Практическое занятие №25 Исследование функций с помощью производной и построение графика.

Практическое занятие №25
Тема. Исследование функций с помощью производной и построение графика.
Для исследования функций и построения графика необходимо использовать следующую последовательность действий:
1) найти область определения;
2) проверить четность-нечетность функции;
3) проверить функцию на периодичность;
4) исследовать функцию на непрерывность и поведение функции в бесконечности; найти горизонтальные и вертикальные асимптоты;
5) найти точки пересечения с осями координат;
6) найти экстремумы и интервалы монотонности;
7) найти точки перегиба и интервалы выпуклости и вогнутости;
8) построить график функции.
Задание. Построить график функции 13 EMBED Equation.3 1415.
Решение:
1. Данная функция определена на всей числовой оси, кроме значений х=(2, т.к. в этих точках знаменатель равен нулю, т.е. функция не существует. D(у)= R /{(2}.
2. Так как 13 EMBED Equation.3 1415, то f(x) нечетная, т.е. симметрична относительно начала координат.
3. Непериодическая, т.к. не содержит тригонометрических составляющих.
4. Функция f(x) непрерывна во всей области ее определения, кроме значений х=(2, являющимися точками разрыва II рода, т.к. 13 EMBED Equation.3 1415
На основании выше указанных пределов прямые х=(2 – являются вертикальными асимптотами.
По формулам: 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415, 13 EMBED Equation.3 1415 -найдем наклонную асимптоту.13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415
То есть у=х.
5. Для определения точек пересечения графика функции с координатными осями необходимо решить системы уравнений:13 EMBED Equation.3 1415 и 13 EMBED Equation.3 1415
Обе системы имеют одно и то же решение х=0, у=0. В точке (0,0)функция пересекает систему координат.
6. Вычислим f'(x)=0.13 EMBED Equation.3 1415, отсюда следует, что f'(x)=0 при х2(х2-12)=0, т.е. при х=0 и х=(213 EMBED Equation.3 1415. В то же время f'(x) не существует при х=(2. Следовательно, функция f(x) имеет следующие критические точки первого рода: х1=-213 EMBED Equation.3 1415; х2=-2; х3=0; х4=2; х5=213 EMBED Equation.3 1415
Методом пробных точек определим знаки первой производной в интервалах

т.е. данная функция f(x) в интервалах (-(;-213 EMBED Equation.3 1415) и (213 EMBED Equation.3 1415;+() возрастает, а в интервалах
(-213 EMBED Equation.3 1415;-2); (-2;0); (0;2); (2;213 EMBED Equation.3 1415)- убывает. х1=-213 EMBED Equation.3 1415 точка максимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с плюса на минус; fmax(x)=fmax(-213 EMBED Equation.3 1415)=-313 EMBED Equation.3 1415, а точка х5=213 EMBED Equation.3 1415 - точка минимума, так как при переходе через эту точку производная меняет знак с минуса на плюс; fmin(x)=fmin(213 EMBED Equation.3 1415)=313 EMBED Equation.3 1415.
В критической точке х3=0 первая производная не меняет знак, следовательно, в этой точке экстремума нет.
7. Вычислим 13 EMBED Equation.3 1415. f''(х)=0 при х=0, а при х=(2 f''(х) не существует, следовательно, х2=-2; х3=0, х4=2 – есть критические точки второго рода.
В интервалах (-(;-2); (-2;0); (0;2); (2;+() определим знак второй производной методом пробных точек.

Таким образом, в промежутках (-(; -2) и (0;2) график функции выпуклый вверх, а в (-2;0) и (2;+() – выпуклый вниз. Вторая производная в каждой из критических точек меняет знак, в то же время в точках х2=-2; х4=2 функция неопределенна, следовательно, только точка х=0 является точкой перегиба.
8. На основании полученных результатов построим график функции

Выполнить на отдельном листе согласно номеру в журнале.
Задание. Исследовать функцию и построить график.
13 EMBED Equation.3 1415. 6. 13 EMBED Equation.3 1415. 11. 13 EMBED Equation.3 1415. 16. 13 EMBED Equation.3 1415. 21.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 7. 13 EMBED Equation.3 1415 . 12. 13 EMBED Equation.3 1415. 17. 13 EMBED Equation.3 1415. 22.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 8. 13 EMBED Equation.3 1415 . 13. 13 EMBED Equation.3 1415. 18. 13 EMBED Equation.3 1415. 23.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 9. 13 EMBED Equation.3 1415. 14. 13 EMBED Equation.3 1415. 19. 13 EMBED Equation.3 1415. 24.13 EMBED Equation.3 1415.
13 EMBED Equation.3 1415. 10. 13 EMBED Equation.3 1415. 15. 13 EMBED Equation.3 1415. 20. 13 EMBED Equation.3 1415 . 25.13 EMBED Equation.3 1415.
Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию:
Определение точки минимума и точки максимума.
Определение критической точки.
Необходимое условие, чтобы точка х0 была точкой экстремума.
Алгоритм нахождения критических точек функции.
Определение стационарных точек.
Теорема Ферма (необходимое условие экстремума функции). Достаточные условия существования экстремума функции .
Достаточный признак возрастания, убывания функции.
Алгоритм нахождения экстремумов функции.
Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
Выпуклость функции. Точки перегиба.




Root EntryEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation NativeEquation Native

Приложенные файлы

  • doc 5010235
    Размер файла: 149 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий