Результант

23

Результант

Результантом полиномов

13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415,

имеющих степени n>0 и m>0 называют следующий определитель порядка (n+m):

13 EMBED Equation.3 1415 (1)
Например,
13 EMBED Equation.3 1415

Здесь определитель записан при n=5, m=3. Определитель (1) записан для случая, когда n=m.

Теорема.
Полиномы

13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415

имеют общий корень тогда и только тогда, когда их результант равен 0: R(f(x),g(x))=0.

Пример 1.
Для полиномов

13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415

их результантом является определитель 6-го порядка

13 EMBED Equation.3 1415.

Во втором определителе третья и пятая строки одинаковы.


Пример 2.
Вычислить, при каких значениях 13 EMBED Equation.3 1415 полиномы
13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
имеют общие корни.

Решение.
Вычисляем результант:

13 EMBED Equation.3 1415.

f(x) и g(x) имеют общие корни лишь в случае, когда 13 EMBED Equation.3 14150, то есть при
·=±1. При
·=1 общими корнями являются i и –i, а при
·= –1: 1 и –1.

Пример для самостоятельного решения.
Вычислить результант многочленов 13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415.


Дискриминант многочлена

Определение.
Дискриминантом многочлена

13 EMBED Equation.3 1415,
имеющего корнями числа 13 EMBED Equation.3 1415, называется произведение

13 EMBED Equation.3 1415.

Дискриминант тогда и только тогда равен нулю, когда среди корней многочлена имеются равные, то есть когда многочлен имеет хотя бы один кратный корень. Дискриминант связан с результантом многочлена f(x) и его производной f'(x) равенством

13 EMBED Equation.3 1415,

позволяющей выразить дискриминант через его коэффициенты.

Пример 3.
Найти дискриминант многочлена
13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
13 EMBED Eq
·uation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415, f(x) кратных корней не имеет.


Пример для самостоятельного решения
Найти дискриминант многочлена
13 EMBED Equation.3 1415.

Можно выразить 13 EMBED Equation.3 1415 через коэффициенты многочлена 13 EMBED Equation.3 1415 и другим путем, пользуясь тем, что 13 EMBED Equation.3 1415 является симметрическим многочленом от корней 13 EMBED Equation.3 1415.

Формулы Виета

Корни 13 EMBED Equation.3 1415 многочлена

13 EMBED Equation.3 1415

связаны с его коэффициентами по формулам Виета:

13 EMBED Equation.3 1415

Элементарные симметрические многочлены от n переменных:

13 EMBED Equation.3 1415

Степенными суммами называются симметрические многочлены

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415

С элементарными симметрическими многочленами они связаны формулами Ньютона:

13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415;
13 EMBED Equation.3 1415 при 13 EMBED Equation.3 1415.

Из этих формул можно находить 13 EMBED Equation.3 1415 через 13 EMBED Equation.3 1415 или наоборот.

13 EMBED Equation.3 1415, где

13 EMBED Equation.3 1415 - сумма i-х степеней корней 13 EMBED Equation.3 1415 многочлена 13 EMBED Equation.3 1415.

Пример.
Найти дискриминант многочлена 13 EMBED Equation.3 1415.

Решение.
13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415.

13 EMBED Equation.3 1415

13 EMBED Equation.3 1415

Ответ: 13 EMBED Equation.3 1415

Примеры для самостоятельного решения:
а) найти дискриминант многочлена 13 EMBED Equation.3 1415
б) 13 EMBED Equation.3 1415










13PAGE 15


13PAGE 14515




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native0Equation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 341517
    Размер файла: 151 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий