Теория погрешностей и машинная арифметика

Теория погрешностей и машинная арифметика
Пусть - точное значение,             - приближенное значение некоторой величины. Абсолютной погрешностью приближенного значения называется величина .
Относительной погрешностью значения (при 0) называется величина   .
Так как, значение как правило неизвестно, чаще получают оценки погрешностей вида:      .
Величины и называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.

Пример 1. Абсолютная и относительная погрешности приближенного числа e.
Число e - трансцендентное число, представляется бесконечной непериодической дробью e = 2.71828. Приближенное значение числа e* = 2.7. Граница абсолютной погрешности | e - e* | < 0.019, относительная погрешность числа
,    
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Значащими цифрами числа    называют все цифры в его записи, начиная с первой ненулевой слева.
Пример 2. Значащие цифры числа.
Значащие цифры чисел подчеркнуты: 0.03589,    10.4920,   0.00456200.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Значащую цифру числа   называют верной, если абсолютная погрешность числа не превосходит единицы разряда, соответствующего этой цифре.
Пример 3. Верные цифры числа.
Верные цифры числа a = 356.78245 подчеркнуты.
Если , то верных цифр в числе 5:    a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 4:    a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 7:    a = 356.78245.
Если , то верных цифр в числе 8:    a = 356.78245.
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Для оценки погрешностей арифметических операций следует использовать следующие утверждения:
Абсолютная погрешность алгебраической суммы (суммы или разности ) не превосходит суммы абсолютной погрешности слагаемых, т.е.

Если а и b - ненулевые числа одного знака, то справедливы неравенства ,      , где ,    
Для относительных погрешностей произведения и частного приближенных чисел верны оценки: если и , то   , .
Пример 4. Погрешности арифметических действий.
Погрешности арифметических действий.
Пусть числа x и y заданы с абсолютными погрешностями x и y
x : = 2.5378   x :
· = 0.0001                  y : = 2.536   y : = 0.001
Тогда относительные погрешности чисел
,      x = 3.94 x 10-5             ,      y = 3.94 x 10-4
Найдем погрешности суммы и разности чисел
S1 : = x + y       S1 : = x + y      
S1 = 5.0738      S1 = 1.1 x 10-3       S1 = 2.17 x 10-4
S2 : = x - y       S2 : = x + y      
S2 = 1.8 x 10-3      S2 = 1.1 x 10-3        S2 = 0.61

Относительная погрешность разности в 2000 раз больше относительной погрешности суммы!
Возьмем теперь другие значения x и y и вычислим погрешности произведения и частного x : = 2.5378   x : = 0.0001                  y : = 0.006   y : = 0.001
Тогда относительные погрешности чисел
            
S3 = 0.015227                       S4 = 422.966667
S3 : = x + y                      S4 : = x + y
S3 : = | S3 | x S3              S4 : = | S4 | x S4
S3 = 6.604259 x 10-6              S4 = 0.183452

Абсолютная погрешность частного в 20000 раз больше абсолютной погрешности произведения!
------------------------------------------------------------------------------------------------------------
Пусть - дифференцируемая в области G функция переменных, вычисление которой производится при приближенно заданных значениях аргументов   . Тогда для абсолютной погрешности функции справедлива следующая оценка .
Здесь [x, x*] v отрезок, соединяющий точки x и x* =( )
Для относительной погрешности функции справедливо следующее приближенное равенство , где
Пример 5. Погрешность вычисления функции.
Погрешность функции многих переменных




Пусть x : = -3.59       y : = 0.467      z : = 563.2
По приведенным начальным условиям считаем, что погрешности равны
x : = 0.01     y : = 0.001     z : = 0.1
Значение функции равно f ( x, y, z ) = 6.64198865

f ( x, y, z ) = 8.196 x 10 -3    
f ( x, y, z ) = 1.234 x 10 -3

------------------------------------------------------------------------------------------------------------

image2 (217 bytes)Рисунок 1image2 (217 bytes)image3 (103 bytes)Рисунок 2image3 (103 bytes)image4 (371 bytes)Рисунок 4image4 (371 bytes)image3 (103 bytes)Рисунок 5image3 (103 bytes)image8 (621 bytes)Рисунок 10image8 (621 bytes)image10 (306 bytes)Рисунок 12image10 (306 bytes)image3 (103 bytes)Рисунок 13image3 (103 bytes)image ( bytes)Рисунок 2012image ( bytes)image ( bytes)Рисунок 2014image ( bytes)image ( bytes)Рисунок 2015image ( bytes)image11 (616 bytes)Рисунок 15image11 (616 bytes)image12 (403 bytes)Рисунок 16image12 (403 bytes)image14 (895 bytes)Рисунок 18image14 (895 bytes)image15 (404 bytes)Рисунок 19image15 (404 bytes)image17 (298 bytes)Рисунок 21image17 (298 bytes)image18 (585 bytes)Рисунок 22image18 (585 bytes)Рисунок 2032del1.gif (861 bytes)Рисунок 2034del1.gif (861 bytes)pic1 (579 bytes)Рисунок 2036pic1 (579 bytes)Рисунок 2039del2.gif (893 bytes)Рисунок 2040del1.gif (861 bytes)Рисунок 2042del1.gif (861 bytes)Рисунок 2045del2.gif (893 bytes)Рисунок 2046del1.gif (861 bytes)Рисунок 2048del1.gif (861 bytes)Рисунок 2050del1.gif (861 bytes)Рисунок 2053del1.gif (861 bytes)image ( bytes)Рисунок 2055image ( bytes)Рисунок 2057del2.gif (893 bytes)Рисунок 2058del2.gif (893 bytes)Рисунок 2059del2.gif (893 bytes)Рисунок 2060del2.gif (893 bytes)Рисунок 2061del2.gif (893 bytes)Рисунок 2062del2.gif (893 bytes)Рисунок 2063del1.gif (861 bytes)Рисунок 2066del2.gif (893 bytes)Рисунок 2067del1.gif (861 bytes)image ( bytes)Рисунок 2069image ( bytes)image20 (494 bytes)Рисунок 24image20 (494 bytes)image21 (255 bytes)Рисунок 25image21 (255 bytes)image23 (733 bytes)Рисунок 27image23 (733 bytes)image24 (435 bytes)Рисунок 28image24 (435 bytes)image26 (803 bytes)Рисунок 30image26 (803 bytes)pic3 ( bytes)Рисунок 2110pic3 ( bytes)pic4 ( bytes)Рисунок 2111pic4 ( bytes)Рисунок 2112del1.gif (861 bytes)Рисунок 2114del1.gif (861 bytes)Рисунок 2116del1.gif (861 bytes)Рисунок 2118del2.gif (893 bytes)15

Приложенные файлы

  • doc 2268667
    Размер файла: 149 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий