на В(Г, а ДГАД на ДГА, согласно т. 15. Переписываем уравнение.
((АГ(В((АВ(Г)((ДГ(Е(ДГА) ( 1.
Тогда, согласно т. 12:
(АГ(ВДГ(Е((АВ(ГДГ(Е((АГ(ВДГА((АВ(ГДГА ( 1.
Подчеркнутые выражения, согласно т. 24, ложны. Тогда, согласно т. 21 и 15, получается: (А(ВДГ(Е ( 1.
Содержательно конъюнктивное высказывание (А(ВДГ(Е означает, что не стоит приглашать Алексея, Веру и Евгения, но можно пригласить Глеба и Дашу.
В данной задаче преобразования были весьма громоздки. И достаточно при переписывании или совершении какой-либо операции потерять отрицание или какую-нибудь букву, или наоборот, приписать лишний знак, чтобы на выходе получить нечто далекое от правильного результата. Поэтому большое значение имеют внимание и аккуратность. Следующая задача представляется тоже весьма сложной.
После бала. На школьном костюмированном балу три девушки – Аня, Варя и Клава весь вечер танцевали с тремя постоянными кавалерами. Одна из них была в костюме Мальвины, другая в костюме Феи, а третья в костюме Белоснежки. Каждая девушка была в маске. После окончания бала юноши встретили в вестибюле девушек уже переодетыми в обычное платье, вызвались их провожать, но поинтересовались, с кем же из трех девушек танцевал каждый из них.
Аня сообщила, что она была одета в костюм Феи. Варя сказала, что она, во всяком случае, была не в костюме Феи. А Клава сказала, что она была одета не в костюм Мальвины.
Кто в каком костюме был на балу, если лишь одна из девушек сказала то, что было на самом деле?
Здесь важно правильно составить исходное уравнение.
Сначала допустим, что верно ответила Аня. Тогда неверны ответы Вари и Клавы. Следовательно, Аня была в костюме Феи, Варя тоже была в костюме Феи, т.к. неверно, что она не была в костюме Феи. Клава была в костюме Мальвины, т.к. неверно, что она была не в костюме Мальвины. Это допущение мы сразу отбрасываем, потому что получается, что в костюме Феи были одновременно Аня и Варя.
Теперь допустим, что верен ответ Вари. Следовательно, неверно, что Аня была в костюме Феи, но верно, что Варя не была в костюме Феи. Верно также, что Клава была в костюме Мальвины, т.к. неверно, что Клава не была в костюме Мальвины. Перепишем это допущение в виде формулы: (Аф(ВфКм.
Допустим, наконец, что верен ответ Клавы. Это означает, что неверно, что Аня была в костюме Феи, но верно, что Варя была в костюме Феи, т.к. неверно, что Варя не была в костюме Феи. И верно, что Клава не была в костюме Мальвины. Таким образом: (АфВф(Км.
Так как мы знаем, что одно из этих оставшихся допущений является истинным, то составленное из них дизъюнктивное высказывание тоже будет истинным. Составляем логическое уравнение:
(Аф(ВфКм ( (АфВф(Км ( 1.
Теперь преобразуем уравнение в такой вид, чтобы можно было начинать тождественные преобразования. Ясно, что если Аня не была в костюме Феи, то, следовательно, она была или в костюме Мальвины или Белоснежки. Поэтому выражение (Аф можно заменить на Ам(Аб. Соответственно, выражение (Вф заменяем на Вб(Вм, а выражение (Км заменяем на Кб(Кф. Получаем:
(Ам(Аб)(Вб(Вм)Км ( (Ам(Аб)(Кб(Кф)Вф ( 1.
Перемножаем выражения в скобках, согласно т. 12.
(АмВб(АмВм(АбВб(АбВм)Км ( (АмКб(АмКф(АбК6(АбКф)Вф ( 1.
Переписываем уравнение без подчеркнутых членов, согласно т. 19 и т. 21.
(АмВб(АбВм)Км ( (АмКб(АмКф(АбКф)Вф ( 1.
Окончательно раскрываем скобки.
АмВбКм(АбВмКм(АмКбВф(АмКфВф(А6КфВф ( 1.
Переписываем уравнение без подчеркнутых членов, согласно т. 19, 25, 21:
АмКбВф ( 1.
Содержательно истинность данного конъюнктивного высказывания означает, что Аня была в костюме Мальвины, Клава – костюме Белоснежки, Варя в костюме Феи. Таким образом, из трех девушек правду сказала Клава.
Погода на завтра. По различным телевизионным каналам сообщили совершенно разное о погоде на завтра:

· если будет мороз, то если будет пасмурная погода, то выпадет снег;

· если не будет мороза, но пойдет снег, то погода будет пасмурной;

· не будет ни снега, ни дождя, если небо будет ясным;

· неверно, что если не будет мороза, то снег выпадет или будет дождь, если будет пасмурно.
Допустим, что каждое из этих сообщений является истинным. Теперь определим, какая все же будет завтра погода.
Обозначим каждое высказывание особой буквой: «Будет мороз» ( М, «Будет пасмурная погода» ( П, «Выпадет снег» ( С, «Будет дождь» ( Д, «Небо будет ясным» приравняем к «Неверно, что будет пасмурно», т.е. (П. Теперь перепишем сообщения о погоде в виде конъюнктивного высказывания, которое приравниваем истине:
(М((П(С))(((МС(П)(((П((С(Д)((((М((П((С(Д)) ( 1.
Переведем уравнение на язык дизъюнкций и конъюнкций, для этого избавимся от импликаций с помощью т. 1.
((М((П(С)(((((МС)(П)((П((С(Д)(((М((П(С(Д) ( 1.
Преобразуем подчеркнутое, согласно правилу де Моргана.
((М((П(С)((М((С(П)((П((С(Д)((МП(С(Д ( 1.
Перемножим члены первый и второй, третий и четвертый, согласно т. 12 и т. 10.
((ММ((ПМ(СМ((М(С((П(С(С(С((МП((ПП(СП)((П(МП(С(Д(
((С(Д(МП(С(Д) ( 1.
Заменим подчеркнутые выражения, согласно т. 19 и т. 15.
(0((ПМ(СМ((М(С((П(С(0((МП(0(СП)(((МП(С(Д((МП(С(Д) ( 1.
Используем т. 21 и т. 14:
((ПМ(СМ((М(С((П(С((МП(СП)((МП(С(Д ( 1.
Применяем т. 10.
(ПМ(МП(С(Д(СМ(МП(С(Д((М(С(МП(С(Д((П(С(МП(С(Д(
((МП(МП(С(Д(СП(МП(С(Д ( 1.
Применяем т. 19 и 21.
(МП(С(Д((МП(С(Д ( 1.
Применяем т. 14.
(МП(С(Д ( 1.
Итак, погода на завтра: не будет ни мороза, ни снега, ни дождя, но будет пасмурно.
Ограбление банка. После налета на банк заподозрили трех друзей, у которых уже были судимости по подобным делам ( Луи, Франсуа и Этьена. Решили допросить Франсуа, который всегда говорил правду, но чрезвычайно витиевато.
Франсуа заявил: «Если Луи невиновен, то если еще и Этьен невиновен, то тогда уж точно это сделал я! Если же Этьен невиновен, то и я невиновен. И еще вот что я вам скажу: каждый раз, когда Луи грабит банк, в этом ему помогает Этьен!»
Инспектор немного разбирался в логике, и это помогло ему определить преступника.
Попробуем сделать это и мы. Введем обозначения: виновен Луи ( Л, виновен Франсуа ( Ф, виновен Этьен ( Э. Запишем показания Франсуа в виде уравнения: ((Л(((Э(Ф))(((Э((Ф)((Л(Э) ( 1.
Начнем, как обычно, с замены импликаций на дизъюнкции:
(Л(Э(Ф)((Э((Ф)(((Л(Э) ( 1.
Используем т. 12: (ЛЭ(ЭЭ(ФЭ(Л(Ф(Э(Ф(Ф(Ф)(((Л(Э) ( 1.
Используем т. 19, 15, 8: (Э(Л(Ф)(((Л(Э) ( 1.
Используем снова т. 12: (Э(Л(ЭЭ(Л(Ф(Л( Л(ФЭ) ( 1.
Используем снова т. 19, 15, 8: Э ( 1.
Итак, истина состоит в том, что банк ограбил Этьен.
Задание 12. Решите задачи методом логических уравнений.
Шахматный турнир. В шахматном турнире играли Иванов, Петров и Николаев. Иванов и Николаев уверенно заявили, что победят на турнире. И лишь Петров честно признался:
( Если Иванов проиграет, то я смогу победить, если и Николаев проиграет. Если же Иванов проиграет, то проиграет и Николаев. А я выиграть точно не смогу.
Кто выиграет, по мнению Петрова?
Девушки в театре. Четыре девушки – Ольга, Полина, Марина и Нина ( побывали в театре, и на второй день рассказывали знакомым, что они там видели.
Одна сообщила, что видела Ольгу в зеленом платье, а Полину в красном. Вторая сказала, что Нина была в зеленом, а Ольга в синем платье. Третья запомнила, что в зеленом платье была Мария, а Полина была в платье в горошек.
Вопрос: кто в каком платье был в театре, если каждая из девушек что-то запомнила правильно, а что-то напутала.
Кого пригласить в гости? Была дружная компания, но со временем отношения между ее членами усложнились, и пригласить кого-то из них в гости стало проблемой. Дело в том, что:
( Если пригласить Дашу, то тогда и Алексея.
( Если пригласить Веру, то тогда лучше не приглашать Алексея.
( Если пригласить Сашу, то тогда и Дашу, но не Алексея.
( Можно пригласить в гости Сашу или Веру.
Кого же пригласить в гости?
5. Умозаключения в логике высказываний
Во Введении мы определили умозаключение как рассуждение, в котором на основании известных истинных знаний переходят к новому истинному знанию.
Но что собой представляет знание? Оно есть совокупность высказываний. Поэтому мы можем дать более точное определение умозаключения.
Умозаключение ( это рассуждение, в котором на основании одних истинных высказываний переходят к другим истинным высказываниям.
Особенностью умозаключения является то, что оно позволяет получать новое знание без непосредственного обращения к действительности или к фактам. Поэтому знание, полученное на основе умозаключений, называется опосредованным или выводным.
Символически умозаключение выражается следующим образом:
A, B, C, D .
F
Здесь A, B, C, D сложные или простые истинные высказывания, на основе которых получают новое высказывание, они называются посылками. F ( новое сложное или простое истинное высказывание, оно называется заключением. Черта означает логическое следование. Все выражение читается так:
А, В, С, D..., следовательно, F.
В определении умозаключения можно выделить две стороны. Первая состоит в том, что для получения истинного заключения необходимо, чтобы посылки обязательно были истинными. Дело в том, что при ложных посылках заключение может получиться как истинным, так и ложным. Рассмотрим два примера.
Если число четное, то оно оканчивается на 3. Число 24 является четным. Следовательно, число 24 оканчивается на 3.
Здесь мы в качестве посылки взяли ложное импликативное высказывание «Если число четное, то оно оканчивается на 3» и получили ложное заключение «Число 24 оканчивается на 3». Рассмотрим другой пример:
Если число четное, то оно делится без остатка на 3. Число 24 является четным. Следовательно, число 24 делится без остатка на 3.
Теперь мы получили истинное заключение, взяв в качестве посылки снова ложное импликативное высказывание, потому что отнюдь не все четные числа делятся без остатка на 3.
Эти примеры показывают, что на основе ложных посылок можно получать и ложные, и истинные заключения. Гарантию же получения истинных заключений дают лишь истинные посылки.
Вторая сторона умозаключения состоит в том, что посылки должны быть такими, чтобы на их основании действительно могло быть выведено заключение. Другими словами, посылки должны быть не только истинными, но и соответствовать определенным правилам, т.е. умозаключение должно быть правильно построено. Дадим пример, в котором несоответствие посылок бросается в глаза:
Если на Марсе была разумная цивилизация, то там должны остаться искусственные сооружения. Сумма двух четных чисел является четным числом. Следовательно?
Обе посылки являются истинными высказываниями, но заключение невозможно, потому что посылки не соответствуют правилам. В чем заключаются эти правила, мы увидим в дальнейшем. Соединяя обе стороны умозаключения, сформулируем следующие требования:
1. Посылки умозаключения должны быть истинными.
2. Умозаключение должно быть правильно построено.
Существуют различные типы умозаключений. В данном разделе мы рассмотрим лишь умозаключения логики высказываний. Это ( условно-категорическое, чисто условное, разделительно-категорическое, лемматические и комбинированные умозаключения.
Условно-категорическое умозаключение. Приведем сначала модусы, т.е. разновидности, данного типа умозаключения, а затем сформулируем общее определение.
a
A(B, A ,
B
b
A(B,(B ,
(A
c
A(B, (A ,
Возможно, что (B
d
A(B, B .
Возможно, что A

Повторяющейся особенностью этих модусов является то, что первая посылка выступает в виде импликативного, или условного, высказывания A(B, а вторая посылка и заключение являются одним из членов этого высказывания либо отрицанием одного из его членов. Члены A и B часто являются простыми, или по-другому ( категорическими высказываниями. Поэтому данный тип умозаключений принято называть условно-категорическим. Дадим его определение.
Умозаключение называется условно-категорическим, если одна из его посылок
· условное высказывание, а другая посылка и заключение ( один из членов этого высказывания либо его отрицание.
Модус a называется утверждающим (modus ponens), а модус b ( отрицающим (modus tollens). Названия указывают на особенность вторых посылок. У первого модуса второй посылкой выступает утверждение первого члена условного высказывания, у второго модуса ( отрицание второго члена условного высказывания. Оба модуса называются также достоверными, потому что в них при истинных посылках заключение обязательно является истинным.
Модусы c и d называются недостоверными, или вероятностными. Дело в том, что в них при истинных посылках заключение является истинным лишь с той или иной степенью вероятности. Поэтому в этих модусах заключение обязательно начинается с выражения «Возможно, что» или «Вероятно, что», «Не исключено, что» и т.п.
Рассмотрим примеры условно-категорического умозаключения. Используем в качестве первой посылки импликативное высказывание «Волков бояться ( в лес не ходить». Высказывание «Волков бояться» обозначим как A, а высказывание «В лес не ходить» как B. Строим четыре модуса условно-категорического умозаключения:
a) Волков бояться ( в лес не ходить (A(B). Петров боится волков (A). Следовательно, он в лес не ходит (B).
b) Волков бояться ( в лес не ходить (A(B). Петров в лес ходит ((B). Следовательно, он волков не боится ((A).
c) Волков бояться ( в лес не ходить (A(B). Петров не боится волков ((A). Следовательно, возможно, он ходит в лес (Возможно, что (B).
d) Волков бояться ( в лес не ходить (A(B). Петров в лес не ходит (B). Следовательно, возможно, он боится волков (Возможно, что A).
На этих примерах видно, почему третий и четвертый модусы носят название недостоверных, или вероятностных. Петров, даже если он не боится волков, может ходить, а может и не ходить в лес. Так же Петров в лес не ходит, возможно, совсем по другой причине ( из-за отсутствия времени или потому что другие дела есть и т.д., а не потому, что боится волков. В первых же двух модусах заключение истинно без всяких оговорок: Петров точно не ходит в лес, и точно не боится волков.
Задание 13. Постройте модусы условно-категорического умозаключения при следующих первых посылках:
Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2.
Кто беден, тот тебе не пара.
На примере условно-категорического умозаключения удобно вернуться ко второму требованию, которому должно соответствовать любое умозаключение. Как определить, правильно ли построено умозаключение в логике высказываний, или по-другому, обеспечивают ли данные посылки, даже если они являются истинными, истинное заключение?
Для решения этого вопроса необходимо преобразовать умозаключение в сложное высказывание. При этом посылки объединяются конъюнкцией, а знак следования, т.е. черта, заменяется импликацией. Если получившееся сложное высказывание окажется тавтологией, то умозаключение было правильно построено. Если оно не окажется тавтологией, то умозаключение не гарантирует истинность заключения даже при истинных посылках.
Проверим таким способом на правильность утверждающий модус.
Он состоит из посылок A(B и A. Из них следует заключение B. Объединим посылки конъюнкцией, а заключение присоединим импликацией. Получаем сложное высказывание ((A(B)(A)(B. Проверим с помощью тождественных преобразований, является ли это высказывание тавтологией.
((A(B)(A)(B (1 (((A(B)(A)(B (10 ((A(A(B(A)(B (19,21 B(A(B (1 ((B(A)(B (5 (B((A(B (18 (A(1 (20 1.
Итак, данное высказывание при любых значениях своих составляющих является истинным, значит перед нами тавтология. Это означает, что соответствующий модус является правильно построенным умозаключением.
Проверим на правильность недостоверный модус c. Он состоит из посылок A(B, (A и заключения (B. Составляем высказывание ((A(B)((A)((B. Проверяем, является ли оно тавтологией.
((A(B)((A)((B (1 (((A(B)((A)((B (10 ((A(A(B(A)((B (15 ((A(B(A)((B (8 (A((B (3 B(A.
Конечная формула B(A не является тавтологией, так как она ложна в случае истинности B и ложности A. Это значит, что и исходное высказывание не тавтология. Поэтому модус c не является достоверным, но обеспечивает истинность заключения лишь с некоторой вероятностью.
Задание 14. Проверьте на правильность модусы b и d.
Задание 15. Определите, на каких модусах построены следующие рассуждения, и решите задачи.
Придет ли Джон на свидание? Ковбой Джон сказал Мэри, что придет на свидание, если не будет дождя. Но пошел дождь. Придет ли Джон на свидание?
Выпить ли мне кофе? Если я выпью кофе, то не смогу заснуть. Поэтому, с вашего позволения, я не стану пить кофе. Какая посылка здесь пропущена?
Усложним ситуацию. Пусть в отрицающем модусе первый член первой посылки будет конъюнктивным высказыванием. Тогда умозаключение будет выглядеть так:
A(B(C(D, (D .
((A(B(C)
Мы знаем, что, согласно правилу де Моргана, отрицание конъюнкции высказываний тождественно дизъюнкции отрицаний высказываний. Сделав соответствующую замену заключения, получаем:
A(B(C(D, (D .
(A((B((C
Данное умозаключение является особой разновидностью отрицающего модуса. Обозначим его буквой е.
Приведем пример такого умозаключения:
Если число делится без остатка на 3 и 5 и меньше 20, то оно равно 15. Данное число не равно 15. Следовательно, это число либо не делится без остатка на 3, либо не делится без остатка на 5, либо равно или больше 20.
Пусть теперь второй член первой посылки в отрицающем модусе будет конъюнктивным высказыванием. Тогда умозаключение примет следующий вид:
A(B(C(D, ((B(C(D) .
(A
Заменим, согласно правилу де Моргана, отрицание конъюнкции высказываний во второй посылке на дизъюнкцию отрицаний высказываний. Получаем:
A(B(C(D, (B((C((D .
(A
Перед нами еще одна разновидность отрицающего модуса. Так как дизъюнктивное высказывание является истинным, если истинен хотя бы один ее член, то в модусе заключение будет истинным при истинности хотя бы одного члена второй посылки. Поэтому модус можно переписать несколько иначе:
A(B(C(D, (B .
(A
Обозначим этот модус как f.
Дадим шутливый пример соответствующего рассуждения.
Если человек ( джентльмен, то он по утрам пьет чай со сливками, днем играет в гольф в загородном клубе, а вечера проводит с виски с содовой перед потрескивающим камином. Этот человек не пьет по вечерам виски с содовой. Следовательно, он не джентльмен.
Задание 16. Постройте аналогичным способом две другие разновидности отрицающего модуса, одну при первом члене первой посылки в виде дизъюнкции высказываний, вторую ( при втором члене первой посылки в виде дизъюнкции высказываний, и придумайте соответствующие примеры.
Задание 17. Определите разновидность умозаключений и найдите заключение:
Если Джон автор этого слуха, то он глуп и беспринципен. Но Джон далеко не глуп.
Если бы Джон принадлежал нашей компании, то он был бы храбр, и на него можно было бы положиться. Но Джон не из нашей компании.
Чисто условное умозаключение. Запишем его в символической форме, а затем дадим определение.
А(В, В(С, C(D, D(E,..., K(L .
А(L
Присматриваясь к записи, мы обнаруживаем, что и посылки, и заключение являются импликативными, или условными, высказываниями. Причем второй член предыдущей посылки совпадает с первым членом последующей, а в заключении первый член первой посылки связан импликацией со вторым членом последней посылки.
В простейшем случае чисто условное умозаключение будет состоять всего из двух посылок и заключения:
А(В, В(С .
А(С
Определение чисто условного умозаключения:
Чисто условным называется умозаключение, в котором и посылки, и заключение являются условными высказываниями.
Рассмотрим пример чисто условного умозаключения.
Если будет ранняя весна, то горные реки выйдут из берегов, А(В.
Если горные реки выйдут из берегов, то их воды размоют дороги, В(С.
Если дороги окажутся размытыми, то движение транспорта станет невозможным, С(D.
Если движение по дорогам станет невозможным, то населенные пункты в горах окажутся без подвоза сырья и продовольствия, D(E.
Если будет ранняя весна, то населенные пункты в горах окажутся без подвоза сырья и продовольствия, А(Е.
Упростим ситуацию:
Если будет ранняя весна, то горные реки выйдут из берегов (А(В).
Если горные реки выйдут из берегов, то их воды размоют дороги (В(С).
Если будет ранняя весна, то воды горных рек размоют дороги (А(С).
Дадим усложненный пример.
Если асфальт мокрый, то возрастает тормозной путь автомобиля. Если ласточки низко летают, пойдет дождь. Если возрастает тормозной путь автомобиля, увеличивается число дорожно-транспортных происшествий. Если пойдет дождь, асфальт будет мокрый.
На первый взгляд, посылки не связаны между собой, и умозаключение нельзя построить. Но будем действовать методически. Введем как обычно обозначения.
Асфальт мокрый ( A. Возрастает тормозной путь автомобиля ( B. Ласточки низко летают ( C. Пойдет дождь ( D. Увеличивается число дорожно-транспортных происшествий ( E.
Переписываем посылки в символической форме в том порядке, в каком они даны: А(В, С(D, B(E, D(A.
Теперь перепишем их в соответствии с символической записью чисто условного умозаключения, т.е. так, чтобы второй член предыдущей посылки совпадал с первым членом последующей посылки. Можно начать с любой посылки, а затем приписывать к ней слева и справа подходящие посылки.
Начнем, например, с посылки D(A, справа припишем посылку А(В, к ней припишем посылку B(E. Посылки с первым членом E нет, поэтому вернемся к посылке D(A и припишем слева С(D. Получилось: С(D, D(A, А(В, B(E. Теперь можно строить чисто условное умозаключение, чтобы получить заключение:
С(D, D(A, А(В, B(E .
С(E
Подставляем в формулу C(E соответствующие высказывания, получаем заключение: «Если ласточки низко летают, то увеличивается число дорожно-транспортных происшествий».
Создается впечатление, что причиной дорожно-транспортных происшествий является низкий полет ласточек. На самом деле здесь связь не причинная, но логическая, на основе импликации «Если, то», которая, конечно, может отражать и причинную связь, но не сводится к ней. См. об этом в предыдущем параграфе, в разделе об импликации.
В нашем примере причиной дождя, который приводит, в конечном счете, к возрастанию числа ДТП, является повышенное атмосферное давление. Но это же повышенное давление заставляет мошкару опускаться ближе к земле, и вот там за ними начинаются охотиться ласточки. Низкий полет ласточек ( не причина, а лишь признак того, что, вероятно, скоро пойдет дождь. Эта связь временной последовательности: сначала низкий полет ласточек, затем, как правило, дождь, ( и отражена в импликативном высказывании «Если ласточки низко летают, пойдет дождь».
Задание 18. Постройте чисто условное умозаключение, восстановите недостающую четвертую посылку и получите заключение на основе следующих высказываний:
Если бы он ее не подвез, то они бы не познакомились. Если бы он не узнал, что она так капризна, то до сих пор бы верил, что все женщины прекрасны. Если бы они не познакомились, то не поженились.
Разделительно-категорическое умозаключение. Различают три модуса, или разновидности, разделительно-категорического умозаключения:
a
A(B(C(D, (A, (B ,
C(D
b
A(B(C(D, (A, (B ,
C(D
c
A(B(C(D, A .
(B((C((D

Общее определение этого типа умозаключения мы давать не будем, потому что оно было бы слишком громоздким. Разберем по отдельности каждый модус.
В модусе a первая посылка выступает в виде высказываний, объединенных слабой дизъюнкцией, остальные посылки
· это отрицания части членов первой посылки. Заключение ( высказывание, объединяющее слабой дизъюнкцией оставшиеся члены первой посылки. Пример:
В воскресенье мы собрались отправиться на природу, или поиграть в волейбол, или посидеть в кафе, или просто послушать музыку. Но кафе закрылось на ремонт, а для игры в волейбол нас оказалось слишком мало.
Следовательно, мы оправимся на природу или послушаем музыку.
В модусе b первая посылка выступает в виде высказываний, объединенных сильной дизъюнкцией. Остальные посылки, как и в модусе a, ( это отрицания отдельных членов первой посылки. Заключение ( высказывание, объединяющее сильной дизъюнкцией остальные члены первой посылки. Пример:
В командировку планировалась выехать либо в понедельник, либо во вторник, либо в среду, либо в четверг. Но в понедельник и вторник пришлось делать срочную работу.
Следовательно, поездка в командировку состоится либо в среду, либо в четверг.
Модусы a и b называются отрицающе-утверждающими. Название указывает на то, что в посылках есть отрицательные члены, а в заключении отрицания отсутствуют.
В модусе c первая посылка выступает в виде высказываний, объединенных сильной дизъюнкцией, другая, единственная посылка ( один из членов первой посылки. Понятно, почему она должна быть единственной, ведь истинным при сильной дизъюнкции может быть только один член. Заключение состоит из конъюнкции отрицаний оставшихся членов первой посылки. Пример:
Треугольники бывают либо остроугольные, либо тупоугольные, либо прямоугольные. Треугольник АВС является тупоугольным.
Следовательно, треугольник АВС не является остроугольным и не является прямоугольным.
Данный модус называется утверждающе-отрицающим. Название указывает на то, что во второй посылке нет отрицания, а в заключении есть.
В простейшем случае модусы имеют следующий вид:
a
A(B, (A ,
B
b
A(B, (A ,
B
c
A(B, A .
(B

Примеры:
Это число должно быть четным или делиться без остатка на 3. Это число не является четным. Следовательно, оно делится без остатка на 3.
Это число должно быть четным либо оканчиваться на 7. Это число не оканчивается на 7. Следовательно, это число является четным.
Это число должно быть четным либо оканчиваться на 7. Это число оканчивается на 7. Следовательно, это число не является четным.
Относительно разделительно-категорического умозаключения необходимо сделать два замечания.
Первое. В утверждающе-отрицающем модусе первая посылка обязательно должна быть с сильной дизъюнкцией, т.е. должна быть вида: A(B(C(D Использование слабой дизъюнкции в этом модусе не дает заключения. Представим, что мы рассуждаем следующим образом:
В воскресенье мы собирались отправиться на природу, или поиграть в волейбол, или посидеть в кафе, или просто послушать музыку. Посидели в кафе. Следовательно?
Первая посылка ( высказывание со слабой дизъюнкцией, т.е. нет взаимоисключения. Вполне могло оказаться, что в течение одного дня хватило времени не на одно, а на два мероприятия, или три, или на все четыре. Поэтому сообщение о том, что удалось выполнить одно из них, не означает, что точно не удалось что-то из остальных мероприятий. Заключение отсутствует. Другой пример:
В отпуске я собирался прочитать интересную книгу или заняться рыбалкой. И действительно, удалось прекрасно порыбачить. Следовательно?
Снова нет заключения. Первая посылка построена как высказывание со слабой дизъюнкцией: чтение интересной книги и рыбалка не исключают друг друга. Вполне возможно, что в течение отпуска удалось также прочитать и книгу, но, может быть, и не удалось.
Заключение стало бы возможным, если бы второй посылкой были высказывания «Нам удалось только посидеть в кафе» и «Удалось всего лишь прекрасно порыбачить». Определите сами, какими должны быть в этом случае заключения.
Второе. В первой посылке должны быть перечислены все члены дизъюнктивного высказывания, или по-другому, все альтернативы. В противном случае нет гарантии, что заключение является истинным. Покажем это на примере. Допустим, что, перечисляя, какие могут быть треугольники, мы упустили один из его видов:
Треугольники бывают либо остроугольные, либо тупоугольные. Треугольник АВС не является тупоугольным.
Следовательно, треугольник АВС остроугольный.
Так как мы пропустили вариант с прямоугольным треугольником, то в заключении получилось, что треугольник АВС точно остроугольный. Правильное же заключение должно быть «Треугольник АВС является остроугольным или прямоугольным».
Рассмотрим задачу на разделительно-категорическое умозаключение.
Три друга встретились в кафе
В кафе встретились три друга – скульптор Белов, скрипач Чернов и художник Рыжов.
( Интересно, что у одного из нас белые, у другого черные, а у третьего рыжие волосы, – сказал черноволосый. И добавил. – Но ни у кого цвет волос не соответствует его фамилии.
( Ты прав, – ответил Белов, и задумался. Его заинтересовало, можно ли логическим путем вывести цвет волос художника.
Запишем имеющуюся информацию в символическом виде.
1. Каждый из друзей имеет черные (Ч), либо рыжие (Р), либо белые (Б) волосы. Т.е. Белов: Ч(Р(Б; Чернов: Ч(Р(Б; Рыжов: Ч(Р(Б.
2. Добавляем уточнение – ни у кого цвет волос не совпадает с его фамилией. Таким образом: Белов: Ч(Р(Б,(Б; Чернов: Ч(Р(Б,(Ч; Рыжов: Ч(Р(Б,(Р.
3. Черноволосому отвечает Белов, следовательно, сам Белов не является также и черноволосым. Зафиксируем это обстоятельство, Белов: Ч(Р(Б,(Б,(Ч.
Теперь можно строить умозаключения:
Белов:
Ч(Р(Б,(Б,(Ч ,
Р
Чернов:
Ч(Р(Б,(Ч,(Р ,
Б
Рыжов:
Ч(Р(Б,(Р,(Б .
Ч

Каждый раз используется отрицающе-утверждающий модус разделительно-категорического умозаключения. Получилось: у Белова рыжие волосы, у Чернова белые волосы, у Рыжова черные волосы. Таким образом, художник Рыжов и является тем черноволосым, который затеял весь разговор.
Эту задачу можно, по-видимому, решить быстрее в уме. Но если вынести эти умственные действия на бумагу, то мы обнаружим, что будет использоваться именно данный модус разделительно-категорического умозаключения.
Задание 19. Определите в следующих примерах:

· тип дизъюнкции в первой посылке;

· модус умозаключения;

· в каких случаях заключение сделано правильно, а в каких
· неправильно;

· в чем состоит нарушение.
У часов кончился завод или они неисправны.
Часы исправны.
У часов кончился завод.
У часов кончился завод или они неисправны.
У часов кончился завод.
Часы исправны.
У часов кончился завод или они неисправны.
Часы оказались неисправными.
У часов завод не кончился.
У часов кончился завод или они неисправны.
Часы заведены.
Часы неисправны.
Лемматические умозаключения. В этих умозаключениях сочетаются как импликативные, так и дизъюнктивные посылки. Рассмотрим следующий пример:
Если завтра будет солнечно, мы пойдем по грибы, и если даже будет пасмурно, все равно пойдем по грибы. Обещают или солнечную, или пасмурную погоду.
Следовательно, завтра мы пойдем по грибы.
В символическом виде:
А(С, В(С, А(В .
С
Запишем данный тип умозаключения в общем виде:
А(F, В(F, С(F, D(F, E(F, А(В(C(D(E .
F
Особенностью здесь является то, что в импликативных посылках первые члены различны, а вторые члены одинаковы. Такое умозаключение называется простой конструктивной леммой. Можно показать, что оно получается путем соответствующих преобразований из частного случая утверждающего модуса условно-категорического умозаключения. Пусть в качестве первого члена первой посылки будет дизъюнктивное высказывание А(В(С, построим соответствующее умозаключение:
(А(В(С)(D, А(В(С .
D
Теперь проведем тождественные преобразования первой посылки:
(А(В(С)(D (1 ((А(В(С)(D (4 (А(В(С(D (11 ((А(D)((В(С(D) (11 ((А(D)((В(D)((С(D) (1 (А(D)(В(D)(С(D).
Подставляем вместо выражения (А(В(С)(D в утверждающем модусе результат преобразования, т.е. (А(D)(В(D)(С(D), и получаем простую конструктивную лемму.
От нее отличают простую деструктивную лемму. Символически она записывается двумя способами:
A(B, A(C, A(D, A(E, , (B((C((D((E
(A
или:
A(B(C(D(E( , (B((C((D((E( .
(A
Можно показать, что данный тип умозаключения сводится к отрицающему модусу условно-категорического умозаключения, это нами было сделано выше при рассмотрении модуса f. Там же дан пример такого умозаключения.
Существуют типы умозаключений, основанные на таком сочетании импликативных и дизъюнктивных посылок, которое нельзя представить как результат преобразования известных модусов. Это ( сложная конструктивная и сложная деструктивная леммы. Рассмотрим сначала первую лемму.
A(B, C(D, E(F, G(H,, A(C(E(G( .
B(D(F(H(
Дизъюнктивная посылка состоит из первых членов импликативных посылок, а заключение представляет дизъюнкцию вторых членов импликативных посылок. Можно доказать, что данный тип умозаключения является правильно построенным. Чтобы не загромождать изложение, сделаем это в сноске. Пример сложной конструктивной леммы:
Если завтра будет солнечный день, то мы отправимся на рыбалку. Если будет пасмурно, весь день будем сражаться в шахматы. Но завтра будет либо солнечно, либо пасмурно.
Следовательно, завтра мы отправимся на рыбалку или весь день будем сражаться в шахматы.
Рассмотрим, как выглядит сложная деструктивная лемма в общем виде.
A(B, C(D, E(F, G(H,, (B((D((F((H( .
(A((C((E((G(
Особенностью здесь является то, что дизъюнктивная посылка состоит из отрицаний вторых членов импликативных посылок, а заключение представляет дизъюнкцию отрицаний первых членов импликативных посылок. Можно также доказать, что данный тип умозаключения является правильно построенным, но мы не будем это делать. Пример сложной деструктивной леммы:
Если число оканчивается на четное число, то оно само является четным. Если число оканчивается на 5, то оно делится без остатка на 5. Данное число не является четным или не делится без остатка на 5.
Следовательно, это число не оканчивается на четное число, или не оканчивается на 5.
Вообще данный тип умозаключения представляется несколько искусственным.
Комбинированные умозаключения. В реальности рассуждения людей редко строятся на основе какого-то одного вида умозаключения ( либо чисто условного, или условно-категорического и т.п. Обычно в одном рассуждении соединяются сразу несколько видов умозаключений. Рассмотрим следующее рассуждение:
Если бы он ее не подвез, то они так бы и не познакомились. Если бы они не познакомились, то не поженились. Но они женаты.
Какое здесь должно быть заключение? Введем обозначения: он ее не подвез ( A, они не познакомились ( B, они не поженились ( C. Переписываем посылки в символическом виде: A(B, B(C, (C. Таких посылок нет в рассмотренных нами умозаключениях. Но обратим внимание на то, что первые две посылки являются посылками чисто условного умозаключения. Поработаем пока с ними:
А(В, В(С .
А(С
Получили заключение А(С. Добавляем к нему оставшуюся посылку (C. Получаем А(С, (C. А это уже посылки отрицающего модуса условно-категорического умозаключения, запишем его:
A( С, (С .
(A
Получаем заключение (A, содержательно оно означает «Он ее подвез».
Здесь важен следующий момент. Рассуждение построено на комбинации двух умозаключений ( чисто условного и отрицающего модуса условно-категорического. Эту комбинацию можно записать в символическом виде следующим образом:
А(В, В(С, (С .

Можно построить комбинацию из чисто условного умозаключения и утверждающего модуса условно-категорического умозаключения:
А(В, В(С, А .
С
Пример:
Если ласточки низко летают, то пойдет дождь. Если пойдет дождь, то асфальт станет мокрым. Если асфальт станет мокрым, то увеличится тормозной путь автомобиля. Если увеличивается тормозной путь автомобиля, то возрастает число дорожно-транспортных происшествий. Сегодня с утра ласточки летают низко.
Следовательно, сегодня возрастет число дорожно-транспортных происшествий.
Рассмотрим следующие примеры.
Не было гвоздя – подкова пропала. Подкова пропала – лошадь захромала. Лошадь захромала – командир убит. Конница разбита, армия бежит. Враг вступает в город, пленных не щадя, потому что в кузнице не было гвоздя (Маршак.)
Введем обозначения. Не было гвоздя ( (A, подкова пропала ( B, лошадь захромала ( C, командир убит ( D, конница разбита ( E, армия бежит ( G, враг вступает в город, пленных не щадя ( H. Перепишем посылки и заключение в символическом виде:
(A(B, B(C, C(D, E(G .
(A(H
Получилось умозаключение, но не в полном виде. Не хватает посылки между C(D и E(G, введем ее: D(E, содержательно она означает: командир убит ( конница разбита. Не хватает также последней посылки с членом H, введем и ее: G(H, содержательно она означает: армия бежит ( враг вступает в город, пленных не щадя. Перепишем умозаключение в полном виде.
(A(B, B(C, C(D, D(E, E(G, G(H .
(A(H
Заключение получается следующее: «Если в кузнице нет гвоздя, то враг вступает в город, пленных не щадя».
Попробуем теперь к данным посылкам добавить новую, а именно: «Враг все же не смог вступить в город». Обозначим ее соответственно (H. Перепишем новый набор посылок: (A(B, B(C, C(D, D(E, E(G, G(H, (H. Получилась комбинация чисто условного и условно-категорического умозаключения. Ее можно записать так:
(A(B, B(C, C(D, D(E, E(G, G(H, (H .
A
Содержательно новое умозаключение в полном виде будет выглядеть следующим образом: «Не было гвоздя – подкова пропала. Подкова пропала – лошадь захромала. Лошадь захромала – командир убит. Командир убит ( конница разбита. Конница разбита ( армия бежит. Армия бежит ( враг вступает в город, пленных не щадя. Но враг так и не смог вступить в город. Следовательно, в кузнице нашелся гвоздь».
А теперь к прежнему чисто условному умозаключению добавим в качестве посылки высказывание «В кузнице гвоздя не нашлось», т.е. (A. Строим комбинацию из чисто условного и утверждающего модуса условно-категорического умозаключения:
(A(B, B(C, C(D, D(E, E(G, G(H, (A .
H
Получили умозаключение с заключением H, которое содержательно означает высказывание «Враг вступает в город, пленных не щадя».
Джон-президент
Президент Джон советуется с министром обороны.
– Знаете, Генри, из-за ваших расходов на танки нового поколения в бюджете страны возникнет дефицит, если, конечно, мы не увеличим налоги. Но, с другой стороны, если в бюджете возникнет дефицит, то придется сократить пособия по безработице. Что вы на это скажете?
– Думаю, мой президент, необходимо пойти на увеличение налогов.
– И что тогда?
– О, тогда пособия по безработице наверняка не сократятся!
Насколько безупречен вывод министра обороны?
Введем обозначения. Увеличивать налоги – А. Возникнет дефицит – В. Сократятся пособия по безработице – С.
Строим умозаключение на основе рассуждений президента и министра обороны.
(А(В, В(С, А .

Очевидно, что можно использовать чисто условное умозаключение и перейти к более простому умозаключению.
(А(С, А .
Возможно, (С
Получаем модус с условно-категорического умозаключения, который, как известно, не дает достоверного заключения.
Действительно, налоги можно увеличить и тем самым восполнить бюджет, но дополнительные деньги могут уйти на закупку теперь уже противотанковых ракет нового поколения. То есть, отнюдь не наверняка пособия по безработице не будут сокращены.
Задания 20.
Джон-логик
– Мне кажется, мой молодой друг,– задумчиво произнес Джон, попыхивая трубкой, – не стоит ждать большого урожая клевера в этом году, раз закончилась война в Южной Африке.
– Сэр, – осторожно спросил я, – какое отношение имеет война в далекой Южной Африке к урожаю клевера в старой доброй Англии?
– А вы порассуждайте логически. Чем меньше старых дев, тем меньше кошек в округе, потому что кошек заводят, прежде всего, старые девы.
– Очень верное наблюдение, сэр! Но причем здесь старые девы с их кошками?
– Что же тут непонятного? – Джон от изумления даже вытащил трубку изо рта. – Неужели не ясно, что если солдаты возвращаются с войны, то уменьшается количество старых дев?
– Боюсь вас разочаровать в своих умственных способностях, сэр, но все-таки, причем здесь урожай клевера?
– Как причем? – Джон начал раскаляться. – Ведь ясно как Божий день: чем меньше шмелиных гнезд, тем ниже урожай клевера, который опыляется именно шмелями. А шмелиные гнезда разоряются мышами. Поэтому чем больше мышей в округе, тем меньше шмелиных гнезд. А мышей уничтожают кто? Кошки!
– Ну и что! – вскричал я. – Причем здесь урожай клевера?
Но Джон уже успокоился и снова ушел в свои мысли. Через четверть часа он сказал:
– А вы знаете, мой молодой друг, что от акций компании «Томпсон и Томпсон», производящей шнурки от ботинок, лучше начинать избавляться прямо сейчас. Дело в том, что, как пишут газеты, на Марсе поднялась песчаная буря.

· Сэр, – осторожно спросил я...
Воспроизведите рассуждение Джона об урожае клевера в качестве комбинированного умозаключения и определите заключение.
Каких посылок не хватает в рассуждениях?
Нет, Джон не мог это украсть!
Инспектор полиции в облаке сигарного дыма рассуждает в присутствии своего помощника.
– Если бы Джон совершил эту кражу, то, насколько я знаю этого парня, кража была бы тщательно подготовлена. Но если бы кража была тщательно подготовлена, то – если бы в краже участвовал еще один человек, украдено было бы на очень значительную сумму. Нет, Джон не мог это украсть!
– Сэр, – робко проговорил помощник после недолгого молчания, – мне кажется, в вашем рассуждении чего-то не хватает.
( Я и сам понимаю, что чего-то не хватает. Вот только чего именно не хватает? Ясно, что Джон не мог это сделать, но, если честно сказать, не совсем понимаю – почему!
Если Джон автор этого слуха, то он глуп и беспринципен. Поэтому Джон не может быть автором этого слуха.
Если повалит снег, машину будет трудно вести. Если будет трудно вести машину, то можно опоздать на работу, если не выехать пораньше. Повалил снег. Следовательно, необходимо выехать пораньше.
Если бы он ей не сказал, она бы ни за что не узнала. А не спроси она его, он бы и не сказал. ... Значит, она его все же спросила.

Решения заданий

Задание 1. a(b, ab, a(b, a(b, (((a(b)(c), (a((b. «Не все золото, что блестит» можно истолковать как: «Неверно, что если блестит, то обязательно золото». Формула: ((b(a).
Задание 2. Марс является планетой Солнечной системы. ( Высказывание истинно. Отрицание порождает ложное высказывание «Неверно, что Марс является планетой Солнечной системы», двойное отрицание порождает истинное высказывание «Неверно, что неверно, что Марс является планетой Солнечной системы».
По понедельникам на Гавайских островах выпадает снег. ( Высказывание ложно. Отрицание порождает истинное высказывание «Неверно, что по понедельникам на Гавайских островах выпадает снег», двойное отрицание порождает снова ложное высказывание «Неверно, что неверно, что по понедельникам на Гавайских островах выпадает снег».
Неверно, что Марс является планетой Солнечной системы. ( Высказывание ложно. Его отрицание порождает истинное высказывание «Неверно, что неверно, что Марс является планетой Солнечной системы», двойное отрицание порождает ложное высказывание «Неверно, что неверно, что неверно, что Марс является планетой Солнечной системы».
Задание 3.



A

(A

( (A

( ( (A

1
0
1
0

0
1
0
1



Тройное отрицание высказывания тождественно отрицанию исходного высказывания, т.е. ( ( (А ( (А.



Задание 4.
Конъюнктивное высказывание, потому что можно поменять местами, например: «И облегченья не находит она подавленным слезам. Нигде, ни в чем ей нет отрад. И сердце рвется пополам».
Нельзя переставлять местами, нет конъюнктивного высказывания.
Конъюнктивное высказывание.
Последовательность во времени, нет конъюнктивного высказывания.
Задание 5.
Объединяются ложные высказывания, поэтому все высказывание ложно.
Одно из высказываний ложно, все высказывание ложно.
Задание 6.
Сложное высказывание состоит из высказываний, которые могут быть вместе истинными, поэтому слабая дизъюнкция.
Сложное высказывание состоит из высказываний, которые не могут быть вместе истинными, сильная дизъюнкция.
Задание 7.
Истина, истина, истина, истина, ложь, истина, истина, ложь.
Задание 8.
Выказывание ложно в случаях, когда поездка в Москву не состоялась.
Задание 9.
Согласно таблице истинности высказывание ложно в случае, когда дитя не плачет, а мать разумеет (в смысле ( тревожится). В остальных случаях высказывание истинно.

a

b

(а((b

1
1
0 1 0

1
0
0 1 1

0
1
1 0 0

0
0
1 1 1



Задание 10.

A

B

A(A(B

A((A(B)

A(1

A(0

A(1

A(0

1
1
1 1
1 1
1
1
1
0

1
0
1 0
1 1
1
1
1
0

0
1
0 0
0 1
1
0
0
0

0
0
0 0
0 0
1
0
0
0

Из таблицы видно, что истинностные значения формул A(A(B, A((A(B), A(0 и A(1 совпадают с истинностными значениями A, истинностные значения формулы A(1 совпадают с 1, истинностные значения формулы A(0 совпадают с 0.
Задание 11.
a(a (1 (a(a (7 a((a (18 1.
a((a (18 1.
(a(b)(a(b (1 ((a(b)(a(b (10 (a((a(a(b)(b (19 (0(a(b)(b (21 a(b(b (1 ((a(b)(b (5 (a((b(b (7 (a(b((b (18 (a(1 (20 1.
Задание 12.
Шахматный турнир. Обозначения: Выиграл Иванов ( И. Выиграл Петров ( П. Выиграл Николаев ( Н. Запишем высказывание Петрова в виде формулы и приравняем ее единице. Получаем логическое уравнение:
((И(((Н(П))(((И((Н)((П ( 1.
Используем т. 1: (И(Н(П)((И((Н)((П ( 1.
Используем т. 12: (ИИ(НИ(ПИ(И(Н(Н(Н(П(Н)((П ( 1.
Используем т. 15, 19, 21: (И(НИ(ПИ(И(Н(П(Н)((П ( 1.
Используем т. 8: (И(П(Н)((П ( 1.
Используем т. 10: И(П(П(Н(П ( 1.
Используем т. 19, 21: И(П ( 1.
Итак, согласно Петрову, в турнире победит Иванов.
Девушки в театре. Обозначения: Ольга зеленом платье ( Оз, Полина в красном платье ( Пк, Нина в зеленом платье ( Нз, и т.д. Строим логическое уравнение:
(Оз(Пк)((Нз(Ос)((Мз(Пг) ( 1.
Используем т. 12: (ОзНз(ПкНз(ОзОс(ПкОс)((Мз(Пг) ( 1.
Сокращаем подчеркнутые члены как ложные, согласно т. 21:
(ПкНз(ПкОс)((Мз(Пг) ( 1.
Используем т. 12: ПкНзМз(ПкОсМз(ПкНзПг(ПкОсПг ( 1.
Сокращаем подчеркнутые члены как ложные, согласно т. 21. Получаем окончательный результат: ПкОсМз ( 1.
Итак, Полина была в красном платье, Ольга в синем, Марина в зеленом, а Нина, следовательно, в платье в горошек.
Кого пригласить гости. Строим логическое уравнение:
(Д(А)((В((А)((С(Д(А)((С(В) ( 1.
Используем т. 1: ((Д(А)(((В((А)(((С(Д(А)((С(В) ( 1.
Используем т. 12: ((Д(В(А(В((Д(А(А(А)(((СС(Д(АС((СВ(Д(АВ) ( 1.
Используем т. 19, 21: ((Д(В(А(В((Д(А)((Д(АС((СВ(Д(АВ) ( 1.
Используем т. 12: (Д(ВД(АС(А(ВД(АС((Д(АД(АС((Д(В(СВ(
(А(В(СВ((Д(А(СВ((Д(ВД(АВ(А(ВД(АВ((Д(АД(АВ ( 1.
Используем т. 19, 23, 21: (Д(А(СВ ( 1.
Итак, в гости можно пригласить только Веру, но ни Дашу, ни Алексея, ни Сашу.
Задание 13.
a) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A(B). Данное число делится без остатка на 4 (A).
Следовательно, данное число делится без остатка на 2 (B).
b) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A(B). Данное число не делится без остатка на 2 ((B).
Следовательно, данное число не делится без остатка на 4 ((A).
c) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A(B). Данное число не делится без остатка на 4 ((A).
Следовательно, возможно, что данное число не делится без остатка на 2 ((B).
d) Если число делится без остатка на 4, то оно делится без остатка на 2 (A(B). Данное число делится без остатка на 2 (B).
Следовательно, возможно, что данное число делится без остатка на 4 (A).
a) Кто беден, тот тебе не пара (A(B). Этот человек беден (A). Значит, он тебе не пара (B).
b) Кто беден, тот тебе не пара (A(B). Этот человек тебе пара ((B). Значит, этот человек не беден ((A).
c) Кто беден, тот тебе не пара (A(B). Этот человек не беден ((A). Возможно, он тебе пара ((B).
d) Кто беден, тот тебе не пара (A(B). Этот человек тебе не пара (B). Возможно, этот человек беден 4 (A).
Задание 14. Преобразуем модус b в высказывание ((A(B)((B)((A. Проверяем при помощи тождественных преобразований на тавтологию.
((A(B)((B)((A (1 (((A(B)((B)((A (4 ((A(B(B(B)((A (10 (A(B((A (19,21 ((A(B)((A (4 A(B((A (7,18,20 1.
Формула является тавтологией, модус ( правильно построенным умозаключением.
Преобразуем модус d в высказывание ((A(B)(B)(A. Проверяем на тавтологию.
((A(B)(B)(A (1 (((A(B)(B)(A (10 ((AB (BB)(A (15, 8 B(A.
Конечная формула B(A ложна при истинности B и ложности A, это значит, что и исходное высказывание не является тавтологией. Поэтому модус d не достоверен, заключение истинно лишь с некоторой вероятностью.
Задание 15.
Придет ли Джон на свидание? Психологически напрашивается ответ, что Джон не должен придти на свидание, раз пошел дождь. Но выясним логическую сторону дела. Введем обозначения: не будет дождя – А, Джон придет на свидание – В. Записываем задачу в виде посылок: А(В,(А. Это посылки недостоверного модуса с. Поэтому, лишь возможно, что Джон не придет на свидание.
Выпить ли мне кофе? Введем обозначения: я выпью кофе ( А, не смогу заснуть ( В. Записываем умозаключение:
А(В, .

Получили первую посылку и заключение отрицающего модуса b. В этом модусе вторая посылка ( отрицание второго члена первой посылки, т.е.(В, содержательно означает «Но мне необходимо выспаться». Это и есть пропущенная посылка.
Задание 16.

(A(B(C(D)(E, (E ,
(A((B((C((D

A((B(C(D(E), (B((C((D((E .
(A

Задание 17.
Обозначения: Джон автор этого слуха ( А, Джон глуп ( В, Джон беспринципен ( С. Записываем посылки: А(В(С,(В. Это посылки модуса f. Заключение будет (А, т.е.: «Джон не является автором этого слуха».
Обозначения: Джон принадлежит нашей компании – А, Джон храбр – В, на Джона можно положиться – С. Записываем посылки: А(В(С,(А. Это посылки недостоверного модуса с. Заключение: возможно, что ((В(С). Опираясь на правило де Моргана, переписываем: возможно, что (В((С, или содержательно: «Возможно, что Джон не храбр или на него нельзя положиться».
Задание 18.
Обозначения: он бы ее не подвез ( A, они бы не познакомились ( B, он бы не узнал, что она так капризна ( C, он до сих пор бы верил, что все женщины прекрасны ( D, они не поженились ( E. Записываем посылки в символическом виде: A(B, C(D, B(E. Переписываем так, чтобы второй член посылки слева был первым членом посылки справа: A(B, B(E, C(D.
Нужно уточнить место посылки C(D. Если ее оставить справа от B(E, то пропущенная посылка будет E(C, т.е. «Если бы они не поженились, то он бы не узнал, что она так капризна». Но можно поставить C(D слева от A(B. Тогда пропущенная посылка будет D(A, т.е. «Если бы он до сих пор верил, что все женщины прекрасны, то он бы ее не подвез». Принимаем как более подходящий по смыслу первый вариант, ставим C(D справа от B(E и вставляем между ними посылку E(C.
A(B, B(E, E(C, C(D .
A(D
Получаем в качестве заключения формулу A(D, т.е. «Если бы он ее не подвез, то до сих пор бы верил, что все женщины прекрасны». Пропущенная посылка: E(C, или «Если бы они не поженились, то он бы не узнал, что она так капризна».
Задание 19.
В первой посылке слабая дизъюнкция, потому что «часы остановились» и «они неисправны» не исключают друг друга. Первое умозаключение ( отрицающе-утверждающий модус a. Заключение правильно.
Второе умозаключение построено неверно, так как при слабой дизъюнкции в первой посылке вторая посылка утвердительная, заключения не должно быть.
Третье умозаключение ( аналогичный случай. Заключения нет. Четвертое умозаключение ( отрицающе-утверждающий модус a. Заключение правильно.
Задание 20.
Джон-логик. Обозначения: уменьшается урожай клевера в Англии ( A, закончилась война в Южной Африке ( B, уменьшается число старых дев ( C, уменьшается число кошек ( D, солдаты возвращаются с войны ( E, уменьшается число шмелиных гнезд ( F, увеличивается число мышей ( G.
Переписываем рассуждение в той последовательности, в которой они даны в задаче. Сначала следует вывод, который выглядит внезапным, потому что пропущены посредствующие звенья рассуждения. Этот вывод можно записать так: B, следовательно, A. Лишь затем идут остальные посылки: C(D, E(C, F(A, G(F, D(G. Переписываем их в соответствии с формулами чисто условного и условно-категорического умозаключений, т.е. так, чтобы второй член предыдущей посылки совпадал с первым членом последующей посылки, последней же поставим посылку, которая у Джона шла первой: E(C, C(D, D(G, G(F, F(A, B. Строим недостающую посылку B(E (Если закончилась война в Южной Африке, то солдаты возвращаются домой). Получаем умозаключение:
B(E, E(C, C(D, D(G, G(F, F(A, B .
A
Особенностью этого умозаключения является то, что он построен на комбинации чисто условного и утверждающего модуса условно-категорического умозаключений.
Нет, Джон не мог это украсть! Обозначения: Джон совершил эту кражу ( A, кража должна быть тщательно подготовлена ( B, в краже участвовал еще один человек ( C, украдено на очень значительную сумму ( D. Строим умозаключение в символической форме:
A(B, B((C(D), .
(A
Можно заметить, что посылки позволяют построить чисто условное умозаключение, которое дает заключение A((C(D). Ставим его вместо посылок в исходное умозаключение:
A((C(D), .
(A
Посылка ( импликативное высказывание, заключение ( отрицание ее первого члена, это признаки отрицающего модуса условно-категорического умозаключения, в котором вторая посылка ( отрицание второго члена первой посылки. Эту посылку мы и вставляем в качестве недостающей:
A((C(D), ((C(D) .
(A
Преобразуем формулу ((C(D) в (((C(D) на основе тождества 1, а затем в C((D на основе тождества 4. Полученное выражение содержательно означает «В краже участвовал еще один человек» и «Украдено на незначительную сумму». Этих двух положений и не хватает в рассуждении инспектора полиции.
Если Джон автор Обозначения: Джон автор слуха ( А, Джон глуп ( В, Джон беспринципен ( С. Строим умозаключение в символической форме:
А(В(С, .

Первая посылка импликативное высказывание, заключение ( отрицание ее первого члена, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Поэтому второй посылкой должно быть отрицание второго члена первой посылки, т.е. ((ВС). Опираясь на правило де Моргана, преобразуем это выражение в (В((С. Итак, не-
достающей посылкой является дизъюнктивное высказывание «Джон либо не глуп, либо не является беспринципным».
Если повалит снег Обозначения: повалит снег ( A, машину будет трудно вести ( B, можно опоздать на работу ( C, выехать пораньше ( D. Записываем умозаключение в символической форме:
A(B, B(((D(C), A, .
D
Первые две посылки дают чисто условное умозаключение с заключением A(((D(C). Вместе с посылкой A получаем утверждающий модус условно-категорического умозаключения с заключением (D(C. Ставим его вместо прежних посылок:
(D(C, .
D
Заключение является отрицанием первого члена импликативной посылки, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Недостающей посылкой является отрицание второго члена импликативной посылки, т.е. (C, что означает «Я не должен опоздать на работу».
Если бы он ей не сказал Обозначения: он ей не сказал ( А, она бы не узнала ( В, она его не спросила ( С. Записываем умозаключение в символической форме:
А(В, С(А, .

Поменяв местами посылки, получаем чисто условное умозаключение с заключением С(В. Заменяем им посылки и переходим к умозаключению:
С(В, .

Заключение является отрицанием первого члена импликативной посылки, значит, перед нами отрицающий модус условно-категорического умозаключения. Недостающей посылкой является отрицание второго члена импликативной посылки, т.е. (B, которая содержательно означает «Она узнала».

 Тавтология – греческое слово, означает буквально – то же самое слово.
 Август де Морган (1806-1871) ( шотландский математик и логик, который первый сформулировал эти два тождества.
 Сюжеты задач заимствованы из различных источников.
 От греч.
·
·
·
·
·
· (лемма), букв. переводится как польза, но в логике означает предположение.
 Категорическое ( в смысле без всяких «если, то», «или» и т.п.
 Строго говоря, отрицанием высказывания «В лес не ходить» будет высказывание «Неверно, что в лес не ходить», но мы приравниваем его к высказыванию «В лес ходить».
 Это уточнение ( изюминка задачи, на которую надо догадаться обратить внимание.
 Преобразуем умозаключение в сложное высказывание и путем тождественных преобразований проверим, равно ли оно единице, т.е. истине. Для простоты примем, что импликативных посылок всего две.
(A(B)(C(D)(A(C)((B(D) (1
( ((A(B)((C(D)(A(C)((B(D)(12((A(C(B(C((AD(BD)(A(C)((B(D) (12
( ((A(CA(B(CA((ADA(BDA((A(CC(B(CC((ADC(BDC)((B(D) (19,21
( (B(CA(BDA((ADC(BDC)((B(D) (1 ((B(CA(BDA((ADC(BDC)((B(D) (4
( ((B(((C((A)((B((D((A)(((A((D((C)((B((D((C)((B(D) (12 ((B(B(((C(B((A(B( (B(D(((C(D((A(D((B(A(((C(A((A(A)(((A(B((D(B((C(B(((A(D((D(D((C(D(((A(C((D(C((C(C)((B(D) (15 ((B(((C(B((A(B((B(D(((C(D((A(D((B(A(((C(A((A)(((A(B((D(B( ((C(B(((A(D((D((C(D(((A(C((D(C((C)((B(D) (8,12 ((B((A(B(((C(D((A(B((A((A(B((B(D(((C(D(D((A(D((B(C(((C(D(C((A(C(B(D ( (15,19,21 (B((A(((C(D((A(B((B(D(((C(D((A(D((B(C((A(C(B(D (13 ((BA(C(DA(B((B(D(C(D((A(D((B(C((A(C(B(D (11 (BA(C(DA(B(((B(B)((D(B)(C(D((A(D((B(C((A(C(D (18,22 (BA( (C(DA(B((D(B(C(D((A(D((B(C((A(C(D (7 (BA(B(C(D((A(D((B(C((A(C((D(D (18 (BA(B(C(D((A(D((B(C((A(C(1 (20 1.
Итак, исходная формула равна истине, т.е. является тавтологией. Сложная конструктивная лемма является правильно построенным умозаключением.









13PAGE 15


13PAGE 141815




Root Entry

Приложенные файлы

  • doc 3949001
    Размер файла: 591 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий