СПЕЦКУРС 8-10 КОМБИН ГЕОМ


1)Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
2) Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.
3) Существует ли четырехугольник, который можно разрезать двумя прямыми на 6 кусков?
4) Сколькими способами можно разбить прямоугольник 8×2 на прямоугольники 1×2?
5) На плоскости дано 300 точек, никакие 3 которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся треугольников с вершинами в этих точках
6) Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  n ≤ 4.
7) В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
8) Дана клетчатая доска 10×10. За ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником размером 1×2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
9) При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?
10) В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1)Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета, расстояние между которыми равно 1.
2) Отметьте на плоскости 6 точек так, чтобы от каждой на расстоянии 1 находилось ровно три точки.
3) Существует ли четырехугольник, который можно разрезать двумя прямыми на 6 кусков?
4) Сколькими способами можно разбить прямоугольник 8×2 на прямоугольники 1×2?
5) На плоскости дано 300 точек, никакие 3 которых не лежат на одной прямой. Докажите, что существует 100 попарно не пересекающихся треугольников с вершинами в этих точках
6) Докажите, что если вершины выпуклого n-угольника лежат в узлах клетчатой бумаги, а внутри и на его сторонах других узлов нет, то  n ≤ 4.
7) В пространстве расположен выпуклый многогранник, все вершины которого находятся в целых точках. Других целых точек внутри, на гранях и на рёбрах нет. (Целой называется точка, все три координаты которой – целые числа.) Доказать, что число вершин многогранника не превосходит восьми.
8) Дана клетчатая доска 10×10. За ход разрешается покрыть любые две соседние клетки доминошкой (прямоугольником размером 1×2) так, чтобы доминошки не перекрывались. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
9) При каких целых значениях n правильный треугольник со стороной n можно замостить плитками, имеющими форму равнобочной трапеции со сторонами 1, 1, 1, 2?
10) В какое наибольшее количество цветов можно раскрасить клетки шахматной доски 8×8 так, чтобы каждая клетка граничила по стороне хотя бы с двумя клетками того же цвета?

Приложенные файлы

  • docx 494013
    Размер файла: 14 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий