СРС №9. Производная (метод. рекомендации)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН

КАЗАХСТАНСКО-НЕМЕЦКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Факультет экономических наук

Дисциплина: Математика в экономике


Утверждено
на заседании факультета ФЭН
от 1 февраля 2013 г. (протокол № 6)







МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ
по выполнению СРС
по теме «Производная»

для специальностей: 5В050900 – Финансы
5В051100 – Маркетинг
5В050700 – Менеджмент



Составитель: к.ф.-м.н. Кораблин А.Ю.













Алматы, 2013г.

СОДЕРЖАНИЕ
стр.
Указания...3
Производная.........................................................................4
1. Непосредственное дифференцирование
и вычисление производной сложной функции4
Задачи для самостоятельного решения.........7

УКАЗАНИЯ

Каждый студент самостоятельно должен решить задачи по теме «Производная» и представить их решение на занятии №6.

Для этого предварительно необходимо:
прочитать и разобрать следующие теоретические вопросы:
( производная;
( таблица производных основных элементарных функций;
( основные правила дифференцирования;
( производная сложной функции

При изучении перечисленных вопросов можно использовать, кроме данных методических рекомендаций, также любой учебник по математике, содержащий тему «Производная».

Задание на СРС включает 25 задач на стр. 7.

С целью самоконтроля к задачам приводятся ответы.

Задание на СРС выдается на занятии №5 (второй семестр).

Контроль СРС состоится на занятии №6 по расписанию занятий.

Контроль включает проверку решений указанных задач.

Оценка контроля СРС составляет максимально 2 балла.
Максимальная оценка выставляется за правильное решение всех задач.

Выполнение СРС является обязательным для студентов, изучающих математику.

При выполнении СРС при необходимости можно получить консультацию у преподавателя по текущим вопросам в установленное время.
ПРОИЗВОДНАЯ

В математическом анализе для любой функции у=f(x) рассматривают важную величину:

f((x)=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 (*)

которую называют производной функции f.

Замечания: 1) Для произвольной функции у=f(х) производная играет роль скорости изменения зависимой переменной у по отношению к изменению независимой переменной х.
2) Значение производной f((x) зависит от значения аргумента х, поэтому производная f((x) некоторой функции f(x) сама является функцией переменной х.

В формуле (*) величину h разности (x+h)-x называют приращением аргумента функции и часто обозначают символом (х (читается: дельта икс), а разность f(x+h)-f(x) обозначают обычно через (у и называют приращением функции, соответствующим данному приращению аргумента. В этих обозначениях выражение (*) приобретает вид:

f((x)=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
, или
f((x)=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415


Таким образом, значение f((x) производной функции f(x) в точке х – это предел отношения приращения функции (у к приращению аргумента (х, когда (х стремится к нулю.
Операция нахождения производной функции называется дифференцированием. С физической точки зрения дифференцирование – это определение скорости изменения переменной величины.

1. Непосредственное дифференцирование и вычисление
производной сложной функции

Таблица производных основных элементарных функций:

1(
(хn)(=n(xn-1
, где n(R, в частности,
(13 EMBED Equation.3 1415)(=1/(213 EMBED Equation.3 1415)


2(
(ах)(=ах(lna
, в частности,
(ex)(=ex


3(
(logax)(=1/(x(lna)
, в частности,
(lnx)(=1/x


4(
(sinx)(=cosx
5(
(cosx)(=-sinx


6(
(tgx)(=1/cos2x
7(
(ctgx)(=-1/sin2 x


8(
(arcsinx)(=1/13 EMBED Equation.3 1415
9(
(arccosx)(=-1/13 EMBED Equation.3 1415


10(
(arctgx)(=1/(1+x2)
11(
(arcctgx)(=-1/(1+x2)


Замечание. Формулы дифференцирования основных элементарных функций получены из определения производной непосредственным использованием формулы (***).

Основные правила дифференцирования:
Пусть с – постоянная, u=u(x), v=v(x) – функции, имеющие производные.
1( Производная постоянной равна нулю:

с(=0


2( Производная аргумента равна 1:

х(=1


3( Производная суммы равна сумме производных:

(u+v)(=u(+v(


4( Производная произведения двух функций:

(u(v)(=u((v+u(v(


5( Постоянный множитель можно выносить на знак производной:

(с(u)(=c(u(


6( Производная отношения двух функций:

13 EMBED Equation.3 1415


При дифференцировании всевозможных комбинаций сумм, произведений и частных основных элементарных функций используют правила дифференцирования и таблицу производных основных элементарных функций.





Примеры. Найти производные следующих функций:
1) у=13 EMBED Equation.3 1415+5lnx-3

Решение:
у(=(13 EMBED Equation.3 1415+5lnx-3)(=(13 EMBED Equation.3 1415)(+(5lnx)(-(3)(=(x2/3)(+5(lnx)(-0=2/3x-1/3+5(1/x=13 EMBED Equation.3 1415

2) y=x(sinx

Решение:
у(=(x(sinx)(=x((sinx+x((sinx)(=sinx+x(cosx

3) y=13 EMBED Equation.3 1415

Решение:
у(=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415=
=13 EMBED Equation.3 1415=13 EMBED Equation.3 1415

Для вычисления производных от произвольных элементарных функций применяется также формула производной сложной функции:

у((х)=f((u)(u((x)
(здесь у=f[u(x)] – сложная функция)


Примеры. Найти производные следующих функций:
4) у=е-х

Решение:
у(=(е-х)(=е-х((-х)(=-е-х

5) у=lnsin2x

Решение:
у(=(lnsin2x)(=13 EMBED Equation.3 1415((sin2x)(=13 EMBED Equation.3 1415(cos2x((2x)(=13 EMBED Equation.3 1415(cos2x(2=2ctg2x
Задачи для самостоятельного решения по теме «Производная»

Найти производные следующих функций:
2. у=1/3х3-1/2х2+2/5х+13 4. у=4х3+2х2+х-5 6. у=4х3/4+3х2/3+4х1/2+3х
8. у=(2х+1)(х2+3х-1) 10. у=(х3+х2+х+1)(х-1) 12. у=13 EMBED Equation.3 1415
13. у=213 EMBED Equation.3 1415 15. у=х(х2-4) 16. у=2х(х2+3)-3х(х2-3)
18. у=13 EMBED Equation.3 1415 20. у=13 EMBED Equation.3 1415 21. у=13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
24. у=313 EMBED Equation.3 1415 25. у=13 EMBED Equation.3 1415 27. у=13 EMBED Equation.3 1415
30. у=13 EMBED Equation.3 1415 32.13 EMBED Equation.3 1415e-x13 EMBED Equation.3 1415 34.13 EMBED Equation.3 1415
36.13 EMBED Equation.3 1415 38.13 EMBED Equation.3 1415
43. 13 EMBED Equation.3 14153x 45. 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415 46. 13 EMBED Equation.3 1415
Найти производные функций и вычислить их значения при 13 EMBED Equation.3 1415:
48. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415 50. 13 EMBED Equation.3 1415; 13 EMBED Equation.3 1415


Ответы к задачам по теме «Производная»
2. х2-х+2/5 4. 12х2+4х+1 6. 3х-1/4+2х-1/3+2х-1/2+3 8. 6х2+14х+1 10. 4х3 12. 3/(413 EMBED Equation.3 1415)+1/13 EMBED Equation.3 1415-4/х3-1/х2 13. 1/13 EMBED Equation.3 1415-1/13 EMBED Equation.3 1415 15. 3х2-4 16. –3х2+15 18. 4х/(2-х2)2 20. (х2-1)/(х2+1)2 21. –2ех/(ех-1)2 24. 3хех(ln3+1) 25. cosx/sin2x 27. 2(5х2-2х+4)(10х-2) 30. 3х3/13 EMBED Equation.3 1415 32. –х2е-х 34. –3х/13 EMBED Equation.3 1415 36. 0 38. 1/(313 EMBED Equation.3 1415)(е3х-5)+313 EMBED Equation.3 1415е3х 43. –3/(1+9x2) 45. –xarccosx/13 EMBED Equation.3 1415-1 46. 1/(213 EMBED Equation.3 1415(1+x)) 48. 1/13 EMBED Equation.3 1415; ј 50. 1/(2cos2x); 1/2









13 PAGE \* MERGEFORMAT 14315








Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativexEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 7233523
    Размер файла: 158 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий