лекция№2

1. Основные понятия

Пусть А – квадратная матрица n-го порядка
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Квадратная матрица А называется невырожденной, если определитель 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 не равен нулю: 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. В противном случае 13 EMBED Equation.DSMT4 1415матрица А называется вырожденной.
Матрицей, союзной к матрице А, называется матрица
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – алгебраическое дополнение элемента 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 данной матрицы А (оно определяется так же, как и алгебраическое дополнение элемента определителя).
Матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 называется обратной матрице 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если выполняется условие
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 (1)
где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – единичная матрица того же порядка, что и матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 имеет те же размеры, что и матрица 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.

2. Обратная матрица

Теорема 1. Всякая невырожденная матрица имеет обратную.
Проведем доказательство для случая матрицы 3-го порядка. Пусть
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, причем 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Составим союзную матрицу
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
и найдем произведение матриц 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415:
13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
т. е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (2)
Здесь мы использовали свойства определителей, рассмотренные ранее.
Аналогично убеждаемся, что
13 EMBED Equation.DSMT4 1415. (3)
Равенства (2) и (3) перепишем в виде
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Сравнивая полученные результаты с определением (1), получаем
13 EMBED Equation.DSMT4 1415 т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Отметим свойства обратной матрицы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 1. Найти 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, если 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Решение:
1) Находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415
2) Находим 13 EMBED Equation.DSMT4 141513 EMBED Equation.DSMT4 1415 поэтому 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
3) Находим 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Проверка:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Пример 2. Определить, при каких значениях 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 существует матрица, обратная данной:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение: Всякая невырожденная матрица имеет обратную. Найдем определитель матрицы А:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Если 13 EMBED E
·quation.DSMT4 1415, т. е. 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, т. е. матрица А невырожденная, имеет обратную.
Пример 3. Показать, что матрица А является обратной для В, если
13 EMBED Equation.DSMT4 1415, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение: Найдем произведение матриц А и В:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Аналогично, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Следовательно, матрица А является обратной для В.

3. Ранг матрицы

Рассмотрим матрицу А размера 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415
Выделим в ней k строк и k столбцов13 EMBED Equation.DSMT4 1415. Из элементов, стоящих на пересечении выделенных строк и столбцов, составим определитель k-го порядка. Все такие определители называются минорами этой матрицы. В матрице A пунктиром выделен минор 2-го порядка. (заметим, что таких миноров можно составить 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 штук, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 – число сочетаний из 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 элементов по 13 EMBED Equation.DSMT4 1415).
Наибольший из порядков миноров данной матрицы, отличных от нуля, называется рангом матрицы. Обозначается 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 или 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Очевидно, что 13 EMBED Equation.DSMT4 1415, где 13 EMBED Equation.DSMT4 1415– меньшее из чисел 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 и 13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Минор, порядок которого определяет ранг матрицы, называется базисным. У матрицы может быть несколько базисных миноров.
Пример 4. Найти ранг матрицы:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение: Все миноры 3-го порядка равны нулю. Есть минор 20го порядка, отличный от нуля 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Значит, 13 EMBED Equation.DSMT4 1415 Базисный минор стоит на пересечении 2 и 3 строки с 1 и 3 столбцами.
Отметим свойства ранга матрицы:
При транспонировании матрицы её ранг не меняется.
Если вычеркнуть из матрицы нулевой ряд, то ранг матрицы не изменится.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных преобразованиях матрицы.

Ранг канонической матрицы равен числу единиц на главной диагонали. На этом основан один из способов вычисления ранга матрицы.
Пример 5. Найти ранг матрицы
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Решение:
13 EMBED Equation.DSMT4 1415,
т. е.
13 EMBED Equation.DSMT4 1415.
Таким образом, ранг матрицы А равен 13 EMBED Equation.DSMT4 1415


Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 318211
    Размер файла: 174 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий