Лекция 5.2. Линейная, дробно-линейная и квадратичная функция


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
Лекция
5
.2.
Линейная,
дробно
-
линейная,
квадратичная
функции.
Линейная функция.
Линейная
функция

элементарная
функция
вида
График
линейной
функции

прямая
линия
.
Область
определения

вся
область
действительных
значений
переменной
.
Dy  R
Основное
свойство

приращение
функции
пропорционально
приращению
аргумента
.
При
а

0
функция
возрастает
на
всей
области
действительных
значений
переменной
.
При
a
0
функция
убывает
на
всей
области
действительных
значений
переменной
.
При
a
0
график
функция
представляет
прямую,
параллельную
оси
абсцисс
и
отстоящей
от
неё
на
расстояние
b
.
При
b
0
график
функция
представляет
собой
прямую,
проходящую
через
начало
координат
.
b
ax
y


b
y

ax
y

График линейной функции.
График
линейной функции

прямая линия
.
b
ax
y


Линейное уравнение.
Линейное
уравнение

это
уравнение,
у
которого
максимальная
степень
переменной
равна
1
.
1

Если
,
то
уравнение
имеет
единственное
решение
-
2

Если
а

b

0
,
то
уравнение
имеет
решением
все
действительные
числа
.
3

Если
а
0
,
а
,
то
уравнение
не
имеет
решений
.
Линейное уравнение в общем виде
-
это уравнение, у которого максимальная
степень каждой переменной равна 1
.
0


b
ax
b
ax
-

a
b
x
-

0

a
a
b
x
-

0

b
0
...
2
2
1
1





b
x
a
x
a
x
a
n
n
R
x

Линейное неравенство.
Линейное
неравенство

это
неравенство,
у
которого
максимальная
степень
переменной
равна
1
.
Линейное неравенство в общем виде
-
это уравнение, у которого максимальная
степень каждой переменной равна 1
.
b
ax
-

0

a
a
b
x
-

R
x

0

b
b
ax
-

0

a
a
b
x
-

b
ax
-

b
ax
-

0

a
0

a
a
b
x
-

0

b
0

b
a
b
x
-

a
b
x
-

a
b
x
-

a
b
x
-

a
b
x
-

R
x

0

a
0

b
0

b
R
x

R
x

R
x

R
x

решений
нет
решений
нет
решений
нет
решений
нет
решений
нет
решений
нет
Дробно
-
линейная функция.
Дробно
-
линейная
функция

элементарная
функция
вида
График
дробно
-
линейной
функции

гипербола
.
Область
определения

вся
область
действительных
значений
переменной,
кроме
нулей
знаменателя
.
Дробно
-
линейную функцию можно преобразовать:
При
k
0
функция
убывает
на
всей
области
определения
.
При
k
0
функция
возрастает
на
всей
области
определения
.
Функция не имеет экстремумов!
Функция имеет 2 асимптоты:
Вертикальная
асимптота
x

0
Горизонтальная
асимптота
y

0
d
cx
b
ax
y



0


d
cx
x
k
y

2
c
ad
bc
k
-

График дробно
-
линейной функции.
График
дробно
-
линейной функции

гипербола
.
k  0 k  0
d
cx
b
ax
y



x
k
y

Квадратичная функция 1.
Квадратичная
функция

элементарная
функция
вида
График
квадратичной
функции

парабола
.
Область
определения

вся
область
действительных
значений
переменной
.
Dy  R
Вершина
параболы
:
Парабола
достигает
своего
экстремума
в
своей
вершине
.
При
а

0
ветви
параболы
направлены
вверх
.
При
а

0
ветви
параболы
направлены
вниз
.
При
a
0
квадратичная
функция
обращается
в
линейную
функцию
.


c
bx
ax
x
f



2


0
0
;
y
x
a
b
x
2
0
-



0
0
x
f
y



c
bx
x
f


Квадратичная функция 2.
Квадратичная
функция

элементарная
функция
вида
Квадратичная
функция
может
иметь
две
или
одну
точку
пересечения
с
осью
ординат,
или
не
иметь
таких
точек
.
Расположение
графика
квадратичной
функции
по
отношению
к
оси
ординат
характеризует
дискриминант
.
Дискриминант квадратичной функции:
При
D
0

два
нуля
функции,
то
есть
два
пересечения
с
осью
абсцисс
.
При
D
0

один
ноль
функции,
то
есть
одно
пересечение
с
осью
абсцисс,
парабола
касается
оси
абсцисс
своей
вершиной
.
При
D
0

функция
не
имеет
нулей,
то
есть
нет
пересечений
с
осью
абсцисс
.
Минимальное значение функции:
ac
b
D
4
2
-



c
bx
ax
x
f



2
a
D
b
x
2
1

-

a
D
b
x
2
2
-
-

a
b
x
2
-



a
D
x
f
4
min
-

График квадратичной функции.
График
квадратичной функции

парабола
.
D

0
D

0
D

0
a

0
a

0


c
bx
ax
x
f



2
Квадратное уравнение.
Квадратное
уравнение

это
уравнение,
у
которого
максимальная
степень
переменной
равна
2
.
а

первый
или
старший
коэффициент,
b

второй
или
коэффициент
при
x
,
с

свободный
член
.
Приведенным
называется
уравнение,
в
котором
старший
член
равен
1
.
Полным
называется
уравнение
в
котором
все
коэффициенты
неравны
0
.
Неполным
называется
уравнение
в
котором
хотя
бы
один
коэффициент,
кроме
старшего,
равен
нулю
.
0
2



c
bx
ax
q
px
x
a
c
x
a
b
x





2
2
Корни квадратного уравнения.
I
способ

общая формула для вычисления корней
Вычисление
дискриминанта
:
При
D
0

уравнение
имеет
2
корня
.
При
D
0

уравнение
имеет
1
корень
.
При
D
0

уравнение
не
имеет
корней
.
ac
b
D
4
2
-

a
D
b
x
2
1

-

a
D
b
x
2
2
-
-

a
b
x
2
-

0
2



c
bx
ax
Корни квадратного уравнения.
II
способ

при чётном коэффициенте
b
.
,
где
b
-
чётное
Вычисление
дискриминанта,
деленного
на
4
:
При
D
0

уравнение
имеет
2
корня
.
При
D
0

уравнение
имеет
1
корень
.
При
D
0

уравнение
не
имеет
корней
.
ac
b
D
-







2
2
4
a
D
b
x







-

2
1
a
b
x






-

2
0
2



c
bx
ax
a
D
b
x
-






-

2
2
Корни квадратного уравнения.
III
способ

неполные квадратные уравнения.
0
2

ax
a
x
0
2

0
2

x
0

x
0
;
0


c
b
0
2


c
ax
c
ax
-

2
a
c
x
-

2
a
c
x
-


0

-
a
c
0

-
a
c
0

-
a
c
0
;
0


c
b
0
;
0


c
b
0
2


bx
ax


0


b
ax
x
0

x
0


b
ax
b
ax
-

a
b
x
-

a
c
x
-


0

x
решений
нет
Корни квадратного уравнения.
IV
способ

выделение полного квадрата.
Суть
преобразования
заключается
в
том,
чтобы
в
заданном
уравнении
путем
преобразования
выделить
выражение
вида
:
Пример
Дано
:


2
2
2
2
m
km
k
m
k




0
12
7
2


-
x
x
2
2
x
k

x
k

x
km
7
2

2
7
2
7
2
7



x
x
k
x
m
0
12
4
49
4
49
7
2


-







-
x
x
4
49
2

m
4
12
4
4
49
2
7
2

-







-
x
4
1
2
7
2







-
x
2
1
2
7








-
x
2
1
2
7


x
4
1

x
3
2

x
Корни квадратного уравнения.
V
способ

Теорема Виета.
Теорема Виета позволяет выразить коэффициенты многочлена через его
корни!
0
2



c
bx
ax
0
2



a
c
x
a
b
x







-


a
c
x
x
a
b
x
x
2
1
2
1
Квадратное неравенство.
Квадратное
неравенство

это
неравенство,
у
которого
максимальная
степень
переменной
равна
2
.
a

0
D

0
D

0
D

0
неравенство
0
2



c
bx
ax
0
2



c
bx
ax
0
2



c
bx
ax
0
2



c
bx
ax
R
x

R
x

решений
нет
решений
нет
R
x

решений
нет







-

;
;
1
1
x
x
x
1
x







-

;
;
2
1
x
x
x







-

;
;
2
1
x
x
x


2
1
;
x
x
x



2
1
;
x
x
x


Приложенные файлы

  • pdf 4467869
    Размер файла: 586 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий