01 Графический анализ чувствительности


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.

1

Графический анализ чувствительности

Модель линейного программирования является как бы "моментальным снимком"
реальной ситуации, когда параметры модели (коэффициенты целевой функции и неравенств
ограничений) предполагаются неизменными.
Но на
практике исследователи стремят
ся

изучить в
лияние изменения параметров модели на получен
ное оптимальное решение задачи
линейного программирования
. Такое исследование называется
анализом
чувствительности
.

Анализ моделей на чувствительность


это процесс, реализуемый после получения
оптимального решения. В рамках такого ана
лиза выявляется чувствительность оптимального
решения к определенным изменениям исходной модели. В з
адаче об ассортименте
продукции
может представлять интерес вопрос о том, как повлияет на оптимальное решение
увеличение и уменьшение спроса на продукцию или
запасов исходного сырья. Возможно,
также потребуется анализ влияния рыночных цен на оптимальное решение.

При таком анализе всегда рассматривается комплекс линейных оптимизационных
моделей. Это придает модели определенную динамичность, позволяющую исследов
ателю
проанализировать влияние возможных изменений исходных условий на полученное ранее
оптимальное решение. Динамические характеристики моделей фактически отображают
аналогичные характеристики, свойственные реальным процессам. Отсутствие методов,
позволяю
щих выявлять влияние возможных изменений параметров модели на оптимальное
решение, может привести к тому, что полученное (статическое) решение устареет еще до
своей реализации.

Анализ чувствительности основывается
на графическом решении задачи
линейного
программирования
. Рассмотрим два случая: (1) изменение коэффициентов целевой функции
и (2) изменение значений констант в правой части неравенств ограничений.

Изменение коэффицие
нтов целевой функции

В обще
м виде целевую функцию задачи
линейного программирования
с двумя
переменными можно записать следующим образом.

Максимизировать или минимизировать
z
 с
1
x
1
+ с
2
х
2

Изменение значений коэффициентов
c
1
и с
2
приводит к изменению угла наклона
прямой z. Графич
еский способ решения задачи
линейного программирования
показывает,
что это может привести к изменению оптимального решения: оно будет достигаться в другой
угловой точке пространства решений. Вместе с тем, очевидно, существуют интервалы
изменения коэффициентов с
1
и с
2
, когда текущ
ее оптимальное решение сохраняется. Задача
анализа чувствительности и состоит в получении такой информации. В частности,

2

представляет интерес определение интервала оптимальности для отношения
2
1
c
c

(или, что то
же самое, для
1
2
c
c
); если значение отношения

2
1
c
c
не выходит за пределы этого интервала, то
оптимальное решение в данной модели сохраняется неизменным. Следующий пример
показывает, как можно получить необходимый результат с помощью анализа графического
представления модели
линейного программирования
.

Пример
1
.

Примени
м процедуру ан
ализа чувствительности к
модель для
компании Reddy Mikks
(
Нахождение максимума целевой функции
)
.

Р
ис.
1

На рис.
1
видно, что функция z

 5х
1
+ 4х
2
достигает максимального значения в
угловой точке С. При изменении коэффициентов целевой функции z 
c
1
x
1
+ с
2
х
2

точка
С останется точкой оптимального решения до тех пор, пока угол наклона
линии
z
будет лежать между углами наклона двух прямых, пересечением которых
является точка С. Этими прямыми являются 6х
1
+ 4х
2
 24 (ограничение на сырье
M
1
) и х
1
+ 2х
2
 6 (ограничение
на сырье М2). Алгебраически это можно записать
следующим образом:

0
,
1
2
6
4
1
1
2



c
c
c

или
0
,
4
6
2
1
2
2
1



c
c
c

В первой системе неравенств условие
0
1

c
означает, что прямая,
соответствующая целевой функции, не может быть горизонтальной. Аналогичное
условие в следующей системе неравенств о
значает, что эта же прямая не может
быть вертикальной. Из рис.
1
видно, что интервал оптимальности данной задачи
(он определяется двумя прямыми, пересекающимися в точке С) не разрешает
целевой функции быть ни горизонтальной, ни вертикальной прямой. Таким

образом, мы получили две системы неравенств, определяющих интервал
оптимальности в нашем примере.
Когда с
1
и с
2
могут принимать нулевые
значения, интервал оптимальности для отношения
2
1
c
c
(или
1
2
c
c
) необходимо
разбить на два множества, где знаменатели
не обращались бы в нуль.

Итак, если коэффициенты
c
1
и с
2
удовлетворяют приведенным выше
неравенствам, оптимальное решение будет достигаться в точке С. Отметим, если
прямая z 
c
1
x
1
+
c
2
x
2
совпадет с прямой х
1
+ 2х
2
 6, то оптимальным решением
будет любая
точка отрезка CD. Аналогично, если прямая, соответствующая
целевой функции, совпадет с прямой 6
x
1
+ 4х
2
 24, тогда любая точка отрезка
ВС будет оптимальным решением. Однако заметим, что в обоих случаях точка С
остается точкой оптимального решения.


3

Приведенные выше неравенства можно использовать при определении
интервала оптимальности для какого

либо одного коэффициента целевой
функции, если предположить, что другой коэффициент остается неизменным.
Например, если в нашей модели зафиксировано значение
коэффициента с
2

(пусть с
2
 4), тогда интервал оптимальности для коэффициента
c
1
получаем из
неравенств
4
6
2
1
2
1


c
c
путем подстановки туда значения с
2
 4. После
выполнения
арифметических операций получаем неравенства для
коэффициента
c
1
:
6
2
1


c
. Ана
логично, если зафиксировать значение
коэффициента с
2
(например, с
1
 5), тогда из неравенств
1
2
6
4
1
2


c
c
получаем
интервал оптимальности для коэффициента с
2
:
10
3
10
2


c
.

Стоимость ресурсов

Во многих моделях линейного программирования ограничения трактуются как
условия
ограниченности ресурсов. В таких ограничениях правая часть неравенств является верхней
границей количества доступных ресурсов.
Рассмотрим чувствительность оп
тимального
решения к изменению ограничений, накладываемых на ресурсы. Такой анализ задачи
линейного программирования
предлагает
меру чувствительности решения, называемую
стоимостью единицы ресурса
; при изменении количества доступных ресурсов (на единицу)
значение целевой функции в оптимальном решении изменится на сто
имость единицы
ресурса. Про
иллюстрируем этот
вид анализа задачи
линейного программировани
я
на
следующем примере.

Пример
2
.
В модели для компании
Reddy

Mikks

первые два неравенства
представляют собой ограничения на использование сырья
M
1

и М2
соответствен
но. Определим стоимость единиц этих ресурсов.

Начнем
с
ограничения для сырья
M
1
.
В
данной задаче опти
мальное решение достигается в
угловой точке С, являющейся точкой пересечения
прямых, соответствующих
ограничениям на сырье
M
1

и М2 (рис. 2
).

Рис. 2


4

При изменении уровня доступности материала
M
1

(увел
ичение или уменьшение
текущего уровня, равного 24 т) точка
С
оптимального решения "плывет' вдоль
отрезка
DG.
Любое изменение уровня доступности материала
M
1
,
приводящее к
выходу точки
пересечения С из этого отрезка, ведет к неосуществимости
оптимального ре
шения
в точке С. Поэтому можно сказать, что концевые точки
D

(2, 2) и
G 
(6, 0) отрезка
DG
определяют
интервал осуществимости
для ресурса
M
1
.

Количество сырья
M
1
,
соответствующего точке
D
(2,2), равно 6
x
1
+
4
x
2
 6
*
2+ 4
*
2
 20 т.

Аналогично количество с
ырья, соответствующего точке
G
 (6, 0), равно 36 т.

Таким образом, интервал осуществимости для ресурса
M
1

составляет 20


M
1



36 (здесь через
M
1

обозначено количество материала
M
1
).

Если мы определим
М
1

как
M
1
 24 +
D
1
, где
D
1


отклонение количества
материала М1 от текущего уровня в 24 т, тогда последние неравенства можно
переписать как

20

24 +
D
1



36 или

4


D
1

12. Это означает, что текущий
уровень ресурса
M
1

может быть уменьшен не более чем на 4 т и увеличен не
более чем на 12 т. В этом с
лучае гарантируется, что оптимальное решение будет
достигаться в точке С

точке пересечения прямых, соответствующих
ограничениям на ресурсы
M
1

и М2.

Теперь вычислим стоимость единицы материала
M
1
.
При изменении количества
сырья
M
1

от 20 до 36 тонн, значен
ия целевой функции
z
будут соответствовать
положению точки С на отрезке
DG.
Обозначив через
y
1

стоимость единицы
ресурса
M
1
,
получим следующую формулу.


Если точка С совпадает с точкой
D 
(2, 2), то
z 
5
*
2
+ 4
*2
 18 (тысяч д
ен.

ед.
),
если же точка С со
впадает с точкой
G
 (6, 0), тогда 2  5
*
6 + 4
*
0 30
(тысяч д
ен.

ед
.
). Отсюда следует, что

4
3
20
36
18
30
1




y
(
тыс. ден.
ед
.

на тонну материала М1
)
.

Этот результат показывает, что изменение количества ресурса
M
1

на одну тонну
(если общее количество этого ресурса не меньше 20 и не больше 36 тонн)
приводит к изме
нению в оптимальном решении значения целевой функции на
750
ден.

ед
.

Р
ис.
3

Теперь рассмотрим ресурс М2. На рис. 3
видно, что интервал осуществимости
для ресурса М2 определяется концевыми точками
В
и
H
отрезка
ВН,
где
В
 (4, 0)

5

и Н


(
3
8
, 2). Точка
Н
находится на
пересечении прямых
ED
и
ВС.
Находим,
что
количество сырья М2, соответствующего точке В, равно
x
1
+2х
2
4 + 2
*
0  4 т, а
точке Н


3
8
+2
*
2
3
20
т. Значение целевой функции в точке В равно 5x
1
+ 4х
2

5
*
4 + 4
*
0  20 (тысяч
ден
.

ед.
), а в точке Н

5
*
3
8

+

4
*
2 
3
64
(тысяч
ден.

ед.
).
Отсюда следует, что количество сырья М2 может изменяться от 4 до
3
20
тонн, а
стоимость единицы ресурса М2, обозначенная как у
2
, равна

2
1
4
3
20
20
3
64
2




y

(
тыс. ден.
ед
.

на тонну материала М
2
)
.


Приложенные файлы

  • pdf 8636893
    Размер файла: 589 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий