нелинейная динамика. бифуркации


МИНИСТЕРСТВО НАУКИ И ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение
высшего профессионального образования
«НАЦИОНАЛЬНЫЙ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
Институт дистанционного образования
ОТЧЕТ
по лабораторной работе № 3
НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА. БИФУРКАЦИИ
Дисциплина: Концепции современного естествознания
Выполнил (ла) студент(ка) гр. Д-3Б32
Прушинская М.В.
Томск 2014
Цель работы: самостоятельное установление характерных особенностей динамики систем, описываемых нелинейными зависимостями.
Основные положения
Цель работы: Изучение динамики поведения нелинейной системы в зависимости от начальных условий и области изменения управляющего параметра системы.
Основные положения
Во многих сложных физических, химических и биологических процессах наблюдаются качественно подобные явления резкого изменения характера протекания (динамики) процесса, при превышении одним из параметров системы некоторой критической величины. Примером может служить переход от слоевого (ламинарного) течения к вихревому (турбулентному) при возрастании скорости обтекания препятствия потоком жидкости.
При математическом моделировании таких сложных систем с пороговыми изменениями свойств (с бифуркациями) руководящая идея состоит в том, чтобы найти достаточно простую систему, временная эволюция которой качественно подобна поведению сложной много-частичной системы. Затем подробно изучают свойства такой простой системы и определяют те общие черты поведения, которые мало зависят от конкретных деталей модели. После чего, с учетом приобретенных знаний, общие выводы применяют для анализа гораздо более сложных систем или объектов.
В настоящей работе изучается простая модель появления бифуркаций в нелинейной системе, зависящей от одной переменной и одного параметра. Основное физическое допущение модели состоит в том, что процесс во времени считается дискретным (поэтапным, пошаговым). Тогда состояние системы на каком-либо (j+1) этапе будет определено состоянием предшествующего ( j ) этапа.
В качестве самой наглядной модели подобной системы удобно выбрать биологический объект – изолированную от других популяцию короткоживущих насекомых. Пусть летом они выводятся, а осенью откладывают яйца. Следующее поколение появится только через большой срок, так что популяции не перекрываются. Поскольку процесс эволюции популяции во времени является дискретным, для него можно записать разностное уравнение вместо уравнения с производными по времени (оно необходимо для непрерывных процессов):
(7.1)
Здесь обозначено:
QUOTE QUOTE и QUOTE – численности популяций на последующих этапах;
R – скорость воспроизводства потомства отдельным насекомым,
S – скорость убыли популяции.
Первый член выражает собой естественный прирост популяции, второй – отражает потери предшествующего поколения, вызванные взаимным истреблением, распространением болезней и нехваткой пищевых ресурсов. Для упрощения анализа уравнение (1) удобно переномеровать, заменяя QUOTE (R/S) на переменную QUOTE
(7.2)
Теперь задача состоит в исследовании возможных областей значений для численности популяции, при больших временах наблюдения за системой, т. е. при больших значениях j . На первый взгляд уравнение (7.2) очень простое и не предвещает резких перемен. Однако это не так. На самом деле динамика систем, описываемых нелинейным уравнением типа (7.2), имеет сложную и упорядоченную структуру решений. Для анализа удобно разбить всю область изменения параметра R на отдельные интервалы. Для области значений параметра R (скорости воспроизводства), где 0 < R < 1 динамическая переменная Y монотонно стремится к нулевому значению. Физически это означает вымирание популяции. При R > 1 зависимость установившейся численности популяции от величины параметра R представлена на рис. 7.2, где пришлось отказаться от линейного масштаба по горизонтальной оси, чтобы указать величины критических значений параметра R.
Как видно из рис. 7.2, при критических значениях Rкр = 3; 3,4; 3,56; 3,569 и других, в ходе зависимости наблюдаются бифуркации (развилки). После первой из них система может иметь два устойчивых предельных значения. При этом на последующих шагах численность популяции попеременно то возрастает, то убывает. Когда насекомых выводится слишком много, они истощают имеющиеся пищевые ресурсы, так что их потомкам грозит голод.
Наоборот, для малой численности насекомых создаются благо- приятные условия и они бурно размножаются. При R >3,4 возможны четыре значения для стационарной численности, при R >3,56 разрешены восемь значений и т. д. При этом последующие значения Rкр становятся все ближе друг к другу и состояния Y* могут перекрываться. В конечном счете, при R = 4, станут возможными любые значения из интервала (0,1).
Таким образом, для любых систем, которые могут быть описаны выражением (7.2), результат большого числа дискретных этапов является стационарным и однозначным только для интервала значений параметра R между 1 и 3 и совершенно хаотичным – для значения R = 4.
Вблизи критических значений Rкр = 3; 3,4; 3,56; 3,569 и т.д. появляются неустойчивости и состояние системы циклически переходит с одной из допустимых ветвей значений на другую (или на другие). В этом режиме, при последующих шагах, система может переходить в состояния, которые заметно отличаются друг от друга. При этом одинаковые значения состояний могут повторяться через четное число шагов. Более подробно исследовать спектр возможных состояний нелинейных систем, описываемых выражением (7.2), можно с помощью компьютерного моделирования.
Выполнение работы
Задание 1.
Режим деградации, r < 1.
Введите следующие значения параметров моделирования:
r = 0.9; N1 = 0.1; s = 0.1.
Параметр, который будет изменяться: N1.
Шаг изменения ΔN= 0.1. Число кривых: 8.
Кликните на кнопку Пуск и получите расчетные результаты.

Рис.1. Режим деградации.
Независимо от исходного уровня N1 для численности популяции, она постепенно исчезает.
Задание 2.
Устойчивый динамический режим, 1<r<3.

В этом случае система асимптотически приближается к ненулевому устойчивому состоянию. При больших значениях произведенных смен поколений j последующие значения мало отличаются друг от друга, поэтому предельная величина может быть найдена из условия:
N* ≈ rN*(1 – sN*).
Раскрыв скобки и произведя простые преобразования получим, что для предельного значения N* ≈(1/s)( 1 – ( 1/r )).

Введите значение начального уровня популяции N1 = 0.1, s = 0.5.
Задайте значение параметра r между 1 и 2 (например, 1.5).

Рис.2. При значениях начального уровня популяции.
Рассчитайте соответствующее значение для N*.
Вычислите значение разности (N*– N1).
Рассчитайте величину шага изменения: ΔN1= 0.5(N* – N1). Введите полученное значение.
Параметр, который будет изменяться: N1. Число кривых: 4.
Получите расчетные данные.
N*= (1/0,5)(1-(1/1,5))=0,6
(N*-N1)=0,6-0,1=0,5
ΔN1= 0,5*0,5=0,25

Рис.3. Устойчивый динамический режим.
Задание 3.
Переход к бифуркационному режиму.
Введите значения параметров: r = 0.5; N1 = 0.2; s=0.8.
Параметр, который будет изменяться: r.
Шаг изменения: Δr= 0.5. Число кривых: 6.
Получите расчетные данные.
Рис.4. В бифуркационном режиме.
В режиме бифуркации значения уровней, как верхнего, так и нижнего, выходят на стационарные уровни численности популяции.
Задание 4. Влияние коэффициента убыли популяции на переход к режиму бифуркации.
Измените значение одного параметра: s=1.
Параметр, который будет изменяться: r.
Шаг изменения: Δr= 0.5. Число кривых: 6.
Получите расчетные данные.
Рис.5. Влияние коэффициента убыли популяции на переход к режиму бифуркации.
Задание 5. Поведение системы вблизи критических состояний
5.1. Измените значение параметров: r = 3.1; N1=0.1; s=1.
Параметр, который будет изменяться: N1.
Шаг изменения: ΔN=0,1. Число кривых: 4.

Рис.6.Поведение системы вблизи критических состояний
5.2. Введите следующее значение параметра: r = 3.3; N1=0.1; s=1.
Параметр, который будет изменяться: N1.
Шаг изменения: ΔN=0.2. Число кривых: 4.
Получите результаты расчета.

Рис.7. Поведение вблизи критических состояний. Наглядное изображение разницы при r = 3.3

5.3. Повторите расчет для r = 3.5; N1=0.1; s=1. Число кривых: 4.

Рис.8. Поведение вблизи критических состояний при r=3.5.
5.4. Повторите расчет для r = 3.6; N1=0.1; s=1. Число кривых: 4.

Рис.9. Поведение вблизи критических состояний при r=3,6
Отмечается появление дополнительных уровней предельных значений.
Задание 6. Переход к режиму детерминированного хаоса
Введите значения r = 3.9; s=1. Число кривых: 4.

Рис.10. Поведение нелинейной системы в режиме детерминированного хаоса
Заключение.
Установила характерные особенности динамики систем, описываемых нелинейными зависимостями.
Изучив динамику поведения нелинейной системы в зависимости от начальных условий и области изменения управляющего параметра системы.
Увидела процесс популяции наглядно на графиках, исходя из разных данных и в разных положениях.

Приложенные файлы

  • docx 791936
    Размер файла: 583 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий