Лекция № 18. Главные оси инерции и главные моменты инерции

18. Главные оси инерции и главные моменты инерции.
   Как уже известно, зная для данной фигуры центральные моменты инерции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], можно вычислить момент инерции и относительно любой другой оси.
   При этом можно за основную систему осей принять такую систему, при которой формулы существенно упрощаются. Именно, можно найти систему координатных осей, для которых центробежный момент инерции равен.нулю. В самом деле, моменты инерции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]всегда положительны, как суммы положительных слагаемых, центробежный же момент
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
может быть и положительным и отрицательным, так как слагаемые zydF могут быть разного знака в зависимости от знаков z и у для той или иной площадки. Значит, он может быть равен нулю.
   Оси, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, называются главными осями инерции. Если начало такой системы помещено в центре тяжести фигуры, то это будут главные центральные оси. Эти оси мы будем обозначать [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; для них
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Найдем, под каким углом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]наклонены к центральным осям у и z (фиг. 198) главные оси.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Рис.1. Расчетная модель для определения положения главных осей инерции.
 
   В известном выражении для перехода от осей yz к осям [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], для центробежного момента инерции дадим углу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]значение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; тогда оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], совпадут c главными, и центробежный момент инерции будет равен нулю:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
или
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
откуда:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(1)

   Этому уравнению удовлетворяют два значения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], отличающиеся на 180°, или два значения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], отличающиеся на 90°. Таким образом, это уравнение дает нам положение двух осей, составляющих между собой прямой угол. Это и будут главные центральные оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], для которых [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
   Пользуясь этой формулой, можно по известным [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]получить формулы для главных моментов инерции[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для этого опять воспользуемся выражениями для осевых моментов инерции общего положения. Они определяют значения[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]если вместо [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]подставить [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(2)

   Полученными соотношениями можно пользоваться при решении задач. Одним из главных моментов инерции является [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], другим [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ].
   Формулы (2) можно преобразовать к виду, свободному от значения [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Выражая [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и подставляя их значения в первую формулу (2), получим, делая одновременно замену [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]из формулы (1):
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Заменяя здесь из формулы (1) дробь [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]на
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
получаем
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
(3)

   К этому же выражению можно прийти, делая подобное же преобразование второй формулы (3).
   За основную систему центральных осей, от которых можно переходить к любой другой, можно взять не Оу и Oz, а главные оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; тогда в формулах не будет фигурировать центробежный момент инерции ([ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]). Обозначим угол, составленный осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], (Рис.2) с главной осью [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. Для вычисления [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], переходя от осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]нужно в ранее найденных выражениях для [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], заменить угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], а [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] через [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]. В результате получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   По своему виду эти формулы совершенно аналогичны формулам для нормальных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и касательных [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]напряжений по двум взаимно-перпендикулярным площадкам в элементе, подвергающемся растяжению в двух направлениях. Укажем лишь формулу, позволяющую из двух значений угла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]выделить то, которое соответствует отклонению первой главной оси (дающей max J) от начального положения оси у:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   Теперь можно окончательно формулировать, что надо сделать, чтобы получить возможность простейшим образом вычислять момент инерции фигуры относительно любой оси. Необходимо через центр тяжести фигуры провести оси Оу и Oz так, чтобы, разбивая фигуру на простейшие части, мы могли легко вычислить моменты [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]после этого следует найти по формуле (14.17) величину угла [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и вычислить главные центральные моменты инерции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]по формулам (14.18).
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Рис.2. Расчетная модель нахождения положения главных осей.
 
   Далее, можно найти момент инерции относительно любой центральной оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](Рис.2), наклоненной к [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]под углом [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   Зная же центральный момент инерции [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], можно сейчас же найти момент инерции относительно любой параллельной ей оси [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], проходящей на расстоянии [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ](рис.2) от центра тяжести:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   Во многих случаях удается сразу провести главные оси фигуры; если фигура имеет ось симметрии, то это и будет одна из главных осей. В самом деле, при выводе формулы [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]мы уже имели дело с интегралом[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], представляющим собой центробежный момент инерции сечения относительно осей у и z; было доказано, что если ось Oz является осью симметрии, этот интеграл обращается в нуль.
   Стало быть, в данном случае оси Оу и Oz являются главными центральными осями инерции сечения. Таким образом, ось симметрии всегда главная центральная ось; вторая главная центральная ось проходит через центр тяжести перпендикулярно к оси симметрии.
   Пример. Найти моменты инерции прямоугольника (Рис.3) относительно осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и центробежный момент его относительно тех же осей.
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ] Рис.3. Пример расчета моментов инерции.
 
   Центральные оси у и z как оси симметрии будут главными осями; моменты инерции сечения относительно этих осей равны:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ][ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Центральные моменты относительно повернутых осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равны:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Центробежный момент инерции относительно осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равен:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Координаты центра тяжести прямоугольника относительно осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равны:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Моменты инерции относительно осей [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]равны:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Центробежный момент инерции равен:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
 
Наибольшее и наименьшее значения центральных моментов инерции.
   Как известно, центральные моменты инерции являются наименьшими из всех моментов относительно ряда параллельных осей.
   Найдем теперь крайние значения (максимум и минимум) для центральных моментов инерции. Возьмем ось [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], и начнем ее вращать, т. е. менять угол [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]; при этом будет изменяться величина
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Наибольшее и наименьшее значения этого момента инерции соответствуют углу [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ], при котором производная [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]обращается в нуль. Эта производная равна:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Подставляя в написанное выражение [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]и приравнивая его нулю, получаем:
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
отсюда
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   Таким образом, осями с наибольшим и наименьшим центральными моментами инерции будут главные центральные оси. Так как при повороте центральных осей сумма соответствующих моментов инерции не меняется, то
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
Когда один из центральных моментов инерции достигает наибольшего значения, другой оказывается минимальным, т, е. если
[ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]то [ Cкачайте файл, чтобы посмотреть картинку ]
   Следовательно, главные центральные оси инерции это такие взаимно перпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести сечения, относительно которых центробежный момент инерции обращается в нуль, а осевые моменты инерции имеют наибольшее и наименьшее значения.

15

Приложенные файлы

  • doc 4947939
    Размер файла: 158 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий