ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЙ


ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА №3
ОБРАБОТКА КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ И МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ С РЕЗУЛЬТАТАМИ ИЗМЕРЕНИЙ
Цели и задачи работы
Цель: Освоить обработку косвенных вычислений и приближенных значений физических величин.
Задачи:
1. Изучить инженерные методы определения погрешности косвенных измерений.
2. Изучить метод оценки корреляции случайных величин.
3. Освоить методы оценки точности результатов вычислений с использованием приближенных значений.
Теоретические положения
Косвенные измерения
При косвенных измерениях искомое значение физической величины A находят на основании результатов измерений аргументов а1, . . . , аi, . . . , аm, связанных с искомой величиной уравнением
A=fa1,a2,…am.(1)
Функция f должна быть известна из теоретических предпосылок или установлена экспериментально с погрешностью, которой можно пренебречь.
Результаты измерений аргументов и оценки их погрешностей могут быть получены из прямых, косвенных, совокупных, совместных измерений. Сведения об аргументах могут быть взяты из справочной литературы, технической документации.
При оценивании доверительных границ погрешностей результата косвенного измерения обычно принимают вероятность, равную 0,95 или 0,99. Использование других вероятностей должно быть обосновано.
Правила обработки косвенных измерений
Пусть A=fa1,a2,…am функциональная зависимость между измеряемой величиной A и величинами a1,a2,…am – аргументами функции. Действительное значение A определяется в соответствии с заданной функцией.
Погрешность косвенного измерения можно оценить различными способами. Ниже приведены три «инженерных» метода, подразумевающих работу с заданными величинами аргументов функциональной зависимости косвенного измерения и их погрешностями.
Метод определения погрешности при помощи частных производных (метод линеаризации)
В данном методе оценивается влияние погрешности каждого аргумента функции на погрешность косвенного измерения по отдельности, с последующим их объединением.
Оценка влияния погрешности аргумента на погрешность функции выполняется по формуле:
∆a1A=dfa1,a2,…amdδΔa1,(3)
где ∆a1A – погрешность результата от погрешности аргумента a1, Δa1 – погрешность аргумента a1.
Таким образом вычисляются погрешности результата от погрешностей всех аргументов функции: ∆a2A … ∆amA.
Суть данного метода заключается в следующем: зависимость функции от одного аргумента может быть представлена в виде плоского графика. Геометрический смысл первой частной производная – тангенс угла наклонной касательной. Рассматривая выделенный треугольник на рис. 1 легко понять, что умножив тангенс угла (dfa1,a2,…amdδ) на длину противоположного катета (Δa1) образованного прямоугольного треугольника получаем длину прилежащего катета - ∆a1A. Данный метод называется методом линеаризации, т.к. предполагает линейность функции на небольшом отрезке погрешности. Очевидно, что метод будет иметь некоторую погрешность в случае нелинейной зависимости между функцией и аргументом и в ряде случаев не может быть применим.
Итоговое значение погрешности функции рассчитывается по формуле (4) или (5), в зависимости от наличия корреляции между отдельными аргументами функции.

Рис. 1 К оценке погрешности методом линеаризации
Метод определения погрешности при помощи вычисления приращения измеряемой величины по её аргументам
Данный метод также подразумевает необходимость вычисления погрешности результата от погрешностей всех аргументов функции.
Оценка влияния погрешности каждого аргумента на погрешность функции выполняется по формуле:
∆a1A=fa1,a2,…am-fa1+Δa1,a2,…am.(4)
Аналогично вычисляются погрешности результата от погрешностей всех аргументов функции: ∆a2A … ∆amA.
Итоговое значение погрешности функции рассчитывается по формуле (5) или (6).
В зависимости от наличия корреляции между отдельными аргументами функции итоговая величина погрешности косвенного измерения ∆А, вычисляется либо с помощью квадратичного суммирования (5) либо суммирования по модулю её составляющих, вносимых каждым аргументом (6):
ΔA=i=1m∆aiA2,(5)
ΔA=i=1m∆aiA.(6)
Квадратичное суммирование применяется в том случае, когда выполняются два условия. Во-первых, погрешность аргументов обусловлена влиянием многих факторов, среди которых нет преобладающего фактора. Во-вторых, погрешности аргументов статистически не связаны т.е. не коррелируют друг с другом. В остальных случаях используется суммирование модулей. Однако правило суммирования часто приводит к завышенному значению погрешности косвенных измерений. Основы определение корреляции между величинами изложены в п. 1.3.
Пример. Пусть значение сопротивления на участке цепи постоянного тока определяется по результатам прямых измерений тока и напряжения на этом участке. Если погрешность измерения тока и напряжения обусловлены влиянием многих факторов (температуры, внутренних сопротивлений амперметра и вольтметра, электрических наводок, нестабильности источника питания и др.),то при суммировании погрешностей лучше использовать формулу квадратичного суммирования. Если погрешность прямых измерений обусловлена в основном случайным изменением внутреннего сопротивлением источника питания, то лучше применить формулу суммирования модулей.
Определение погрешности при помощи формул расчета погрешности косвенных измерений для основных математических операций
Существуют формулы расчета погрешности косвенных измерений при отдельных математических операциях, связывающих аргументы функции косвенного измерения.
Разложив функцию на ряд последовательных математических операций можно рассчитать её погрешность используя формулы для некоторых часто встречающихся на практике функциональных связей (табл. 1). Необходимо учитывать, что результаты, полученные по этим формулам, будут соответствовать модульному суммированию, т.е. в большинстве случаев завышены.
Таблица 1
Формулы погрешностей косвенных измерений
Функциональная связь Абсолютная
погрешность Относительная
погрешность
A=a1+a2ΔA=∆a1+∆a2δA=∆a1+∆a2a1+a2A=a1-a2ΔA=∆a1+∆a2δA=∆a1+∆a2a1-a2A=a1∙a2ΔA=δA∙AδA=δa1+δa2A=a1/a2ΔA=δA∙AδA=δa1+δa2A=a1nΔA=δA∙AδA=n∙δa1A=na1ΔA=A∙δAδA=δa1/nA=ea1ΔA=A∙∆a1δA=∆a1A=ln⁡(a1)ΔA=δa1δA=δa1/AA=sin⁡(a1)ΔA=cos⁡(a1)∙∆a1δA=ctg(δa1) ∙∆a1A=cos⁡(a1)ΔA=sin⁡(a1)∙∆a1δA=tg(δa1) ∙∆a1A=tg⁡(a1)ΔA=∆a1/cos⁡(a1)2δA=2∆a1/sin⁡(2a1)Погрешность косвенных измерений функции, как правило, больше погрешности прямых измерений её аргументов. Однако в некоторых частных случаях это правило может нарушаться. Рассмотрим такой частный случай на примере измерения периода колебаний
Пример: Пусть при прямом измерении периода колебаний с помощью секундомера получено значение Т=2,0±0,2 с. Тем же секундомером период можно измерить косвенно, зафиксировав время t=200±0.2 с. за которое совершилось N=100 колебаний. Тогда период T=t/N, т.е. Т=2.000±0,002 с. Говорить о том, что в данном случае полная погрешность измерения меньше инструментальной погрешности некорректно, так как речь идет об измерении разных величин, а именно: прямом измерении времени и косвенном измерении периода. Последний вид измерений непосредственно не связан с инструментальной погрешностью.
1.3 Определение корреляции величин
Корреляция (от лат. correlatio), корреляционная зависимость – взаимозависимость двух или нескольких случайных величин. Суть ее заключается в том, что при изменении значения одной переменной происходит закономерное изменение (уменьшению или увеличению) другой переменной.
При расчете корреляций пытаются определить, существует ли статистически достоверная связь между двумя или несколькими переменными в одной или нескольких выборках. Например, взаимосвязь между открытой пористостью бетона и его морозостойкостью.
Показателем корреляции является коэффициент корреляции (r), он характеризует величину отражающую степень взаимосвязи двух переменных между собой. Он может варьировать в пределах от -1 (отрицательная корреляция) до +1(положительная корреляция). Если коэффициент корреляции равен 0 то, это говорит об отсутствии корреляционных связей между переменными. Причем если коэффициент корреляции ближе к 1 (или -1) то говориться о сильной корреляции, а если ближе к 0, то о слабой (рис. 2).
При положительной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному увеличению (или уменьшению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-увеличение (уменьшение-уменьшение).
При отрицательной корреляции увеличение (или уменьшение) значений одной переменной ведет к закономерному уменьшению (или увеличению) другой переменной т.е. взаимосвязи типа увеличение-уменьшение (уменьшение-увеличение).
Коэффициент корреляции рассчитывается по формуле:
(6)
где ah и aj – величины, между которыми оценивается корреляция; ahi, aji, - результаты i-го измерения (отсчета) рассматриваемых величин; n - число измерений (отсчетов).
Отсутствие корреляции, во многих случаях, можно определить аналитически, путем анализа факторов влияющих на изменение оцениваемых величин. Если на погрешности аргументов не связаны друг с другом корреляция маловероятна.
43899033988319r=0.3740r=0.37443863083212547r=10r=1449525644186r=-0.9970r=-0.997
Рис. 2 График функций (a) – с отрицательной корреляцией, (б) – с положительной корреляцией, (a) – с отсутствующей корреляцией
Критерием отсутствия корреляционной связи между погрешностями результатов измерений аргументов является выполнение неравенства:
(7)
где tq - коэффициент Стьюдента, соответствующий надежности (уровню значимости) P и числу степеней свободы f = n – 2 (табл. 2);

Таблица 2
Коэффициент Стьюдента
f  1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 20
P 0.95 12.7 4.3 3 2.8 2.6 2.4 2.4 2.3 2.3 2.1 2
0.99 63.7 9.9 6 4.6 4 3.7 3.5 3.4 3.2 2.8 2.8
Если измеряемая величина зависит от m аргументов, необходимо проверить отсутствие корреляционных связей между погрешностями всех парных сочетаний аргументов.
1.4 Математические операции с приближенными значениями
Числа, бывают двух родов. Одни в точности дают истинную величину, другие – только приблизительно. Первые называются точными, вторые – приближёнными. Часто мы сознательно берём приближённое число вместо точного, так как последнее нам не требуется. Во многих же случаях точное число невозможно найти. Результат любого измерения физической величины – это приближенное число.
Результат действия с приближёнными числами есть тоже приближённое число.
При использовании приближенных значений оперируют понятиями значимых чисел. Значащими цифрами называются все цифры числа, кроме нулей, стоящих впереди числа. Последнее значимое число – сомнительное, остальные – верные. Например, в числе 0,00174 три значащие цифры; в числе 0,02045 четыре значащие цифры; в числе 2300 – четыре; в числе 2,3·103 – две. Число значащих цифр некоторого числа называется его значностью.
Теория приближённых вычислений позволяет:
1) зная степень точности данных, оценить степень точности результатов ещё до выполнения действий;
2) брать данные с надлежащей степенью точности, достаточной, чтобы обеспечить требуемую точность результата, но не слишком большой, чтобы избавить вычисления от бесполезных расчётов;
3) рационализировать сам процесс вычисления, освободив его от тех выкладок, которые не окажут влияния на точные цифры результата.
Сложение и вычитание приближенных значений
Если не все данные числа заканчиваются на одном и том же разряде, то до выполнения сложения или вычитания следует произвести округление. Нужно удержать лишь те разряды, которые значимы у всех слагаемых. Остальные отбрасываются как бесполезные. При небольшом числе слагаемых все цифры суммы, кроме последней, будут верны. Последняя может быть сомнительной. Эту неточность можно свести к минимуму, если учесть влияние цифр следующего разряда (запасные цифры).
Пример.  Найти сумму 25,3 + 0,442 + 2,741.
Не округляя слагаемых, получим 28,483. Последние две цифры бесполезны, так как в первом слагаемом возможна неточность в несколько сотых. Округляя сумму до значимых цифр (т. е. до десятых долей), получаем 28,5.
Если произведём округление до точных цифр предварительно, то найдём без лишнего труда 25,3 + 0,4 + 2,7 = 28,4. Цифра десятых получилась на 1 меньше. Если же учесть и цифры сотых, получим 25,3 + 0,44 + 2,74 = = 28,48, т. е.  округлённо 28,5. Цифра 5 надёжнее, чем 4, хотя не исключена возможность, что первая цифра – именно 4.
Предельная абсолютная погрешность суммы не превышает суммы предельных абсолютных погрешностей отдельных слагаемых.
Произведение и деление приближенных значений
Предельная относительная погрешность произведения или деления не превышает сумму предельных относительных погрешностей аргументов.
Погрешность можно оценить проще (но зато грубее), чем по вышеуказанному способу. Эта оценка основана на следующем правиле.
Пусть перемножаются два приближённых числа, и пусть каждое имеет по k значащих цифр. Тогда (k-1)-я цифра произведения безусловно верна, а k-я цифра может быть сомнительной.
Пример. Перемножим приближённые числа 2,45 и 1,22, имеющие каждое по три значащих цифры. В произведении 2,9890 первые две цифры, безусловно, верны. Третья цифра может быть не вполне точной. Поэтому третью цифру следует удержать; четвёртую же цифру нет смысла сохранять. Округляя, имеем: 2,45 × 1,22 ≈ 2,99.
Практические выводы:
1.  Если перемножаются (делятся) приближённые числа с одним и тем же количеством значащих цифр, то в произведении следует удержать столько же значащих цифр. Последняя из удержанных цифр будет сомнительна.
2.  Если некоторые сомножители имеют больше значащих цифр, чем другие, то до умножения следует первые округлить, сохранив в них столько цифр, сколько имеет наименее точный сомножитель, или  ещё одну (в качестве запасной). Дальнейшие цифры удерживать бесполезно.
3. Если требуется, чтобы произведение двух чисел имело заранее данное число вполне надёжных цифр, то в каждом из сомножителей число точных цифр (найденных измерением или вычислением) должно быть на единицу больше. Если количество сомножителей больше двух и меньше десяти, то в каждом из сомножителей число точных цифр для полной гарантии должно быть на две единицы больше, чем требуемое число точных цифр. Практически же вполне достаточно взять лишь одну лишнюю цифру.
Ход работы
Оценить корреляцию данных.
Для этого необходимо определить коэффициент корреляции по формуле (6) и оценить корреляцию его по формуле (7).
Величина Отсчет r1 2 3 4 5 среднее аhаjВычислить погрешность косвенных измерений 3-мя способами:
Используя алгоритм вычисления производных измеряемой величины по её аргументам
Используя вычисление приращения измеряемой величины по её аргументам
Используя табличные значения расчёта погрешностей по основным математическим действиям.
Произвести ряд математических операций с приближенными значениями и оценить значимость полученных результатов с точностью до разряда.
Вариант для вычислений выдаются преподавателем в виде 2-х значного шифра, данные к расчёту принять по приложению А.

Защита работы
При защите работы студент должен предоставить оформленный отчет по лабораторной работе. Свободно владеть используемой терминологией и ориентироваться в результатах работы. Выполнять простейшие вычисления связанные с тематикой работы.
Ориентировочный перечень вопросов для самопроверки
Какие измерения называют косвенными
Метод определения погрешности при помощи частных производных (метод линеаризации)
Метод определения погрешности при помощи вычисления приращения измеряемой величины по её аргументам.
Определение погрешности при помощи формул расчета погрешности косвенных измерений для основных математических операций.
Оценка корреляции величин. Коэффициент корреляции.
Влияние корреляции погрешностей аргументов функциональной зависимости косвенного измерения на погрешность результата измерения.
Точные и приближенные числа. Значимость числа
Сложение и вычитание приближенных чисел
Умножение и деление приближенных чисел

Приложение АДанные для вычислений
Расчет корреляции:
Вариант 00 ah0.70 -0.03 -0.74 -1.00 -0.65
aj0.39 -1.06 -2.47 -3.00 -2.31
01 ah7.02 4.32 0.57 -3.33 -6.41
aj14.10 -0.14 4.64 -0.29 2.71
02 ah0.09 0.78 0.99 0.61 -1.00
aj-0.83 0.55 0.99 0.22 -1.29
03 ah0.88 0.54 0.07 -0.42 -0.80
aj-0.84 -0.48 0.00 0.48 0.84
04 ah-0.42 -0.50 -0.99 -0.40 -0.65
aj0.48 0.84 1.00 1.10 0.60
05 ah-1.00 1.00 0.09 0.78 0.40
aj-3.00 -2.31 -0.83 0.55 0.50
06 ah-7.92 -7.49 -5.23 -1.69 2.27
aj-0.45 1.85 -0.64 1.35 -0.86
07 ah2.00 1.00 -5.00 0.00 5.00
aj0.09 0.23 0.65 0.98 0.88
08 ah-0.99 -0.94 -0.65 -0.21 0.00
aj1.00 0.91 0.60 0.15 -0.35
09 ah1.01 0.06 -5.65 -0.21 5.00
aj-0.54 -2.79 -0.02 -1.56 0.86
10 ah0.56 1.91 -6.29 1.14 4.14
aj1.46 -1.79 -5.02 -1.56 5.86
11 ah0.64 2.14 -5.64 2.12 5.03
aj0.47 -2.72 -5.67 -1.77 5.86
12 ah1.64 3.05 -5.04 2.27 4.68
aj1.48 -2.66 -11.33 -1.98 10.86
13 ah1.53 0.49 -4.41 1.68 6.42
aj-0.41 -3.28 -7.58 -1.76 5.00
14 ah2.99 -1.30 -9.43 0.12 12.27
aj0.88 0.54 0.07 -0.42 -0.80
15 ah3.46 -4.02 -15.10 -1.65 18.13
aj2.52 3.59 -4.97 1.85 3.88
16 ah4.95 -6.68 -26.42 -3.64 28.98
aj4.05 4.08 -9.38 3.53 10.29
17 ah4.54 -9.96 -34.01 5.00 33.98
aj7.04 2.78 5.00 3.65 22.57
18 ah0.64 2.14 -5.64 2.12 5.03
aj0.88 0.54 0.07 -0.42 -0.80
19 ah0.88 0.54 0.07 -0.42 -0.80
aj4.54 -9.96 -34.01 5.00 33.98
20 ah0.70 -0.03 -0.74 -1.00 -0.65
aj0.56 1.91 -6.29 1.14 4.14
Продолжение приложения А Вариант
21 ah0.76 0.24 -2.20 0.84 3.21
aj7.80 3.03 2.80 4.49 25.78
22 ah3.82 1.22 -11.02 4.20 16.04
aj7.80 3.03 2.80 4.49 25.78
23 ah-3.98 -1.80 -13.82 -0.29 -9.73
aj7.80 3.03 2.80 4.49 25.78
24 ah-3.42 0.11 5.00 0.85 -5.59
aj7.04 2.78 5.00 3.65 22.57
25 ah4.38 3.14 7.80 5.34 20.19
aj14.35 3.98 -6.76 6.86 37.96
Расчет погрешности косвенных измерений:
Вариант
00 (25) 01 02 03
σ=5(P1+P2)(a+b)P1=100±1кНP1=100±1кНP1=-200±1кНP1=130±1кНP2=15,0±0,5 тсP2=15,0±0,5 тсP2=11,1±0,5 тсP2=15,5±0,5 тсa=150±1см2a=150±1см2a=150±1см2a=110±15см2a=0,4±0,1м2a=0,10±0,01м2a=0,20±0,02м2a=0,10±0,01м2Вариант
04 05 06
M=P1+P2B∙L28P1=200±1кПаP1=-200±1кПаP1=200±1кПаP2=15,5±0,5 тс/м2P2=15,5±0,5 тс/м2P2=-15,5±0,5 тс/м2B=200±1см2B=250±1см2B=200±5см2L=10,0±0,1м2L=15,2±0,2м2L=10,0±0,2м2Вариант
07 08 09
P=R∙a∙b-P0/πP0=3,00±0,01тсP0=5,55±0,01тсP0=3,00±0,04тсR=1,5±0,5 МПаR=1,55±0,15 МПаR=-2,5±0,4 МПаa=20±1см2a=10±1см2a=24±2см2b=10,5±0,5см2b=16,5±0,65см2b=14,5±0,5см2
Продолжение приложения АВариант
10 11 12
I=b∙h312+r2∙(b∙h)b=42±1смb=50±1смb=420±10смh=12±1смh=12,3±0,1смh=125±1смr=0,55±0,01мr=1,55±0,05мr=0,55±0,01мВариант
13 14 15
E=m∙(L1+L2)/t2m=3,00±0,01тm=300±2 тm=3,00±0,02тL1=12,5±0,5 мL1=1,00±0,05 мL1=1,50±0,05 мL2=12,5±0,1 мL2=5,05±0,01 мL2=5,05±0,01 мt=10,5±0,5 сt=10,5±0,1 сt=10,5±0,4 сВариант
16 17 18
f=5384q∙l3E∙Iq=5,0±0,1тс/мq=10,1±0,1тс/мq=105±1кН/мl=12±0,05 мl=12±0,05 мl=1200±5 смE=2,06∙105±0,01∙105МПаE=2,06∙105±0,02∙105МПаE=1,0∙104±0,1∙104МПаI=20000±200см4I=30000±100см4I=20000±500см4Вариант
19 20 21
V=V1∙2+πR2hV1=300±5 см3V1=0,13±0,02 м3V1=300±30 см3R=0,105±0,005 мR=0,500±0,005 мR=0,105±0,005 мh=20±1смh=20±1смh=0,25±0,02мВариант
22 23 24
L=L0+L0∙α∙(t1-t2)L0=35,00±0,01мL0=105,0=±0,1мL0=50,00±0,1мα=12∙10-6±1∙10-6 0С-1α=10∙10-6±1∙10-6 0С-1α=11∙10-6±2∙10-6 0С-1t1=20±10Сt1=-20±10Сt1=20±10Сt2=50±10Сt2=50±10Сt2=-50±10СПродолжение приложения АОценка точности вычислений приближенных значений:
Вариант
0 (25) 1 2 3
σ=5(P1+P2)(a+b)P1=100кНP1=100кНP1=-200кНP1=130кНP2=15,0тсP2=15,0 тсP2=11,1 тсP2=15,5 тсa=150см2a=150см2a=150см2a=110см2a=0,4м2a=0,10м2a=0,20м2a=0,10м2Вариант
4 5 6
M=P1+P2B∙L28P1=200кПаP1=-200кПаP1=200кПаP2=15,5 тс/м2P2=15,5 тс/м2P2=-15,5тс/м2B=200см2B=250см2B=200см2L=10,0м2L=15,2м2L=10,0м2Вариант
7 8 9
P=R∙a∙b-P0/πP0=3,00тсP0=5,55тсP0=3,00тсR=1,5 МПаR=1,55 МПаR=-2,5 МПаa=20см2a=10см2a=24см2b=10,5см2b=16,5см2b=14,5см2Вариант
10 11 12
I=b∙h312+r2∙(b∙h)b=42смb=50смb=42∙101смh=12смh=12,3смh=125смr=0,55мr=1,55мr=0,55м
Продолжение приложения АВариант
13 14 15
E=m∙(L1+L2)/t2m=3,00тm=300 тm=3,00тL1=12,5 мL1=1,00 мL1=1,50 мL2=12,5 мL2=5,05 мL2=5,05 мt=10,5 сt=10,5 сt=10,5 сВариант
16 17 18
f=5384q∙l3E∙Iq=5,0тс/мq=10,1±0,1тс/мq=105±1кН/мl=12,00 мl=12,00 мl=1200смE=2,06∙105МПаE=2,06∙105МПаE=1,0∙104МПаI=200∙102см4I=300∙102см4I=200∙102см4Вариант
19 20 21
V=V1∙2+πR2hV1=300 см3V1=0,13 м3V1=30∙101 см3R=0,105 мR=0,500 мR=0,105 мh=20смh=20смh=0,25мВариант
22 23 24
L=L0+L0∙α∙(t1-t2)L0=35,00мL0=105,0=±0,1мL0=50,00±0,1мα=12∙10-6 0С-1α=10∙10-60С-1α=11∙10-6±0С-1t1=200Сt1=-200Сt1=200Сt2=500Сt2=500Сt2=-500С

Приложенные файлы

  • docx 3960717
    Размер файла: 168 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий