мой готовый 2

Министерство образования и науки РФ
________________________________________________________________________________________
Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Санкт-Петербургская государственная лесотехническая академия имени С.М.Кирова»

Кафедра математических методов и моделирования в экономике и управлении










Лабораторная работа№2

По дисциплине : «Математическое моделирование лесных экосистем».








Выполнила: студентка
ЛХФ 5курса 1 маг
Зачетная книжка№507043
Болдышевич А.А
Проверил: доктор технических наук, профессор
Гуров С.В






Санкт-Петербург
2012год
Лабораторная работа 2

МОДЕЛИ СВОБОДНОГО И ОГРАНИЧЕННОГО РОСТА ПОПУЛЯЦИЙ

1. Постановка задачи

В начальный момент времени 13 EMBED Equation.3 1415 количественный состав некоторого биологического вида равен 13 EMBED Equation.3 1415 единиц. Требуется сделать прогноз численности 13 EMBED Equation.3 1415 данной популяции при 13 EMBED Equation.3 1415 для двух случаев:
относительный темп прироста популяции не зависит от ее численности и равен постоянной величине 13 EMBED Equation.3 1415 (свободный рост популяции),
относительный темп прироста популяции уменьшается линейно с увеличением ее численности и равен величине 13 EMBED Equation.3 1415 (ограниченный рост популяции).
С этой целью необходимо
составить математическую модель свободного роста популяции в виде линейного дифференциального уравнения, найти аналитическое решение уравнения;
составить математическую модель ограниченного роста популяции в виде дифференциального уравнения Бернулли, определить аналитическое и численное решение уравнения при заданных начальных условиях, показать графически приближенное совпадение полученных решений;
привести графическую иллюстрацию изменения численности для моделей свободного и ограниченного роста популяции;
сделать выводы по работе.

2. Сведения из теории

2.1. Модель Мальтуса
В огромном числе случаев при попытке построить модель какого либо объекта либо невозможно прямо указать физические законы, которым он подчиняется, либо с точки зрения наших сегодняшних знаний, вообще нет уверенности в существовании подобных законов, допускающих математическую формулировку. Одним из плодотворных подходов к такого рода объектам является использование аналогий с уже изученными явлениями. Что, казалось бы общего между радиоактивным распадом и динамикой популяций, в частности изменением численности населения нашей планеты? Однако на простейшем уровне такая аналогия вполне просматривается, о чем свидетельствует одна из простейших моделей популяций, называемая моделью Мальтуса. В ее основу положено простое утверждение скорость изменения населения со временем 13 EMBED Equation.3 1415 пропорциональна его текущей численности 13 EMBED Equation.3 1415, умноженной на сумму коэффициентов рождаемости 13 EMBED Equation.3 1415 и смертности 13 EMBED Equation.3 1415. В результате приходим к уравнению
13 EMBED Equation.3 1415, (1)
которое похоже на уравнение радиоактивного распада и совпадающего с ним при 13 EMBED Equation.3 1415 (если 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 – постоянные). Это не удивительно, так как при их выводе использовались одинаковые соображения. Интегрирование выше приведенного уравнения дает
13 EMBED Equation.3 1415, при 13 EMBED Equation.3 1415,
где 13 EMBED Equation.3 1415 – численность населения в момент 13 EMBED Equation.3 1415 (начальная численность).
На рис. 1 приведены графики функции13 EMBED Equation.3 1415 при постоянных 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415 (разным подобным друг другу кривыми соответствуют разные 13 EMBED Equation.3 1415 - значения времени начала процесса). При 13 EMBED Equation.3 1415 численность остается постоянной, т.е. в этом случае решением уравнения является равновесная величина 13 EMBED Equation.3 1415. Равновесие между рождаемостью и смертностью неустойчиво в том смысле, что даже небольшое нарушение равенства 13 EMBED Equation.3 1415 приводит с течением времени ко все большему отклонению функции 13 EMBED Equation.3 1415 от равновесного значения 13 EMBED Equation.3 1415. При 13 EMBED Equation.3 1415 численность населения убывает и стремится к нулю при 13 EMBED Equation.3 1415, а при 13 EMBED Equation.3 1415 растет по экспоненциальному закону, обращаясь в бесконечность при 13 EMBED Equation.3 1415. Последнее обстоятельство и послужило основанием для опасений Мальтуса о грядущем перенаселении Земли со всеми вытекающими отсюда последствиями.

Рис.1. Изменение численности популяции со временем в модели Мальтуса

В данном примере можно указать немало очевидных ограничений применимости построенной модели. Конечно же, сложнейший процесс изменения численности населения, зависящий к тому же от сознательного вмешательства самих людей, не может описываться какими-либо простыми закономерностями. Даже в идеальном случае изолированной биологической популяции предложенная модель не отвечает реальности в полной мере хотя бы из-за ограниченности ресурсов, необходимых для ее существования.
Сделанное замечание тем не менее нисколько не умаляет роли аналогий в построении математических моделей очень сложных явлений. Применение аналогий основано на одном из важнейших свойств моделей - их универсальности, т.е. их приложимости к объектам принципиально различной природы. Так, предположения типа "скорость изменения величины (или некоторой функции от нее)" широко используется в далеких друг от друга областях знаний.

2.2. Моделирование развития изолированной популяции
Предположим, что в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415, час, численность некоторого биологического вида составляет 13 EMBED Equation.3 1415 единиц.
Пусть 13 EMBED Equation.3 1415 – запас этого вида в момент времени 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда производная 13 EMBED Equation.3 1415 есть темп прироста, а отношение 13 EMBED Equation.3 1415 представляет собой относительный темп прироста данного биологического вида.
Далее рассмотрим биологический вид со свободным (неограниченным) и ограниченным ростом. В первой модели допустим, что относительный темп прироста есть величина постоянная, не зависящая от текущего количества. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415 является постоянной величиной. Отсюда следует, что справедливо дифференциальное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415, (2)
представляющее собой математическую модель изменения численности популяции со свободным ростом. Очевидно, это есть модель Мальтуса, в которой коэффициент рождаемости 13 EMBED Equation.3 1415 является постоянной величиной, а коэффициент смертности равен нулю 13 EMBED Equation.3 1415.
Общим решением этого уравнения является функция 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415 – произвольная постоянная величина. Согласно начальному условию при 13 EMBED Equation.3 1415 должно быть 13 EMBED Equation.3 1415, и тогда 13 EMBED Equation.3 1415. Следовательно, 13 EMBED Equation.3 1415. Окончательно получим, что численность популяции изменяется по экспоненциальному закону
13 EMBED Equation.3 1415. (3)
Даже эта простейшая модель заслуживает обсуждения. Очевидно, что неограниченно долго возрастать популяция не может. Простейший способ учета внутривидовой конкуренции связан с гипотезой о том, что коэффициент воспроизводства не есть константа, а зависит от численности популяции, спадая по мере ее роста.
Во второй модели предположим, что относительный темп прироста популяции замедляется с ростом ее количества, т.е. отношение 13 EMBED Equation.3 1415 убывает с увеличением 13 EMBED Equation.3 1415. Если это убывание линейно, то математически этот факт можно записать в виде 13 EMBED Equation.3 1415, где постоянная 13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда следует, что имеет место дифференциальное уравнение
13 EMBED Equation.3 1415, (4)
где 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение (4) является частным случаем известного в математике дифференциального уравнения Бернулли. Сделаем в уравнении (4) замену переменных 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда получим
13 EMBED Equation.3 1415,
или
13 EMBED Equation.3 1415.
Таким образом, уравнение (4) свелось к линейному дифференциальному уравнению первого порядка. Общим решением последнего уравнения является функция
13 EMBED Equation.3 1415. В этом можно убедиться путем непосредственной подстановки.
Следовательно, общим решением уравнения (4) является функция 13 EMBED Equation.3 1415.
С учетом начального условия 13 EMBED Equation.3 1415 получим, что 13 EMBED Equation.3 1415. Тогда частным решением уравнения (4) будет функция
13 EMBED Equation.3 1415. (5)
Графики функций (3) и (5) изображены на рис.2 для значений 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 и начальных условий 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Рис.2. Свободный (кривая 1) и ограниченный (кривая 2) рост популяции

Из рисунка видно, что кривая 1 неограниченно возрастает, а кривая 2 с увеличением времени приближается к стационарному значению, равному 13 EMBED Equation.3 1415.
Уравнение (4) называется логистическим уравнением. Оно известно также как уравнение Ферхюльста (по имени впервые сформулировавшего его бельгийского математика). Изначально это уравнение появилось при рассмотрении модели роста [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ].
Исходные предположения для вывода уравнения при рассмотрении [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ] динамики выглядят следующим образом:
скорость размножения популяции пропорциональна её текущей численности, при прочих равных условиях
скорость размножения популяции пропорциональна количеству доступных ресурсов, при прочих равных условиях. Таким образом, второй член уравнения отражает конкуренцию за ресурсы, которая ограничивает рост популяции.
Параметр 13 EMBED Equation.3 1415 характеризует скорость роста (размножения), а 13 EMBED Equation.3 1415 емкость среды, то есть максимально возможную численность популяции.
Отметим некоторые свойства логистической функции (4).
1. 13 EMBED Equation.3 1415
2. В ситуации «достаточного объёма ресурсов», то есть пока 13 EMBED Equation.3 1415 много меньше 13 EMBED Equation.3 1415, логистическая функция поначалу растёт приблизительно экспоненциально:
13 EMBED Equation.3 1415.
3. Аналогично, при «исчерпании ресурсов» (13 EMBED Equation.3 1415) разность 13 EMBED Equation.3 1415 экспоненциально убывает с таким же показателем. Действительно,
13 EMBED Equation.3 1415,
и, следовательно,
13 EMBED Equation.3 1415.
Отсюда следует, что при 13 EMBED Equation.3 1415 произведение 13 EMBED Equation.3 1415 стремится к постоянной величине, а это означает, что разность 13 EMBED Equation.3 1415 убывает по экспоненциальному закону с показателем 13 EMBED Equation.3 1415.
В данном случае дифференциальное уравнение (4) имеет достаточно простое аналитическое решение вида (5). Но это бывает крайне редко. Как правило, дифференциальные уравнения не имеют аналитического решения, и тогда следует находить приближенное численное решение. Одним из самых простых методов решения дифференциальных уравнений первого порядка является метод Эйлера. Рассмотрим этот метод применительно к уравнению вида
13 EMBED Equation.3 1415
и начальному условию 13 EMBED Equation.3 1415. Здесь правая часть уравнения имеет вид 13 EMBED Equation.3 1415.
Выберем достаточно малый шаг интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 и пусть 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, , 13 EMBED Equation.3 1415 - узлы интегрирования. Тогда 13 EMBED Equation.3 1415, а значения искомой функции в узлах 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415,,13 EMBED Equation.3 1415 определяются по формулам
13 EMBED Equation.3 1415,
13 EMBED Equation.3 1415,
,
13 EMBED Equation.3 1415. (6)
В результате будет получена таблица значений искомой функции.

3. Выполнения лабораторной работы
Исходные данные для расчетов приведены в табл.1.
Таблица 1
13 EMBED Equation.3 1415, час
N0
13 EMBED Equation.3 1415, час13 EMBED Equation.3 1415
k

17
38
1,52
82


Математическая модель свободного роста популяции
Уравнение (2) представляет собой математическую модель свободного роста численности популяции. Для произвольного момента времени 13 EMBED Equation.3 1415 численность популяции является решением этого уравнения и представляется равенством (3), которое для данных табл.2 выражается соотношением
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.

Математическая модель ограниченного роста популяции
Согласно (4) справедливо следующее дифференциальное уравнение
.N'(t)=1,52*N(t)*(1-N(t)/82)
Это уравнение представляет собой математическую модель ограниченного роста популяции. Аналитическое решение дается соотношением (5)
13 EMBED Equation.3 1415.
Численное решение определим методом Эйлера. Зададим значение шага интегрирования 13 EMBED Equation.3 1415 равным 0,1.
Последующие результаты расчетов представим в виде табл.2.




Таблица 2

A
B
C
D

1
t
N(t)_своб
N(t)_огран
N(t)_Эйлер

2
17
38
38
38

3
17,1
44,23808898
41,1106285
41,09932

4
17,2
51,50022413
44,219984
44,2153

5
17,3
59,9545131
47,2925122
47,31214

...





210
37,8
2,0438E+15
82
82

211
37,9
2,37931E+15
82
82

212
38
2,7699E+15
82
82


В табл.2 время изменяется от 13 EMBED Equation.3 1415час. до 13 EMBED Equation.3 1415час. с шагом 13 EMBED Equation.3 1415. Соответствующие значения содержатся в блоке ячеек A2 : A212. В столбце B содержатся значения функции (3), соответствующие свободному росту популяции, в столбцах C и D содержатся значения, соответствующие ограниченному росту популяции на основе аналитического решения (5) и численного алгоритма (6).
В ячейки B2 и C2 записываются выражения
= 38* EXP(1,52* (A2-17)) и = 82* B2 / (82 + B2 - 38),
которые копируются на блок ячеек B3 : B212 и C3 : C212 соответственно.
В ячейку D2 помещается значение 13 EMBED Equation.3 1415. Согласно (4) правая часть дифференциального уравнения имеет вид
13 EMBED Equation.3 1415,
поэтому в ячейку D3 помещается формула
= D2 + $E$1 * 1,52 * D2 * (1 – D2 / 82),
которая копируется на блок ячеек D4 : D212. Графическая иллюстрация данных из колонок C и D приведена на рис.3.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Рис.3. Графики аналитического и численного решений уравнения (4)

Из рис.3 следует практическое совпадение решений дифференциального уравнения аналитическим и численным методами.

Иллюстрация изменения численности для свободного и ограниченного роста популяции

На рис. 4 представлены графики свободного и ограниченного роста численности популяции.
13 EMBED Excel.Chart.8 \s 1415
Рис. 4.

График ограничен сверху горизонтальной линией, соответствующей численности 13 EMBED Equation.3 1415.
Из рисунка следует неограниченный рост численности популяции для случая свободного роста. В случае ограниченного роста кривая изменения численности популяции достаточно быстро входит в стационарный режим, приближаясь к значению 13 EMBED Equation.3 1415.


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeArial CyrArial CyrArial CyrArial CyrArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1"ИArial Cyr1" Arial Cyr1" Arial Cyr1" Arial Cyr1.рTimes New Roman1" Arial Cyr1" Arial Cyr1"sArial Cyr1"sArial Cyr1"И
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1" Arial Cyr1" Arial Cyr1" 
·
·Arial Cyr1" Arial Cyr1" Arial CyrО/15
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0"р.";[Red]\-#,##0"р."О;

·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·#,##0.00"р.";[Red]\-#,##0.00"р."Оk*3
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0_р_._-;\-* #,##0_р_._-;_-* "-"_р_._-;[email protected]_-О{,;
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·
·_-* #,##0.00_р_._-;\-* #,##0.00_р_._-;_-* "-"??_р_._-;[email protected]_-О#¤

Приложенные файлы

  • doc 359602
    Размер файла: 572 kB Загрузок: 1

Добавить комментарий