Базис и ранг конечной системы векторов

Базис и ранг конечной системы векторов
Определение. Базисом конечной системы векторов называется ее линейно независимая подсистема, такая, что каждый вектор данной системы линейно выражается через векторы этой подсистемы, т.е. является их линейной комбинацией.
Определение. Пусть дана система векторов 13EMBED Equation.31415. Назовем ее линейно независимую подсистему максимальной линейной независимой подсистемой, если добавление к ней любого вектора системы делает эту подсистему линейно зависимой.
Таким образом, максимальная линейно независимая подсистема не является подсистемой никакой другой линейно независимой системы.
Теорема 1. Всякая максимальная линейно независимая подсистема данной системы векторов является ее базисом.
Доказательство. Пусть 13EMBED Equation.31415 (S) – максимальная линейно независимая подсистема данной системы 13EMBED Equation.31415. Покажем, что подсистема (S) является базисом всей системы векторов.
1. По определению система векторов (S) линейно независимая.
2. Покажем, что каждый вектор системы 13EMBED Equation.31415 является линейной комбинацией векторов системы (S).
Пусть вектор ai входит в систему (S), тогда его можно представить так: 13EMBED Equation.31415.
Если ai не входит в систему (S), то, исходя из максимальности этой системы, 13EMBED Equation.31415 – линейно зависимая система. По свойству 7є вектор ai является линейной комбинацией векторов системы (S). Таким образом (S) – базис системы векторов 13EMBED Equation.31415.
·
Теорема 2 . Конечная система векторов, содержащая хотя бы один ненулевой вектор, обладает базисом. Любые два базиса данной конечной системы векторов состоят из одинакового числа векторов.
Доказательство. 1. Подсистема данной системы, состоящая из одного ненулевого вектора 13EMBED Equation.31415, линейно независима. Если это максимальная линейно независимая система, то по теореме 1 она и есть базис. Если система 13EMBED Equation.31415не является максимальной линейно независимой, то найдется вектор, например a2 , добавление которого к a1 не нарушает линейной независимости системы, т.е. 13EMBED Equation.31415 – линейно независимая система. (Если бы такого вектора во всей системе не было, то подсистема 13EMBED Equation.31415 являлась бы максимальной линейно независимой, т.е. базисом. Далее, если 13EMBED Equation.31415 – максимальная линейно независимая система, то она и будет базисом, если же нет, то процедуру повторяем: дополняем систему 13EMBED Equation.31415 вектором a3 , так, чтобы система оставалась линейно независимой. Через конечное число шагов получим максимальную линейно независимую подсистему, которая по теореме 1 будет базисом всей системы, либо вся система окажется линейно независимой; в этом случае она и будет своим базисом.
2. Пусть 13EMBED Equation.31415 (1) и 13EMBED Equation.31415 (2) – два базиса системы векторов 13EMBED Equation.31415. Так как базисы одной системы векторов – эквивалентные системы, то по следствию из свойства 913 QUOTE 15 следует, что r = s.
·
Определение 1. Число векторов, входящих в любой базис данной системы векторов, называется рангом этой системы.
Из теоремы 1 следует, что ранг можно определить по-другому.
Определение 2. Ранг системы векторов – это число векторов в максимальной линейно независимой подсистеме данной системы.
Свойства ранга системы векторов:
Ранг любой подсистемы конечной системы векторов не больше ранга всей системы.
Эквивалентные конечные системы векторов имеют один и тот же ранг.
Ранг любой конечной системы векторов n-мерного арифметического пространства Fn не больше n.
Пусть конечная система векторов имеет ранг, равный r. Тогда любая ее подсистема, содержащая векторов больше, чем r, будет линейно зависимой.
Ранг системы векторов не изменится, если к ней прибавить любой вектор, являющийся линейной комбинацией векторов данной системы, или если из этой системы вычеркнуть любой вектор, являющийся линейной комбинацией векторов данной системы.
Следствие. Ранг системы не изменится, если к этой системе добавить нулевой вектор или если из системы удалить нулевой вектор (если он там есть).
Ранг матрицы
С понятием матрицы мы уже встречались при решении систем линейных уравнений методом Гаусса.
Пусть дана СЛУ над полем F.
13EMBED Equation.31415 (1)
Выпишем коэффициенты системы (1) в том порядке, в котором они записаны в этой системе. Получим прямоугольную таблицу из m строк и n столбцов, которую называют прямоугольной матрицей размера m(n:
13EMBED Equation.31415.(2)
Такую матрицу называют основной матрицей системы (1). Матрицу, дополненную столбцом свободных членов называют расширенной матрицей системы (1).
13 QUOTE 15Обозначим через А и 13EMBED Equation.3141513 QUOTE 14 15основную и расширенную матрицы системы, а через 13EMBED Equation.31415 – транспонированную матрицу для A:
13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415 13EMBED Equation.31415.
Рассмотрим матрицу A над полем F. Каждая строка этой матрицы является n-мерным арифметическим вектором, а каждый столбец является m-мерным вектором.
Обозначим через А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аm15 векторы-строки матрицы А, а через А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аn15 – ее векторы-столбцы.
Определение. Строчечным рангом матрицы А называется ранг системы ее строк А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аm15 , рассматриваемых как n-мерные арифметические векторы над полем F.
Обозначается через r(A): r(A)=rang{ А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аm15}. Т.е. строчечный ранг матрицы А – это ранг системы ее векторов-строк.
Определение. Столбцовым рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аn15 , рассматриваемых как m-мерные арифметические векторы над полем F.
Обозначается через
·(A):
·(A)=rang{ А1 , А2 ,13 QUOTE 14 , Аn15 }. Таким образом, столбцовый ранг матрицы А – это ранг системы ее векторов-столбцов.
С учетом определения ранга системы векторов, можно утверждать, что строчечный ранг матрицы есть максимальное число линейно независимых строк матрицы, а столбцовый ранг матрицы есть максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.
Строчечный ранг матрицы – это важная числовая характеристика матрицы. Одним из способов его вычисления является метод Гаусса, основанный на элементарных преобразованиях матрицы.
Определение. Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие преобразования:
исключение нулевой строки;
перестановка любых двух строк матрицы;
прибавление к одной из строк матрицы другой ее строки, умноженной на некоторое число;
умножение всех элементов некоторой строки матрицы на скаляр, не равный нулю (частный случай преобразования 3).
Теорема 1. Строчечный ранг матрицы не меняется при элементарных преобразованиях.
Доказательство. Очевидно, что преобразования (1) и (2) не меняют ранга матрицы. Пусть над матрицей А выполняется преобразование (3): к строке Ai прибавим строку Aj, умноженную на число k . Преобразование (Ai + kAj13 QUOTE 15) выполним в два приема. Сначала к матрице А добавим строку Ai + kAj ,13 QUOTE 15 вставляя ее после i-той строки, а затем из полученной матрицы вычеркнем строку Ai 13 QUOTE 15 . Обе операции, согласно свойству 513 QUOTE 15 для ранга системы векторов, не изменяют строчечного ранга матрицы, так как добавленная строка Ai + kAj – линейная комбинация строк Ai и Aj . Вычеркиваемая строка Ai также является линейной комбинацией строк: Ai =13 QUOTE 14(Ai + kAj13 QUOTE 15) 15– kAj . Т.е. в обоих случаях строчечный ранг не изменяется.
Аналогично можно показать, что преобразование (4) также не меняет ранг матрицы.
·

·
Определение. Матрица называется ступенчатой, если в каждой последующей строке первый ненулевой элемент (считая слева направо) стоит правее первого ненулевого элемента предыдущей строки.
Очевидно, что ступенчатая матрица удовлетворяет условиям:
1. Если в i-той строке ступенчатой матрицы, первый отличный от нуля элемент стоит на k-м месте, то в следующей за ней (i+1)-ой строке на первых k местах будут стоять нули 13EMBED Equation.31415.
2. Если все элементы i-той строки ступенчатой матрицы равны нулю, то все элементы (i+1)-ой строки этой матрицы тоже равны нулю. Т.е. нулевые строки в ступенчатой матрице, если они есть, расположены ниже ненулевых.
Частные случаи ступенчатых матриц: единичная, нулевая, однострочная и верхнетреугольная.
В общем виде ступенчатая матрица с r ненулевыми строками имеет вид:
С = 13EMBED Equation.31415(3)
1
· k < l < < p · n , 13EMBED Equation.31415.
Теорема 2. Всякую матрицу при помощи цепочки элементарных преобразований строк можно преобразовать в ступенчатую матрицу.
(Процесс преобразования аналогичен тому, как мы приводили к ступенчатому виду СЛУ.)
Теорема3. Строчечный ранг ступенчатой матрицы равен числу ее ненулевых строк.
Доказательство. Пусть матрица С – ступенчатого вида (3). Обозначим С1 13 QUOTE 15, С2 13 QUOTE 15, ,13 QUOTE 15 Сr все ее ненулевые строки. Докажем, что эта система векторов-строк линейно независимая. Для этого покажем, что из
·1 С1+
·2 С2 + +
·r Сr =( (4) cледует

·1=
·2 = =
·r =0 .
Равенство (4) равносильно системе уравнений относительно неизвестных
·1,
·2 , ,
·r . Для нахождения
·i (i=1,,n) надо взять только r уравнений:

·1 с1k =0,

·13 QUOTE 15l с1l +
·13 QUOTE 152 с2l =0,


·13 QUOTE 15l с1s +
·13 QUOTE 152 с2s + +
·13 QUOTE 15r crs =0 .
Из 1-го уравнения следует, что
·1=0. Из второго и последующих уравнений получаем:
·13 QUOTE 152 =0 и т.д.
·r =0.
Следовательно, ненулевые строки матрицы образуют линейно независимую систему п-мерных векторов. Каждая последующая строка матрицы С состоящая из нулей является линейной комбинацией первых r строк 13 QUOTE 15 с нулевыми коэффициентами. Следовательно строчечный ранг матрицы (3) равен r : r(C)=r.
·
Замечание. Вычисление строчечного ранга матрицы приведением ее к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований позволяет одновременно выделить базис в системе строк этой матрицы.
В процессе приведения матрицы А к ступенчатому виду некоторые строки обращаются в нулевые. Строки матрицы А, оставшиеся ненулевыми, как раз и составляют искомый базис, так как в нулевые обращаются те строки, которые являются линейными комбинациями остальных.
Этим же способом можно находить ранг системы арифметических n-мерных арифметических векторов и базис этой системы.
Для этого достаточно составить матрицу, строками которой будут указанные векторы системы. Тогда ранг системы векторов равен строчечному рангу этой матрицы, а базис системы векторов – это в точности базис системы строк полученной матрицы.











Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 2514229
    Размер файла: 156 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий