Аналитическая геометри

Пусть дана таблица из 4 чисел
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Это матрица. Она имеет две строки и два столбца, т.е. размер матрицы (2х2).
Числа, составляющие эту матрицу, обозначены буквой с двумя индексами. Первый индекс указывает номер строки, а второй номер столбца, в которой стоит данное число. Например, а12 означает число, стоящее в первой строке и втором столбце; а21 – число, стоящее во второй строке и первом столбце. Числа а11, а12, а21, а22 будем называть элементами матрицы.
Определителем второго порядка (соответствующим данной матрице) называется число


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](1)


 
  
Свойства определителей второго порядка:
1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами.
2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит знак на противоположный, сохраняя абсолютную величину
3. Определитель с двумя одинаковыми строками и столбцами равен нулю.
4. Общий множитель всех элементов строки или столбца можно выносить за знак определителя; если все элементы какой-то строки или столбца равны 0, то и определитель равен 0.
5. Если к элементам какой либо строки (или столбца) определителя прибавить соответствующие элементы другой строки (или столбца), умноженные на одно и тоже число, то определитель не изменит своей величины.
Последнее свойство применяется для получения в какой-либо строке (столбце) определителя строки (столбца), в которой все элементы, кроме одного, равны нулю. Так как разложить определитель можно по любой строке или столбцу, то при разложении по полученной в результате линейной комбинации строке, определитель равен произведению ненулевого элемента этой строки на его алгебраическое дополнение (взятое с соответствующим знаком).
Все эти свойства легко доказываются проверкой, например:


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Пример1: Вычислим определитель матрицы


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Решение:


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Рассмотрим теперь матрицу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]размера 3 х 3, то есть имеющую 3 строки и 3 столбца.
Eё определителем (третьего порядка) называют число
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]  (2)

Эта формула дает разложение определителя третьего порядка по элементам первой строки. Обратите внимание,а11 - это элемент, стоящий в первой строке и первом столбце. Он умножается на определитель второго порядка, который получится, если мы из нашего определителя третьего порядка вычеркнем первую строку и первый столбец. Такой определитель второго порядка, соответствующий данному элементу (а11) называется минором (М11). Так, минор, соответствующий элементу а12 есть определитель [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].


Он получается, если вычеркнуть строку 1 и столбец 2. Аналогично М13 получится вычеркиванием первой строки и третьего столбца.
Видим, что формулу (2) можно записать так


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


То есть определитель равен сумме по парных произведений элементов первой строки на соответствующие миноры, причем минор, соответствующий а12 берется со знаком – .


Пример2:Вычислить определитель

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение:




[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Все свойства определителей второго порядка остаются справедливыми для определителей третьего порядка и доказываются так же: непосредственной проверкой.
Аналогично формуле (2), дающей разложение определителя по элементам первой строки, можно получить разложение определителя по элементам любой строки или столбца.
Обозначим Аi k алгебраическое дополнение элемента ai k (i – номер строки, k – номер столбца, на пересечении которых находится данный элемент). По определению Ai k=(-1)i+kMik
Например: A12=(-1)1+2M12=(-1)3 M12= - M12
Легко видеть, что формулы для вычисления определителей будут выглядеть следующим образом:


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Разложение определителя по строкам.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Разложение определителя по столбцам.


Аналогично определяются определители четвертого порядка. Для них также справедливы свойства определителей и их также можно раскладывать по строкам или столбцам.


Пример3: Вычислить определитель
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение: Разложим определитель по первой строке:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример4: Вычислить определитель
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Решение: Произведем следующие действия:
из элементов 1-й строки вычтем элементы 2-й строки, умноженные на 3;
к элементам 3-й строки прибавим удвоенные элементы 2-й строки;
из элементов 4-й строки вычтем элементы 2-й строки.


Тогда исходный определитель преобразуется к виду:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Разложим этот определитель по элементам 1-го столбца:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Прибавляем к элементам 1-й строки элементы 3-й строки и, вычитая из элементов 2-й строки элементы 3-й строки, получим:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Разложим определитель по элементам 1-го столбца:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Пример5: Найти у из системы уравнений
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Решение: Запишем систему в виде
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Найдем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца. Далее, за определитель вынесем общие множители из второй строки (-2), и из третьей строки (-1):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Из элементов 2-го столбца вычтем удвоенные элементы 1-го столбца; из элементов 3-го столбца вычтем утроенные элементы 1-го столбца:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Находим
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Из элементов 3-й строки вычтем утроенные элементы 1-й строки; из элементов 4-й строки вычтем удвоенные элементы 1-й строки:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Из элементов 1-й строки вычтем утроенные элементы 3-й строки; из элементов 2-й строки вычтем удвоенные элементы 3-й строки:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Отсюда у = Dy / D = 192/96 = 2.


  [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]   [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть ссылку ]
Действия над матрицами и линейные преобразования


С помощью равенств
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
значения переменных х и у можно выразить линейно через значения переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Эти равенства принято называть линейным преобразованием переменных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Их можно рассматривать также как линейное преобразование координат точки (или вектора) на плоскости.

Таблица
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

называется матрицей рассматриваемого линейного преобразования, а определитель
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] определителем линейного преобразования

В дальнейшем будем считать, что DA[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] 0.
Можно также рассматривать линейное преобразование трех переменных (т.е. для пространства)
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

где
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], соответственно, матрица и определитель этого преобразования.


Матрица А называется невырожденной (неособой), если DA [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]0. Если же DA = 0, то матрица называется вырожденной (особой).
Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, например:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]называются квадратными матрицами соответственно второго и третьего порядков.

Если элементы квадратной матрицы удовлетворяют условию аmn = anm, то матрица называется симметрической.
Две матрицы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]считаются равными (А = В) тогда и только тогда, когда равны их соответственные элементы, т.е. когда аmn = bmn (m, n = 1, 2, 3).

Если число строк матрицы не равно числу столбцов, то матрица называется прямоугольной, например:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].


Для большей общности ряд определений будет дан для матриц третьего порядка; применение их к матрицам второго порядка не вызывает затруднений.
С матрицами можно производить операции сложения и вычитания, если их размеры совпадают.


Суммой двух матриц А и В называется матрица, определяемая равенством
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Произведением числа m на матрицу А называется матрица, определяемая равенством
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].

Произведение двух матриц А и В обозначается символом АВ и определяется равенством
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


т.е. элемент матрицы - произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.
Отсюда вытекает ограничение на размерность матриц А и В: число элементов в строке матрицы А должно равняться числу элементов в столбце матрицы В. Чтобы для каждого элемента из i-й строки матрицы А нашелся парный элемент из k-го cтолбца В. То есть в случае прямоугольных матриц А(m х n) и В(p х q) n должно равняться p.


Пример1: перемножить матрицы
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- размером (2 х 3)

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- размером (3 x 3)


Решение: Так как число столбцов А(3) совпадает с числом строк В (3), следовательно, можно их перемножить.
Чтобы получить элемент С11 произведения, умножим первую строку матрицы А на первый столбец матрицы В.
С11 = 1·1 + 2·0 + 3·2 = 7,
С12 получится умножением первой строки А на второй столбец В:
С12 = 1·2 + 2·2 +3·2 = 12
С13 – умножением первой строки А на третий столбец В:
С13 = 1·3 + 2·0 + 3·1 = 6
С21 –умножением второй строки А на первый столбец В:
С21 = 0·1 = 1·0 +2·2 = 4
Далее, умножая вторую строку А на второй столбец В, получим С22=6, умножая вторую строку А на третий столбец В, получим С23=2
Больше у нас строк нет. Получилась матрица С, состоящая из двух строк и трех столбцов


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Таким образом, А(2 х 3)·В(3 х 3) = С(2 х 3)
По отношению к произведению двух матриц переместительный закон, вообще говоря, не выполняется АВ [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]ВА.
Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей этих матриц.
Нулевой матрицей называется матрица, все элементы которой равны 0.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Сумма этой матрицы и любой матрицы А дает матрицу А: А + 0 = А.
Существует квадратная матрица особого вида (здесь она третьего порядка, но она может быть любого порядка), которая называется единичной матрицей.


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Например: единичная матрица второго порядка
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Единичная матрица четвертого порядка
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Можно проверить, что при умножении этой матрицы слева или справа на любую квадратную матрицу А, получается матрица А: ЕА = АЕ = А. Определитель матрицы Е равен 1.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Единичной матрице отвечает тождественное линейное преобразование:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Пример 2: Доказать, что произведение матрицы А на единичную матрицу Е, равно самой матрице А.


Решение:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


В квадратной матрице любого порядка можно провести операцию транспонирования; это означает, что элемент с номером ij следует поместить на место элемента ji и наоборот, т.е. поменять местами строки и столбцы матрицы. Операция транспонирования обозначается *.


Рассмотрим матрицу В (3 х 3).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Элемент первой строки, первого столбца матрицы В равен 3 – элемент b11. Транспонирование изменит порядок индексов, но т.к. они равны, то b11*=3.
Аналогично элементы b22 и b33 не изменят своего места, b22* = b22. b33* = b33.
b12=2, теперь это будет b21*
b13=1, теперь это будет b31*
b23 =b32 *
b32= b32*


Итак
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Матрица, транспонированная по отношению к матрице В, найдена.
Матрица В называется обратной по отношению к матрице А, если произведения АВ и ВА равны единичной матрице: АВ = ВА = Е
Для матрицы, обратной по отношению к матрице А, принято обозначение А-1, т.е. В = А-1.
Нахождение обратной матрицы
Для квадратных матриц любого порядка А можно найти так называемую обратную матрицу А-1, удовлетворяющую условию А·А-1 = А-1·А = Е
Для матриц третьего порядка вид обратной матрицы следующий:


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Здесь в матрице, транспонированной по отношению к А, каждый элемент заменен его алгебраическим дополнением, деленным на определитель матрицы А. Для матриц другого порядка формула будет аналогична: элемент обратной матрицы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]- определитель на латыни называется детерминант, поэтому его иногда обозначают так.

Например, найдем обратную матрицу к матрице A
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Как видно из формулы А-1, нам придется делить на определитель А, поэтому важно, а не окажется ли он равен нулю? Разложим А по первой строке, это нам удобно, т.к. там много нулей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Определитель нулю не равен, значит обратная матрица существует.
Найдем алгебраические дополнения (знаки их учтем сразу) то есть


[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]

Мы сами можем проверить результат, Известно, что А-1*А = Е. Так ли это?
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]


Получилась единичная матрица. Значит, обратная матрица найдена верно.



Приложенные файлы

  • doc 6085502
    Размер файла: 174 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий