вводный курс по алгебре для подготовки к ЕГЭ


Захаров В.С.
ЕГЭ часть С. Вводный курс по алгебре.
Екатеринбург
2012


Введение
Данное методическое пособие состоит из 7 уроков и содержит более 250 задач.
У данной книги есть преимущества по сравнению с обычным репетитором. Важным моментом является то, что решения всех задач пособия есть в видео формате. С ними Вы можете ознакомиться на сайте . Кроме того, данная книга всегда у Вас под рукой и вы можете заниматься в любое удобное время. Это приводит к тому, что Вам не надо осваивать материал за жестко отведенный промежуток времени и вы можете вернуться к необходимому материалу неоднократно.
Как работать с пособием? Все очень просто. Все уроки устроены одинаково. Сначала идет теоретическая справка, состоящая из напоминания основных фактов, теорем и формул, а также алгоритмов решения задач. Прежде всего, Вы должны хорошо освоить эту часть урока.
Когда Вы заучите вводную часть, переходите к практической части. Попытайтесь решать задачи самостоятельно и только если Вы попробовали все способы и все равно не смогли ее решить, посмотрите урок с моим решением. Постарайтесь понять весь ход решения и воспроизвести его самостоятельно. Старайтесь оформлять задачи также как и я.
В конце урока дается домашнее задание. Не переходите к следующему уроку пока не решите домашнее задание и не получите за него положительную оценку.
Как выставлять себе оценку? Если задача решена абсолютно верно, что означает верный ответ, верный рисунок и все выкладки, то ставьте себе отметку +. Если есть незначительная ошибка, т.е.
-арифметическая ошибка, повлиявшая на менее, чем треть ответа, или
-пропущено доказательство одного из свойств в геометрической задаче при верном ответе, или
-пропущено рассмотрение случая, который мог повлиять на ответ, но не повлиял,
то поставьте себе оценку ±(плюс-минус).
Если ход решения правильный, но из за ошибок по невнимательности получено менее 23, но не менее половины правильного ответа, или
- если найдена основная идея, упрощающая геометрическую задачу, или
-не доказано главное свойство, упрощающее задачу, но с его использованием получен правильный ответ,
То поставьте оценку ∓ минус-плюс.Оценка за урок и за домашнее задание выставляется стандартным образом. Это означает, что
-если у Вас 90% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс –минуса), Вы ставите себе 5.
-если у Вас 75% чистых плюсов ( в число которых можно включить два плюс-минуса), то оценка 4.
-если у Вас 50% чистых плюсов, то оценка 3.
-все остальное 2.
Занятие 1. Рациональные неравенства
Теоретическая справка
-183370928Блок 1. Метод интервалов
Неравенство называется рациональным, если левая и правая его части являются суммами отношений многочленов. Одним из самых мощных методов решения неравенств. Для этого неравенство приводится к виду
(x-x1)p1(x-x2)p2…(x-xk)pk(x-xk+1)pk+1…(x-xm)pm≥0,
где pm – кратность корня xm.При этом важно, чтобы разность имела вид (x-xm), а не (xm-x). Затем рисуется числовая ось. И расставляются знаки + - справа на лево. Причем если кратность корня четная смена знака не происходит.
00Блок 1. Метод интервалов
Неравенство называется рациональным, если левая и правая его части являются суммами отношений многочленов. Одним из самых мощных методов решения неравенств. Для этого неравенство приводится к виду
(x-x1)p1(x-x2)p2…(x-xk)pk(x-xk+1)pk+1…(x-xm)pm≥0,
где pm – кратность корня xm.При этом важно, чтобы разность имела вид (x-xm), а не (xm-x). Затем рисуется числовая ось. И расставляются знаки + - справа на лево. Причем если кратность корня четная смена знака не происходит.

Задача 1. Решить неравенство 3x-14-3x-28-1>5-3x2.
Задача 2. Решить неравенства
2.1 3x 2+4≥2xx 2+4 2.2 25x-4≤35x-4.
Задача 3. Решить неравенства
3.1 54x2-9>0 3.2 9x2-12x2+5≤0
3.3 3x2+1116-x2≥0 3.4 4x2-25≥325-x2.
Задача 4. Решить неравенства
4.1 x2-x-62x2+9≥0 4.2 2x2-2x-24<3x2-2x-24Задача 5. Решить неравенства
5.1 2x23x+7≥0 5.2 (x-3)2x2-16≤0
5.3 16-x2(x+5)2>0 5.4 x3-9x2+20xx-4≤0.
Задача 6. Решить неравенство (x3-27)(x2-6x+9)x2+x-2≥0.
Задача 7. Решить неравенство x2x2+2x+1≥-xx2-2x-3.
Домашнее задание
Задача 1. Решить неравенства
1.1 2x2+5≤5xx2+5 1.2 3x2+13-2x<0
1.3 2x25x-4>-35x-4 1.4 x2+34x+5≤24x+5Задача 2. Решить неравенства
2.1 325x2-4≤0 2.2 4x2-12x2+3>0
2.3 2x2-81≤5x2-81 2.4 4x236x2-49<-936x2-49Задача 3. Решить неравенства
3.1 x-2x2-6x-40≤0 3.2 x2-5x+4x2-2>0
3.3 5x-x2+10x2+5x+10<0 3.4 x2+2x-3x2-6x+5≤0Задача 4. Решить неравенства
4.1 2x22x+5≤0 4.2 (x+7)2x2-36≤0
4.3 25-x2(x-4)2≥0 4.4 (x-1)(x+2)(x-3)2(x+4)2(x-5)3≤0.
Задача 5. Решить неравенства
5.1 x2+2x-2x-3≥1 5.2 x2+3x-3x+2≤3
5.3 x-2x+2≥2x-34x-1 5.4 2x2-x+1-1x+1≥2x-1x3+1Занятие 2. Уравнения и неравенства с модулем
Теоретическая справка
-62217190644Блок 2. Модуль величины и его свойства
Определение. а=а, если а≥0, -а, если а≤0.Примеры.
|5|=5.
|-10|=10.
|π-3|=π-3.
Свойства модуля величины
|а|≥0.
|-а|=|а|.
|а|=0 <=> а=0.
а2=а2.а2=а.
ab=|a||b|.
Место для формулы.00Блок 2. Модуль величины и его свойства
Определение. а=а, если а≥0, -а, если а≤0.Примеры.
|5|=5.
|-10|=10.
|π-3|=π-3.
Свойства модуля величины
|а|≥0.
|-а|=|а|.
|а|=0 <=> а=0.
а2=а2.а2=а.
ab=|a||b|.
Место для формулы.
hhhh-62218243349Блок 3. Самые простые схемы
fx≤A ⬄ (fx-A)(fx+A)≤0
fx≥A ⬄ f(x)≥Afx≤-A
fx=A ⬄ fx=Afx=-A
Примеры.
|3x+5|≥4
3x+5≥43x+5≤-4 3x≥-13x≤-9 x≥-13x≤-3Ответ. x∊-∞;-3∪-13;+∞.


00Блок 3. Самые простые схемы
fx≤A ⬄ (fx-A)(fx+A)≤0
fx≥A ⬄ f(x)≥Afx≤-A
fx=A ⬄ fx=Afx=-A
Примеры.
|3x+5|≥4
3x+5≥43x+5≤-4 3x≥-13x≤-9 x≥-13x≤-3Ответ. x∊-∞;-3∪-13;+∞.




-190529845 2. x2-2x-7=4 x2-2x-7=4x2-2x-7=-4 ⬄x2-2x-11=0x2-2x-3=0⬄x=1±23x=-1, x=3. Ответ. x=1±23, x=-1, x=3.00 2. x2-2x-7=4 x2-2x-7=4x2-2x-7=-4 ⬄x2-2x-11=0x2-2x-3=0⬄x=1±23x=-1, x=3. Ответ. x=1±23, x=-1, x=3.lefttop1000000dt-1833249471Блок 4. Неравенства вида fx<gx, fx>gx.fx<gx ⬄ fx<g(x)fx>-g(x)fx>g(x) ⬄ fx>g(x)fx<-gx.00Блок 4. Неравенства вида fx<gx, fx>gx.fx<gx ⬄ fx<g(x)fx>-g(x)fx>g(x) ⬄ fx>g(x)fx<-gx.
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
1.1 x2-x-5=1 1.2 x2+5x+6=2
1.3 x-2=2 1.4 x2-x-2=0.
Задача 2. Используя блок 3, решить неравенства
2.1 x-1<3 2.2 x2+5x<6 2.3 x+12x-1 ≤1.Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1 x2-2x>1 3.2 x+32x-3≥1.
Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
4.1 |x2-4|<3x 4.2 x2-5x+9>|x-6|4.3 3x-2>2x+1 4.4 x+5≤|x2-3x|.
Задача 5. Решить неравенство x2-5x+4x2-4≤1.
Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 3, решить уравнения
x2-3x-4=2 1.2 x2-x-1=11.3 x-3=2 1.4 x+22=2x+2+3.
Задача 2. Используя блок 3. Решить неравенства
2.1 2x+5<4 2.2 |x2-2x-3|≤4 2.3 x2-3x+2x2+3x+2<1.Задача 3. Используя блок 3, решить неравенства
3.1 x+5>6 3.2 3x+1x-5≥1 3.3 2x-1x2-3≥3.Задача 4. Используя блок 4, решить неравенства
4.1 x-1>1,5-2x 4.2 x2-2x-3<3x-34.3 x2-3+2x+1≥0 4.4 x2+3x<x+44.5 4x2-1<x+2 4.6 2x+1≥x-14.7 x3-1≥1-x.
Задача 5. Решить двойное неравенство 1<|2x-5|≤3.Занятие 3. Уравнения и неравенства с модулем
Теоретическая справка
-44450103505Блок 5. Уравнение вида fx=gxСуществует два подхода при решении данного уравнения.
Способ 1. Если f(x) проще, чем g(x), то применяется следующая схема:
fx=gx⬄f(x)≥0fx=g(x)f(x)≤0fx=-gx.
Способ 2. Если g(x) проще, чем f(x), тогда применяется следующая схема:
fx=gx⬄fx=±g(x)g(x)≥0.
00Блок 5. Уравнение вида fx=gxСуществует два подхода при решении данного уравнения.
Способ 1. Если f(x) проще, чем g(x), то применяется следующая схема:
fx=gx⬄f(x)≥0fx=g(x)f(x)≤0fx=-gx.
Способ 2. Если g(x) проще, чем f(x), тогда применяется следующая схема:
fx=gx⬄fx=±g(x)g(x)≥0.

-44964306346Блок 6. Метод интервалов при решении уравнений и неравенств с модулем
На числовой прямой отметьте нули всех подмодульных выражений.
Определить знак каждого из этих выражений на каждом из промежутков.
Раскрыть модули на каждом из промежутков и решить полученное уравнение ( неравенство).
Из полученных решений выбрать только те, которые этому промежутку принадлежат.
Объединить ответы из всех промежутков.
00Блок 6. Метод интервалов при решении уравнений и неравенств с модулем
На числовой прямой отметьте нули всех подмодульных выражений.
Определить знак каждого из этих выражений на каждом из промежутков.
Раскрыть модули на каждом из промежутков и решить полученное уравнение ( неравенство).
Из полученных решений выбрать только те, которые этому промежутку принадлежат.
Объединить ответы из всех промежутков.


-1833125299Блок 7. Неравенства вида fx-|g(x)|∨0Под знаком ∨ мы будем понимать любой из знаков <,≤,≥,>. Домножим обе части неравенства fx-|g(x)|∨0 на положительное выражение
fx+|g(x)|, тогда
(fx-gx) (fx+gx)∨0 ⬄f(x)2-g(x)2∨0⬄
⬄(fx-gx)(fx+gx)∨0.
00Блок 7. Неравенства вида fx-|g(x)|∨0Под знаком ∨ мы будем понимать любой из знаков <,≤,≥,>. Домножим обе части неравенства fx-|g(x)|∨0 на положительное выражение
fx+|g(x)|, тогда
(fx-gx) (fx+gx)∨0 ⬄f(x)2-g(x)2∨0⬄
⬄(fx-gx)(fx+gx)∨0.

Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения
x+3=23-x 1.2 x+3=x2+x-61.3 x-1=x2-3x-2 1.4 x2+x-3=x
1.5 x2+x-1=2x-1.
Задача 2. Используя блок 6, решить уравнения
2.1 2x+1x-3x-4=0 2.2 xx+8x-5=02.3 x2-5xx-3x-3-14=0 2.4 x2-3x+1=1.Задача 3. Используя блок 6, решить уравнения
3.1 x-2x+2=6 3.2 x+2-x-4=43.3 |x2-4|-|x2-9|=5 3.4 x2-3x+2+x2-5x+6=2.
Задача 4. Используя блок 6, решить неравенства
4.1 3x-2x<1 4.2 x2-5x+6>04.3 x-1+|x+1|≤4.
Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 5, решить уравнения
x2-1+x+1=0 1.2 2x+x2-3=-(1-x)(3+x)1.3 x2-2x=3-2x 1.4 3x2-x=8+x
1.5 x-3=-x2+4x-3 1.6 x2+x2+3x-4=-3x+4.
Задача 2. Используя блок 6, решить уравнения
2.1 x-2x-6x+8=0 2.2 x2+2x+3|x-1|x-1=02.3 x2+5x-6|x-2|=2.
Задача 3. Используя блок 6, решить уравнения
3.1 x-1+x+2-2x=1 3.2 x-3+2x+1=43.3 x+5+x-8=13 3.4 x+x-2+2x-1=4x-13.5 x2-x+x2-3x+2=2 3.6 x+1-12x-4+x-8=1.Задача 4. Используя блок 6, решить неравенства
4.1 2x2-3x+1≤0 4.2 1+2x-x+2<24.3 x+3-12x+4-4≤1 4.4 2x+1-x-1>34.5 |x+3|x2+5x+6>2.Задача 5. Используя блок 7, решить неравенства
5.1 3x-2>|2x+1| 5.2 |x+4-x2|≤|x2-5x+4|5.3 2x2+x-1>x+1.
Задача 6. Решить неравенство |x2-5|x|+4|≥2x2-3x+1.Занятие 4. Иррациональные уравнения и неравенства
Теоретическая справка
-10459199270Блок 8. Уравнения вида f(x)=g(x)f(x)=gx fx=g2(x)g(x)≥0.
Пример. Решить уравнение 12-x=x.Решение. 12-x=x2x≥0⬄x2+x-12=0x≥0⬄x=-4x=3x≥0.x=-4 – посторонний корень.
Ответ. x=3.
00Блок 8. Уравнения вида f(x)=g(x)f(x)=gx fx=g2(x)g(x)≥0.
Пример. Решить уравнение 12-x=x.Решение. 12-x=x2x≥0⬄x2+x-12=0x≥0⬄x=-4x=3x≥0.x=-4 – посторонний корень.
Ответ. x=3.

69858486140Блок 11. Неравенства видаf(x)≥gx,fx>gx f(x)≥gx ⬄f(x)≥g2(x)g(x)≥0f(x)≥0gx<0
f(x)>gx ⬄fx>g2(x)g(x)≥0f(x)≥0gx<0
Пример. Решить неравенство x2+7x+12>6-x.
Решение.
6-x≥0x2+7x+12>(6-x)26-x<0x2+7x+12≥0 ⬄x≤6x>2419x>6x≤-4x≥-3⬄x∊(2419;+∞).
Ответ. x∊(2419;+∞).00Блок 11. Неравенства видаf(x)≥gx,fx>gx f(x)≥gx ⬄f(x)≥g2(x)g(x)≥0f(x)≥0gx<0
f(x)>gx ⬄fx>g2(x)g(x)≥0f(x)≥0gx<0
Пример. Решить неравенство x2+7x+12>6-x.
Решение.
6-x≥0x2+7x+12>(6-x)26-x<0x2+7x+12≥0 ⬄x≤6x>2419x>6x≤-4x≥-3⬄x∊(2419;+∞).
Ответ. x∊(2419;+∞).-104605691685Блок 10. Неравенства вида f(x)≤gx,fx<gx f(x)≤gx ⬄f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0
f(x)<gx ⬄fx<g2(x)f(x)≥0g(x)≥0 ↘
00Блок 10. Неравенства вида f(x)≤gx,fx<gx f(x)≤gx ⬄f(x)≤g2(x)f(x)≥0g(x)≥0
f(x)<gx ⬄fx<g2(x)f(x)≥0g(x)≥0 ↘
-104602732824Блок 9. Уравнение вида f(x)=g(x)f(x)=g(x) ⬄fx=g(x)f(x)≥0⬄fx=g(x)g(x)≥0
Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ!
Пример. Решить уравнение x+2=2x-5Решение. x+2=2x-5x+2≥0⬄x=7x≥-2Ответ. x=7.
00Блок 9. Уравнение вида f(x)=g(x)f(x)=g(x) ⬄fx=g(x)f(x)≥0⬄fx=g(x)g(x)≥0
Решаем ту эквивалентную систему, которая ПРОЩЕ!
Пример. Решить уравнение x+2=2x-5Решение. x+2=2x-5x+2≥0⬄x=7x≥-2Ответ. x=7.

-27940-5368↘ Пример. Решить неравенство x+7<xРешение.
x+7<x2x≥0x+7≥0⬄x2-x-7>0x≥0xx∊1+292;+∞.
Ответ. x∊1+292;+∞.
00↘ Пример. Решить неравенство x+7<xРешение.
x+7<x2x≥0x+7≥0⬄x2-x-7>0x≥0xx∊1+292;+∞.
Ответ. x∊1+292;+∞.

Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения
7-x=x-1x2+8=2x+14+2x-x2=x-24+x18-x2=x-2.Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения
2.1 5x-1-3x+19=02.2 6x2+2x-14=x2-x-6.Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства
3.1 x2-3x-10<8-x3.2 x+4>24-x23.3 (x-6)(x-12)<x-1.Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства
4.1 24-5x≥x4.2 1-4x>2x+14.3 2x-x2>4-x4.4 x2-5x-24≥x+2.Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 8, решить уравнения
5x-1=x+135-5x+2x=98x2-7=3x-42x2+8x+7-2=x1+xx2+42=x+1.Задача 2. Используя блок 9, решить уравнения
2.1 x2-5x+1=x-42.2 8-5x=x2-162.3 6x2+2x-10=x2-x-2.Задача 3. Используя блок 10, решить неравенства
3.1 7+3x<1-x3.2 6x+4≤3x-23.3 x2-x-1≤2x+33.4 4x-x2<4-x3.5 5-|x+1|≤2+x.
Задача 4. Используя блок 11, решить неравенства
4.1 2x-x2+1≥2x-34.2 x2-3x+2-3-x>04.3 x+4<-x2-8x-124.4 2x2+5x-6>2-x4.5 x2-4x>x-3.Занятие 5. Иррациональные уравнения и неравенства
-19086334286Блок 12. Неравенства вида f(x)≤gx, fx<gxf(x)≤gx ⬄f(x)≥0f(x)≤g(x)
f(x)<gx ⬄f(x)≥0fx<g(x)
Общее правило. Знак разности совпадает со знаком разности fx-gx на ОДЗ:
fx-gx∨0 ⬄fx-g(x)∨0f(x)≥0g(x)≥0Пример. Решить неравенство x2-3x+1≥3x-4.
Решение. x2-3x+1≥3x-43x-4≥0⬄(x-5)(x-1)≥0x≥43⬄x≥5.Ответ. x∊5;+∞.00Блок 12. Неравенства вида f(x)≤gx, fx<gxf(x)≤gx ⬄f(x)≥0f(x)≤g(x)
f(x)<gx ⬄f(x)≥0fx<g(x)
Общее правило. Знак разности совпадает со знаком разности fx-gx на ОДЗ:
fx-gx∨0 ⬄fx-g(x)∨0f(x)≥0g(x)≥0Пример. Решить неравенство x2-3x+1≥3x-4.
Решение. x2-3x+1≥3x-43x-4≥0⬄(x-5)(x-1)≥0x≥43⬄x≥5.Ответ. x∊5;+∞.Теоретическая справка
-190864248066Блок 13. Метод расщепления
fxgx=0⬄fx=0gx-определена gx=0f(x)≥0
fxgx≥0⬄fx=0gx-определена gx≥0fx>0
fxgx≤0⬄fx=0gx-определена gx≤0fx>0
Аналогичные схемы можно привести и для нестрогих неравенств.
00Блок 13. Метод расщепления
fxgx=0⬄fx=0gx-определена gx=0f(x)≥0
fxgx≥0⬄fx=0gx-определена gx≥0fx>0
fxgx≤0⬄fx=0gx-определена gx≤0fx>0
Аналогичные схемы можно привести и для нестрогих неравенств.

-27712263321Блок 14. Две основных теоремы
Определение. Два уравнения f1x=g1x и f2x=g2x называются равносильными на множестве M, если совпадают множества их корней, принадлежащие M. Определение. Если множество корней уравнения f2x=g2x содержит множество корней уравнения f1x=g1x, то уравнение f2x=g2x называется следствием уравнения f1x=g1x.
Теорема1. Уравнение fx2n=gx2n, n∊N, является следствием уравнения fx=gx. Теорема 2. Пусть для любого x∊M fx≥0 и gx≥0. Тогда уравнения fx=gx и fx2n=gx2n , n∊N, равносильны на множестве M.00Блок 14. Две основных теоремы
Определение. Два уравнения f1x=g1x и f2x=g2x называются равносильными на множестве M, если совпадают множества их корней, принадлежащие M. Определение. Если множество корней уравнения f2x=g2x содержит множество корней уравнения f1x=g1x, то уравнение f2x=g2x называется следствием уравнения f1x=g1x.
Теорема1. Уравнение fx2n=gx2n, n∊N, является следствием уравнения fx=gx. Теорема 2. Пусть для любого x∊M fx≥0 и gx≥0. Тогда уравнения fx=gx и fx2n=gx2n , n∊N, равносильны на множестве M.
Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства
x+2>8-x23x+1<x+34x2-4x+2≥1+x-2x2.Задача 2. Используя блок 13, решить уравнения
2.1 2x-32x2-5x+2=0
2.2 3x+49x2+21x+10=0.
Задача 3. Используя блок 13, решить неравенства
3.1 (3x+10)x-4≤03.2 (x+2)(4-x)(5-x)≥03.3 x+8x2-5x+4>03.4 (x2-9)25-x2<0.Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства
4.1 8-2x-x2x+10≤8-2x-x22x+94.2 2-x-x2x-4≥2-x-x22x+11.
Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства
5.1 x+3+3x-2≤75.2 3x-x+3>15.3 x+3+x+2-3x+7>0.
Домашнее задание
Задача 1. Используя блок 12, решить неравенства
2x-1≥x+4x+1>x-12x2+6x+3≥-x2-4x8-xx-10≤22-x2-3+x<x+4.Задача 2. Используя блок 13, решить уравнения
2.1 x-3x2-5x+4=2x-62.2 x+116x+17=(x+1)(8x-23)2.3 x+42x-4=x+4x-1.Задача 3. Используя блок 13, решить неравенства
3.1 (x+2)(4-x)(5-x)≥03.2 x-12x-3)≤03.3 (x+2)2(x-1)2x-7≥03.4 2x2+15x-1710-x≥0.
Задача 4. Используя блок 13, решить неравенства
4.1 12-x-x22x-7≤12-x-x2x-54.2 6+x-x22x+5≥6+x-x2x+4.
Задача 5. Используя блок 14, решить неравенства
5.1 x+3+x+15<65.2 x-6-10-x≥15.3 x+3+x+2-3x+7>0.Занятие 6. Смешанные уравнения и неравенства
Задача 1. Решить уравнение 4-7x|x+2|=3x+2.Задача 2. Решить неравенство x2+x-4-18>x-4.Задача 3. Решить неравенство x-3≤3-x-6.Задача 4. Решить неравенство 3x+1-3≥x2-2x-3.Задача 5. Решить неравенство x-2x+2+|2x+3-x|≤7.Домашнее задание
Задача 1. Решить уравнение 3x+4=5-2x+2.Задача 2. Решить уравнение 2-x2=x-1.Задача 3. Решить неравенство x2+x+4≤2x+3x-2.Задача 4. Решить неравенство 1-8x-2≤x+1.Задача 5. Решить неравенство x2-5+3>x-1.Задача 6. Решить неравенство 2x2-x-2≥x+1-2.Задача 7. Решить неравенство x-2x-3+x-x-2>6. Занятие 7. Метод декомпозиции
Теоретическая справка
-49353935368Блок 15. Метод декомпозиции.
Введем два важных понятия: базовая функция и её эквивалент.
Базовая функция-это такое выражение, при замене которого на эквивалент, множество решений неравенства не изменится.
Ниже приведен список базовых функций и их эквивалентов. Впоследствии мы его значительно расширим.
Базовая функция Эквивалент
1. |t|1. t22. t1-|t2|2. t12-t223. at2+bt+c3. a, при D<0
4. t1-t24. t1-t2, при t1≥0,t2≥05. t1-t25. t12-t2, при t2≥06.t-(at2+bt+c) 6. t2-at2+bt+c2, при D<0.Основная идея метода декомпозиции
Если левая часть неравенства представляет собой выражение вида
f1f2…fnu1u2…um∨0 , где fn и um-базовые функции, а под знаком ∨ будем понимать любой из знаков <,≤,≥,>, тогда все базовые функции левой части можно заменить соответствующими эквивалентами.
00Блок 15. Метод декомпозиции.
Введем два важных понятия: базовая функция и её эквивалент.
Базовая функция-это такое выражение, при замене которого на эквивалент, множество решений неравенства не изменится.
Ниже приведен список базовых функций и их эквивалентов. Впоследствии мы его значительно расширим.
Базовая функция Эквивалент
1. |t|1. t22. t1-|t2|2. t12-t223. at2+bt+c3. a, при D<0
4. t1-t24. t1-t2, при t1≥0,t2≥05. t1-t25. t12-t2, при t2≥06.t-(at2+bt+c) 6. t2-at2+bt+c2, при D<0.Основная идея метода декомпозиции
Если левая часть неравенства представляет собой выражение вида
f1f2…fnu1u2…um∨0 , где fn и um-базовые функции, а под знаком ∨ будем понимать любой из знаков <,≤,≥,>, тогда все базовые функции левой части можно заменить соответствующими эквивалентами.

Задача 1. Решить неравенство x2-7x+10x2-6x+9<0.Задача 2. Решить неравенство x+2-|x|4-x3>0.Задача 3. Решить неравенство 3x+5-x+3x-4-x2-2<0.Задача 4. Решить неравенство x+2-|x-2|8-x-|x-2|≥1.Задача 5. Решить неравенство
x+7xx2-10x+25-110-x-12≥8x2-10x+25-110-x-12.Домашнее задание
Задача 1. Решить неравенство x2-7x+12x2-10x+25<0.Задача 2. Решить неравенство 3x+4-x+18x-5-3x+2 <0.Задача 3. Решить неравенство x+3-x2-2x-3≥0.Задача 4. Решить неравенство 3x+2-2x+14-x>0.Задача 5. Решить неравенство 2x2-3x-5x-2<x+1Задача 6. Решить неравенство x+2-2x+12x+3-12+4x≥0. Задача 7. Решить неравенство
x+9xx2-8x+16-113-x-12≥10x2-8x+16-113-x-12.Дополнительные задачи
Задача 1. (x-1)(x+2)(x-3)2(x+4)2(x-5)2≤0.
Задача 2. x2-5x+4x2-2>0.
Задача 3. (x3-27)(x2-6x+9)x2+x-2≥0.
Задача 4. x2+2x-2x-3≥1.
Задача 5. x2-2x+3x2-4x+3≥-3.
Задача 6. x-2x+2≥2x-34x-1.
Задача 7. x-5x+4x2+6x+9≥0.Задача 8. (x2-10x+21)(x2-6x-7)(x2+5x+6)(x2-4)≤0.Задача 9. 1x<1.Задача 10. 5x+84-x<2.Задача 11. 2xx2-9≤1x+2.Задача 12. 7(x-2)(x-3)+9x-3+1<0.Задача 13. 2x2+2x+1-15x2+x+1<0.Задача 14. 2x-3=7.Задача 15. x+2=2.Задача 16. |x2-x-2|x+1=3.Задача 17. x2+x-3=x.Задача 18. 5x+2=3-3x.Задача 19. x-x-x-1=12.Задача 20. x-x-2=2.Задача 21. x+3x+2+2x-1=5.Задача 22. x2-4x+3x2+|x-5|=1.Задача 23. 2x-1<3.Задача 24. x2+3x<x+4.Задача 25. x2-6x+8<5x-x2.Задача 26. 2x+1≥x-1.Задача 27. x2+3x≥2-x2.Задача 28. x+2<x-2.Задача 29. |24x2-39x-8|≤18x2-25x+32.Задача 30. x-2x+1+3|x+2|≥4.Задача 31. 4-x-xx-6-2>2.Задача 32. 2-x<2x.Задача 33. |x2-5|x|+4|≥2x2-3x+1.Задача 34. 2x-9=6-x.Задача 35. x2-4x+5=x-1.Задача 36. 2x2-7x+5=1-x.Задача 37. 5x-1=1-x.Задача 38. 3+5-x=x.Задача 39. 1+1+xx2-34=x.Задача 40. x+1x2+x-2=2x+2.Задача 41. x-1x2-x-6=6x-6.Задача 42. 2x-4-x+5=1.Задача 43. 3x+1+16-3x=5.Задача 44. 4x+8-3x-2=2.Задача 45. 2x-1-x+2-5x-10=0.Задача 46. 2x-34x-1≥x-2x+2.Задача 47. x+4≤x+46.Задача 48. x-3<x+27.Задача 49. x2-x-2≤x-1.
Задача 50. x2-3x-18<4-x.Задача 51. x2+3x+3<2x+1.Задача 52. 3-2x-x2x+8≤3-2x-x22x+1.Задача 53. (x-1)x2-x-2≥0.Задача 54. (x2+3x-10)2x2+5x+2≥0.Задача 55. 3x+2≤6-x-2.Задача 56. x2+2x2-1+x2-2x2-1≤2.Задача 57. x3+x2-4x+1≥x-2.Задача 58. (x-1)2+4(x+1)22≤(3x+1)24x3+37(x+4)3≥1+1(x+4)2Задача 59. (x2-5,6x+7,84)(x-2,5)≤01x-2+13-x≤5Задача 60. 2x2-2x+12x-1≤125x2-33-5x<30x-9Задача 61. 1x-1+2x-2-6x-3≥0x2+34≥6Задача 62. 1x2-7x+12+x-43-x6x-x2≤0Теоретические вопросы.
Какие равнения( неравенства ) называются равносильными?
Какие уравнения( неравенства) называются следствиями? Примеры.
Напишите равносильную систему для уравнения f(x)=gx. Надо ли проверять условие fx≥0? Примеры.
Опишите метод интервалов. Приведите примеры.
Дайте определение модуля числа. Основные свойства. Примеры.
Напишите равносильные схемы для следующих уравнений и неравенств fx≥A,fx≤A, fx=A. Примеры.
Уравнение вида fx=g(x). Два способа решения. Примеры.
Неравенства вида fx≤gx, fx≥gx. Примеры.
Использование метода интервалов при решении уравнений и неравенств с модулем.
Неравенства вида fx-gx∨0. Примеры.
Неравенства вида f(x)≤gx, fx<gx. Примеры.
Неравенства вида f(x)≥gx, fx>gx. Примеры.
Уравнение вида f(x)=g(x). Примеры.
Неравенства видаf(x)≤g(x). Примеры.
Метод расщепления- основные схемы. Примеры.
Две основных теоремы.
Метод декомпозиции- основная идея.
Базовые функции и их эквиваленты.
Квадратичная функция и ее график в зависимости от коэффициентов a и D.
Ответы.
Занятие 1.
Задачи. 1. x∊1,6; +∞. 2.1 x∊-∞;1,5. 2.2 x∊-∞;0,8∪0,8;+∞.3.1 x∊-∞;-1,5∪1,5;+∞. 3.2 x∊[-13; 13]. 3.3 x∊(-4; 4).
3.4 x∊-∞;-5∪5;+∞. 4.1 x∊-∞;-2∪3;+∞.
4.2 x∊-∞;-4∪6;+∞. 5.1 x∊-73; +∞. 5.2 x∊(-4; 4).
5.3 x∊(-4; 4). 5.4 x∊0;4∪4;5. 6. x∊(-2;1)∪[3;+∞). 7. x∊-∞;-1∪-1;0∪3;+∞.Домашнее задание. 1.1 x∊0,4;+∞. 1.2 x∊1,5;+∞. 1.3 x∊0,8;+∞.1.4 x∊-∞;-1,25. 2.1 x∊(-0,4;0,4). 2.2 x∊-∞;-0,5∪0,5;+∞.
2.3 x∊-∞;-9∪9;+∞. 2.4 x∊-76;76. 3.1 x∊(-∞;-4)∪[2;10).3.2 x∊-∞;-2∪1;2∪4;+∞. 3.3 x∊-∞;5-652∪5+652;+∞.3.4 x∊-3;1∪(1:5) 4.1 x∊-∞;-2,5. 4.2 x∊(-6;6).
4.3 x∊-5;-4∪-4;5. 4.4 x∊-∞;-4∪-4;-2∪[1;5).5.1 x∊3; +∞. 5.2 x∊-∞;-3∪-2;3. 5.3 x∊-∞;-2∪0,25;1∪4;+∞. 5.4 x∊-∞;-1∪-1;2.
Занятие 2.
Задачи. 1.1 x=-2, x=3, x=1±172. 1.2 x=-1, x=-4. 1.3 x=±4, x=0.1.4 x=±2. 2.1 x∊-2;4. 2.2 x∊-6;-3∪-2;1. 2.3 x∊0;0,5∪0,5;2. 3.1 x∊-∞;1-2∪1+2;+∞. 3.2 x∊0;1,5∪1,5;6.4.1 x∊1;4. 4.2 x∊-∞;1∪3;+∞. 4.3 x∊-∞;0,2∪3;+∞. 4.4 x∊-∞;-1∪5;+∞. 5. x∊0;1,6∪2,5;+∞.Домашнее задание. 1.1 x=3±332, x=3±172. 1.2 x=±1, x=0,x=3.1.3 x=±1, x=±5. 1.4 x=1, x=-5. 2.1 x∊(-4,5;-0,5)
2.2 x∊1-22;1+22. 2.3 x∊-2;-1∪0;+∞. 3.1 x∊-∞;-11∪1;+∞. 3.2 x∊-∞;-3∪1;5∪5;+∞. 3.3 x∊-1+313;-3∪-3;-43∪-1+313;3∪3;2. 4.1 x∊0,5;+∞. 4.2 x∊2;5.
4.3 x∊-∞;-1-3∪1-5;+∞. 4.4 x∊-1-5;-2∪ (-2;-1+5). 4.5 x∊-0,75;1. 4.6 x∊R. 4.7 x∊-∞;-1∪0;+∞.5. x∊1;2∪3;4.Занятие 3.
Задачи. 1.1 x=1. 1.2 x=±3. 1.3 x=-1,x=2+5. 1.4 x=1, x=3.1.5 x=1, x=17-32. 2.1 x=2. 2.2 x=-4+21 2.3 x=2,x=±7. 2.4 x=0, x=±1, x=±2, x=±3. 3.1 x∊⊘. 3.2 x=3.
3.3 x∊-∞;-3∪3;+∞. 3.4 x=1, x=3. 4.1 x∊-∞;1. 4.2 x∊-∞;-3∪-2;0. 4.3 x∊-2;2.
Домашнее задание. 1.1 x=-1. 1.2 x∊-∞;-3∪1;+∞. 1.3 x=1, x=-3. 1.4 x=2, x=-43. 1.5 x=2,x=3. 1.6 x∊-4;1. 2.1 x=4+22 x=-2±23. 2.2 x=-3. 2.3 x=-7±982. 3.1 x∊1;+∞. 3.2 x=-1.3.3 x∊-5;8. 3.4 x=1. 3.5 x=0, x=2. 3.6 x=8. 4.1 x∊-1;-0,5∪0,5;1. 4.2 x∊-53;3. 4.3 x∊-∞;-8∪-6;-2∪-2;+∞.
4.4 x∊-∞;-6∪23;+∞. 4.5 x∊-2;-1,5. 5.1 x∊-∞;0,2∪3;+∞. 5.2 ∊-∞;0∪2;3. 5.3 x∊-∞;-1∪-1;0∪0;+∞.
6. x∊-53;53.Занятие 4.
Задачи. 1.1 x=3. 1.2 x=1. 1.3 x=3. 1.4 x=2+5. 2.1 x=10. 2.2 x∊⊘.
3.1 x∊-∞;-2∪5;7413. 3.2 x∊-2;-1,6∪0;2. 3.3 x∊7116;6∪12;+∞. 4.1 x∊-∞;3. 4.2 x∊-∞;0. 4.3 x∊⊘. 4.4 x∊-∞;-3.Домашнее задание. 1.1 x=1,x=2. 1.2 x=2. 1.3 x=23. 1.4 x=-1.
1.5 x=0, x=9,5. 2.1 x=5. 2.2 x=-8. 2.3 x=-1,6. 3.1 x∊-73;-1.
3.2 x∊2;+∞. 3.3 x∊-1;1-52∪1+52;+∞. 3.4 x∊0;2. 3.5 x∊0;4. 4.1 x∊1-2;2. 4.2 x∊-∞;-79. 4.3 x∊-6;-4+2.
4.4 x∊-∞;-10∪1;+∞. 4.5 x∊(-∞;0]∪4,5;+∞. Занятие 5.
Задачи. 1.1 x∊-13;1. 1.2 x∊2;22. 1.3 x∊-12;13∪12;1. 2.1 x=2, x=0,5. 2.2 x=-43, x=-23. 3.1 x=4. 3.2 x∊-2;4∪5;+∞.3.3 x∊-8;1∪4;+∞. 3.4 x∊-3;3. 4.1 x∊-4;1∪2. 4.2 x=1, x=-2. 5.1 x∊23;6. 5.2 x∊1;+∞. 5.3 x∊-2;+∞.Домашнее задание. 1.1 x∊5;+∞. 1.2 x∊1;+∞. 1.3 x∊-4;-3∪-13;0. 1.4 x∊⊘. 1.5 x∊-3-52;1. 2.1 x=0, x=5. 2.2 x=-1, x=4.
2.3 x∊⊘. 3.1 x∊-2;4∪5;+∞. 3.2 x∊3;12. 3.3 x∊7;+∞.
3.4 x∊-∞;-8,5∪1;10. 4.1 x∊2;3∪-4. 4.2 x∊-2;-1∪3.
5.1 x∊-3;1. 5.2 x∊16+72;10. 5.3 x∊-2;+∞.Занятие 6.
Задачи. 1. x=0. 2. x∊-∞;1-572∪389;+∞. 3. x∊3∪6;7.
4. x∊3;11+612. 5. x∊0;6+25.Домашнее задание. 1. x=-3,75, x=-3, x=1,75. 2. x=±1+32.3. x∊-∞;0∪0,875;+∞. 4. x∊-5+23;-0,125∪[0,375;3-5]∪3+5;+∞. 5. x∊-∞;-2,25∪5;+∞. 6. x∊-∞;-1∪1+283;+∞. 7. x∊0,25;1∪53+3978;+∞.Занятие 7.
Задачи. 1. x∊-5;-2∪2;3∪3;5. 2. x∊-1;34. 3. x∊[-53;-1)∪1;+∞. 4. x∊-2;-1∪3;4. 5. x∊0;1∪4∪6∪7;9∪9;10.Домашнее задание. 1. x∊-4;-3∪3;4. 2. x∊-1;311∪1,4;+∞. 3. x∊-1,5;-1∪3;+∞. 4. x∊-0,5;4. 5. x∊2,5;3. 6. x∊(-3;1)∪2;+∞. 7. x∊0;1∪3∪5∪0;12∪12;13.Дополнительные задачи.
1. x∊-∞;-4∪-4;-2∪1;5. 2. x∊-∞;-2∪1;2∪4;+∞.3. x∊-2;1∪3;+∞. 4. x∊3;+∞. 5. x∊-∞;1∪[1,5;2]∪3;+∞. 6. ∊-∞;-2∪0,25;1∪4;+∞. 7. x∊-∞;-4∪5;+∞.
8. x∊-3;-2∪-2;-1∪2;3∪7. 9. x∊-∞;0∪1;+∞.10. x∊-∞;0∪4;+∞. 11. x∊-∞;-3∪-2;3. 12. x∊-5;1∪2;3. 13. x∊-2;1. 14. x=-2, x=5. 15. x=0. 16. x=5. 17. x=1, x=3. 18. x=-2,5, x=0,125. 19. x=16, x=0,5, x=1,5.
20. x∊2;+∞. 21. x=-1,x=23. 22. x=-23, x=0,5, x=2. 23. x∊-1;2.24. x∊-1-5;-2∪-2;-1+5. 25. x∊11-574;11+574. 26. x∊R.27. x∊-∞;-23∪0,5;+∞. 28. x∊-∞;0. 29. x∊-53;23∪67;4. 30. x∊-∞;-4∪-1;+∞. 31. x∊4;6∪6;8. 32. x∊-∞;-23∪23;+∞. 33. x∊-53;53. 34. x=5. 35. x=2, x=3. 36. x=1. 37. x=0.38. x=4. 39. x=9,5. 40. x=-3, x=2. 41. x=-6, x=7. 42. x=20.43. x=0, x=5. 44. x=2, x=34. 45. x=2. 46. x∊2;4. 47. x∊-46;3.48. x∊-27;9. 49. x∊2;3. 50. x∊-∞;-3. 51. x∊23;+∞. 52. x∊-3∪-0,5;1∪4;5. 53. x∊-1∪2;+∞. 54. x∊(-∞;-5]∪-2∪-0,5∪2;+∞. 55. x∊-2;-1∪2. 56. x∊-2;-1∪1;2.57. x∊33;+∞.
Список использованной литературы
1. А.Г.Мерзляк, В.Б.Полонский, М.С.Якир. Алгебраический тренажер. Москва, издательство «Илекса», 2001.
2. В.В.Ткачук. Математика абитуриенту. МЦНМО, 2001
3. С.Н.Олехник, М.К.Потапов, П.И. Пасиченко. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. Москва, издательство «Дрофа», 2001.
4. В.П.Моденов. Математика. Москва, издательство «Новая волна», 2002.
5. Математика. Сборник задач с решениями для поступающих в ВУЗы. Под редакцией В.М.Говорова, Н.В.Мирошина. Москва, издательство «Астель», 2002.
6. Сборник задач по математике для поступающих в ВУЗы под редакцией М.И. Сканави. Москва, издательство «Оникс 21 век», 2003.

Оглавление
Введение 2
Занятие 1. Рациональные неравенства 4
Занятие 2. Уравнения и неравенства с модулем 6
Занятие 3. Уравнения и неравенства с модулем 9
Занятие 4. Иррациональные уравнения и неравенства 11
Занятие 5. Иррациональные уравнения и неравенства 16
Занятие 6. Смешанные уравнения и неравенства 20
Занятие 7. Метод декомпозиции 21
Дополнительные задачи 23
Теоретические вопросы 26
Ответы 27
Список использованной литературы 32
Оглавление 33



Приложенные файлы

  • docx 809190
    Размер файла: 163 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий