7.Теореми


7.Твердження, аксіоми, теореми в курсі математики основної школи. Методика організації навчальної діяльності учнів у ході вивчення теореми косинусів.
Теореми. Методика їх вивчення у ШКМ.
План
Вступ.
Твердження, аксіоми, леми, теореми.
Структура теорем.
Види теорем.
Доведення теорем.
Навчання учнів доведення теорем.
1. Вступ
Вивченням теорем та їх доведень у систематичних курсах геометрії й алгебри починається із 7 класу і посідає значне місце в навчальному матеріалі. Теореми і їх доведення розвивають логіку мислення учнів, просторові уявлення і уяву, вчать методам доведення, сприяють усвідомленню ідеї аксіоматичної побудови математики. Доведення дають змогу учням засвоїти евристичні прийоми розумової діяльності, формують позитивні якості особистості, зокрема обґрунтованість суджень, стислість, чіткість висловлення думки.
На рівні обов’язкового мінімуму програма вимагає від учнів розв’язувати типові задачі на обчислення, доведення і побудову, проводити при цьому доказові міркування, спираючись на теоретичні факти (аксіоми, теореми, означення). Для виконання цих вимог учні повинні знати формулювання аксіом і основних теорем.
Чи повинні учні знати всі доведення теорем? Під час вивчення певної теми на рівні обов’язкових результатів навчання учні повинні знати формулювання теорем, основні етапи доведення, найважливіші обґрунтування і найпростіші застосування теореми; на рівні вищої оцінки вміти доводити і застосовувати теорему в складніших випадках. Пам’ятати доведення вивчених теорем на кінець навчального року – вимога не обов’язкова.
2. Твердження, аксіоми, леми, теореми
У ході вивчення шкільного курсу математики учні зустрічаються з різними видами тверджень. Умовно їх можна розділити на чотири класи:
1. Твердження про властивості геометричних тіл, що випливають з означення.
2. Твердження, доведення яких здійснюється дедуктивним шляхом, після чого дається формулювання.
3. Твердження у вигляді задач на доведення, які потім використовуються при розв’язуванні інших задач.
4. Аксіоми, теореми, леми.
У математиці лише незначна частина тверджень приймається без доведень. У геометрії їх називають аксіоми. Аксіоми – це твердження, які містять формулювання основних властивостей найпростіших фігур і не доводяться. Слово аксіома походить від грецького слова «аксіом» і означає твердження, що не викликає сумнівів.
Всі інші твердження, у яких говориться про співвідношення між об’єктами певної природи доводяться, хоч би якими очевидними вони не здавались. Будь-яке твердження, яке доводиться є теоремою. Тому задачі на доведення є не чим іншим, як теоремами.
Теоремою називається твердження, правильність якого можна довести в даній аксіоматичній системі.
Слово “теорема” грецького походження і означає “твердження доступне пізнанню”. Теореми, що випливають з інших відомих теорем називаються наслідками.
Теореми з порівняно коротким доведенням, які цікавлять нас тільки у зв’язку з доведенням інших теорем називаються лемами. Слово “лема” грецького походження, означає прибуток, користь.
У шкільному курсі математики термін “теорема” найчастіше застосовується у геометрії. У алгебрі теореми часто називають: ознаками, правилами, законами, формулами, властивостями і т. п.
3. Структура теореми
Оскільки теорема є висловлення, то її словесне формулювання може мати довільну форму. Але в якому б вигляді не була сформульована теорема, у її структурі завжди можна виділити: роз’яснювальну частину, умова (засновок) і вимога (висновок).
У роз’яснювальній частині даються назви об’єктів, які розглядаються в теоремі Умова теореми – це зазначення відомих властивостей про об’єкт, які приймаються як істинні. Вимога теореми – це ті властивості, наявність яких у об’єкта потрібно довести.
Наприклад, у теоремі «Якщо діагоналі чотирикутника точкою перетину діляться пополам, то цей чотирикутник паралелограм». Роз’яснювальна частина – чотирикутник, умова – діагоналі точкою перетину діляться пополам, вимога – цей чотирикутник паралелограм. Це те, що потрібно довести.
Формулювання теорем може здійснюватись такими способами:
1. В імплікативній формі «Якщо..., то...» (в умовній імплікативній формі)
«Якщо а і b – додатні числа, то їх середнє арифметичне не менше від середнього геометричного»
2. У безумовні, «живій» формі, за допомогою вільного висловлення.
«Середнє арифметичне будь-яких двох додатних чисел не менше від їх середнього геометричного»
3. Із вживанням слів «необхідно», «достатньо», «необхідно і достатньо».
«Щоб середнє арифметичне двох чисел було не менше від їх середнього геометричного достатньо, щоб ці числа були додатними».
«Щоб чотирикутник був паралелограмом необхідно і достатньо, щоб його протилежні сторони були рівні».
Необхідним елементом роботи над теоремою є виділення умови і вимоги та встановлення зв’язку між ними. У тих випадках коли у формулюванні теореми важко виділити її структурні елементи, доцільно представити її як закономірний зв’язок суджень. Якщо судження умови теореми позначити А, а судження вимоги – В, то будь-яку теорему можна подати у вигляді: якщо А, то В (А => В).
Наприклад, у теоремі «Вертикальні кути рівні» умовою А є судження «кути є вертикальні», вимога В – «кути є рівні». Формулювання цієї теореми в умовній формі буде таким: «Якщо кути вертикальні, то вони рівні». (А => В).
Якщо теорема правильна то прийнято говорити, що А є достатня умова для В, а В є необхідна умова для А.
Наприклад: 1) «Для того, щоб кути були рівні достатньо, щоб вони були вертикальні»; 2) «Для того, щоб кути були вертикальні, необхідно, щоб кути були рівні».
Якщо (відношення рівносильності), то умова кожної з них є і необхідною і достатньою для її наслідків. У таких випадках теорему найчастіше формулюють так: “для того, щоб ..., необхідно і достатньо ...”. Достатня і необхідна умова називається ознакою. Наприклад: “Щоб пряма, що не належить площині, була паралельною до площини, необхідно і достатньо, щоб вона була паралельна якій небудь прямій у цій площині”.
У школі часто замість слів “необхідно і достатньо” вживають “тоді і тільки тоді”, “ті і тільки ті”: «На 6 діляться ті і тільки ті числа, які діляться на 2 і 3.»
Умова Висловлення
1) А достатня і необхідна для В
2) А достатня, але не необхідна для В.
3) А необхідна, але не достатня для В.
4) А недостатня і не необхідна для В А =>В і В=>A – істинні.
А =>В – істинне, В=>A – хибне
А =>В – хибне, В=>A – істинне
А =>В і В=>A – хибне
4. Види теорем
4.1. Прості та складені теореми.
Теореми відповідно до кількості суджень в умові або вимозі поділяються на прості та складені.
Теорема називається простою якщо вона містить одну умову і один висновок. Наприклад: Якщо сума цифр числа ділиться на 3, то і число ділиться на три.
Теорема називається складеною, якщо вона містить декілька умов і одну вимогу або одну умову і декілька вимог. Наприклад: У рівнобедреному трикутнику медіана проведена до основи є бісектрисою і висотою.
4.2. Прямі, обернене та контрапозитивні теореми.
У математиці за допомогою теорем встановлюють:
1) існування математичних об’єктів;
2) властивості математичних об’єктів;
3) зв’язок між різними математичними об’єктами;
4) існування певних відношень між математичними об’єктами;
5) властивості цих відношень та зв’язки між ними.
Теореми за допомогою яких встановлюють залежності 1-5, будемо називати прямими теоремами. Пряма теорема записується у формі «Якщо є об’єкт із властивістю А, то він має властивість В».
Наприклад:
якщо кути вертикальні, то вони рівні: А В – пряма (істинне).
якщо кути рівні, то вони вертикальні: В А – обернена (хибне)
якщо кути не є вертикальні, то вони не рівні: – протилежна прямій (хибне)
якщо кути не рівні, то вони не вертикальні: – протилежна оберненій
(істинне).
Між названими видами теорем є логічний зв’язок:
Логічний квадрат.

Якщо кути суміжні, Якщо сума кутів =,
то їх сума = 2628900330200018288002730500 то вони суміжні
(істинна) (хибна)
263779010858500182880010858500

Якщо 2 кути не суміжні, Якщо сума величин 2 кутів
то сума величин не дорівнює 1800, то ці кути несуміжні
(хибна) (істинна)
З правильності прямої теореми не випливає правильність оберненої. Тому обернені теореми так само як і прямі треба доводити.
Встановлення істинності оберненої теореми у математиці має важливе значення. Якщо правильними є пряма і обернена теореми, то кажуть що об’єкт має характеристичну властивість, яка може бути покладена в основу означення цього об’єкта.
Рекомендації щодо конструювання обернених, протилежних та контрапозитивних тверджень:
Щоб сформулювати твердження, оберне даному потрібно залишити роз’яснювальну частину без змін, а умову і вимогу поміняти місцями.
Щоб отримати твердження, протилежне даному потрібно залишити без змін роз’яснювальну частину, а умову та вимогу змінити на їх заперечення.
Щоб одержати твердження обернене протилежному або протилежне оберненому потрібно залишити без змін роз’яснювальну частину і поміняти місцями умову і вимогу твердження, протилежного даному.
При побудові оберненої теореми для складеної можна поступати двома способами:
а) всі властивості умови, що входять в умову прямої теореми зробити вимогами оберненої, а умовою оберненої теореми зробити вимогу прямої;
б) частину властивостей умови прямої теореми зробити вимогою оберненої, а решту властивостей умови і вимоги прямої теореми зробити умовою оберненої.
5. Доведення теорем.
Будь-яке судження, висловлене про властивості деякого об’єкту, є або істинним або хибним. Тому для того, щоб воно було сприйняте як істинне, необхідно переконатися у його істинності. Або, навпаки, переконатися у його хибності і не сприймати як істинне.
В істинності деяких суджень можна переконатися шляхом безпосереднього співставлення їх з дійсністю, у процесі практичної діяльності. Але таким чином перевірити істинність того чи іншого судження можна далеко не завжди.Доведення – це процес думки, що полягає в обґрунтуванні істинності деякого твердження за допомогою інших тверджень, істинність яких установлена раніше.
Довести теорему – це означає показати, що вона як необхідний логічний наслідок випливає з інших тверджень, справедливість яких уже встановлена.
В основі доведення є міркування – логічна операція в результаті якої з одного або декількох взаємопов’язаних за змістом тверджень дістаємо твердження, що містить нове знання, новий факт.
Будь-яке доведення складається з 3-х частин:
1. Теза – судження, істинність якого необхідно довести.
2. Аргумент (основа) – судження, які наводиться для доведення тези.
3. Демонстрація – спосіб логічного зв’язку тези з основою.
Будь-яке доведення припускає наявність положення (тези), яке необхідно довести. Якщо відсутня теза, то нічого й доводити. Теза може бути сформульована як на початку доведення, так і в будь-який інший його момент.
Довести тезу означає навести такі судження, які були б достатніми для обґрунтування істинності або хибності висунутої тези. Як аргумент для доведення тези можуть бути наведена всяка істинна думка, якщо тільки вона пов’язана з тезою, і обґрунтовує її.
Під час доведення теорем дозволяється користуватись основними властивостями найпростіших фігур, тобто аксіомами, а також уже доведеними властивостями, тобто теоремами. Ніякими іншими властивостями фігур, навіть, якщо вони нам здаються очевидними, користуватися не можна.
При доведенні теорем можна користуватися малюнком, як геометричним записом того, що виражається словами. Але не дозволяється використовувати під час міркувань властивості фігур, які видно з малюнка, якщо не можна обґрунтувати їх, опираючись на аксіоми і теореми, доведені раніше.
Демонстрація – це не якесь окреме судження, наявне в доведенні, окрім суджень, у яких виражені теза й аргументи, а спосіб зв’язку тези й аргументів доказу.
Аргументи набувають певного значення для тези лише тоді, коли ми виводимо з них тезу. Процес виведення тези з аргументів і є демонстрація.
У залежності від обраних шляхів виведення тези з аргументів доведення однієї і тієї ж теореми може відбуватись різними методами. Про різні методи доведення говорять у таких випадках:
а) доведення мають різні логічні основи, з чим пов’язані різні види будов обґрунтування тези (прямо або опосередковано);
б) під час доведення використовуються різні математичні апарати.
Прикладами основних методів доведення за першою ознакою є:
прямі доведення (теза обґрунтовується безпосередньо аргументами):
синтетичний (ведеться перетворення умови);
аналітичний (здійснюється пошук достатніх умов для вимоги);
аналітико-синтетичний (проведення послідовних перетворень то умови, то вимоги);
2) опосередковані (непрямі):
метод від супротивного (істинність тези обґрунтовується за допомогою доведення хибності антитези);
розподільний (теза обґрунтовується шляхом виключення усіх членів розділеного судження, окрім одного, що є доказуваною тезою)
Необхідно довести тезу S є Р1. Якщо відомо, що S може бути не тільки Р1, а й Р2 та Р3, і потім встановлюємо, що S не є ні Р2, ні Р3, то цим доводиться положення про те, що S є Р1.
До методів доведення виділених за другою ознакою відносять:
метод геометричних перетворень;
метод математичної індукції;
алгебраїчний метод;
векторний метод;
координатний метод;
метод диференціального та інтегрального числення.
У шкільному курсі математики використовують такі методи доведення: аналітичний, аналітико-синтетичний, векторний, від супротивного, синтетичний, повної індукції, координатний, математичної індукції.
Правила-орієнтири деяких методів:
Метод повної індукції
твердження, що доводиться, розбити на скінчену кількість тверджень;
довести кожне з окремих тверджень;
зробити висновок про правильність даного твердження в цілому.
Метод математичної індукції
перевірити правильність твердження Т(п) для п = 1 або п = п0;
зробити припущення про правильність твердження для п=k, k≥п0
довести, використовуючи припущення, правильність твердження для п = k +1;
зробити висновок про правильність твердження Т(п) для всіх п є N.
Метод геометричних перетворень
проаналізувати умову і визначити вид перетворення, який доцільно використати;
виконати обране перетворення;
використати властивості обраного перетворення для доведення.
Векторний метод
ввести систему векторів і перекласти висновок теореми на векторну мову;
утворити векторні вирази або рівності; використовуючи апарат векторної алгебри, довести правильність висновку теореми;
кінцевий результат перекласти на мову геометрії.
Координатний метод
ввести систему координат так, щоб було зручно перекласти висновок теореми на мову координат;
застосувати потрібні відомості з аналітичної геометрії, умову теореми для доведення висновку;
кінцевий результат перекласти на мову геометрії.
Синтетичний метод доведення.
Логічною основою синтетичного методу є те, що з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок.
Для доведення застосовують хід від умови до вимоги (синтез), вихідним моментом якого є останній отриманий вірний висновок. Міркування закінчуються тоді, коли у вигляді необхідної умови отримується вимога теореми. Отже, власне доведення здійснюється за схемою: А U ... C B X, де U, …,C, B – істинні проміжні судження; А – умова; В – вимога теореми.
Аналітичний метод
Серед аналітичних методів доведення теорем розрізняють метод висхідного аналізу і метод низхідного аналізу.
1. Висхідний аналіз має метою довести, що відомі (дані в умові) співвідношення є достатніми для існування висновку теореми.
Суть методу висхідного аналізу полягає у знаходженні такого істинного твердження В, з якого випливає висновок Х теореми, потім такого твердження С, з якого випливає В і т.д. Цей процес продовжують до тих пір, поки не прийдуть до зазначених властивостей А в умові теореми. При цьому додаткового дослідження проводити не треба, оскільки висновок теореми є наслідком умови, а правильні судження не можуть дати неправильний висновок.
Схема міркувань при доведенні теореми за допомогою висхідного аналізу така: Х В С ... U A.
Правило-орієнтир доведення теорем методом висхідного аналізу зводиться до послідовного з’ясування питань «що треба довести?», «що для цього достатньо довести?», які ставляться до кожного проміжного твердження, з якого випливає вимога теореми.
Недоліки:
- висхідний аналіз не зручний для викладу знайденого доведення, яке виходить дуже довгим. Цього недоліку можна уникнути, якщо висхідним аналізом користуватися для пошуку доведення, а виклад доведення оформляти синтетичним методом;
- не всяке доведення легко знайти за допомогою висхідного аналізу. Якщо для висновку можна знайти декілька достатніх ознак істинності, тоді доцільно скористатися іншим методом.
Метод доведення від супротивного.
Його логічною основою є закон виключення третього: з двох супротивних тверджень, одне завжди правильне, друге неправильне, а третього бути не може.
Суть способу доведення від супротивного:
робимо припущення, протилежне вимозі теореми.
з’ясовується, що випливає із зробленого припущення на основі відомих теорем і аксіом.
встановлюється суперечність між тим, що дістали і тим, що відомо з умови теореми, аксіоми, або раніше доведеної теореми.
робиться висновок припущення неправильне, а правильне те, що треба довести.
Задача:Довести, що в рівнобедреному трикутнику медіани проведені до бічних сторін, рівні.
I метод. Синтетичний. Дано: АВС – рівнобедрений
АС – основа Довести АE= СК.
АE=СК – медіана,AE=CK
Доведення:
АВС рівнобедренний => AB = BC за означенням.
α A= α C (за властивістю рівнобедренного трикутника)
СК – медіана => AB = 2 АК (за ознаками медіани).
з того, що AB = BC, AB = 2 АК, BC = 2 СЕ випливає, що АК = СЕ
Δ АКС = Δ СЕА за двома сторонами і кутом між ними, звідси СК = АЕ
ІІ метод. Аналітичний;
Дано:
АВС – рівнобедрений
АС – основа
АЕ і СК - медіана Довести:
АЕ = СК
480060011938000411480011938000
Доведення: Що потрібно довести, що стверджує рівність медіани
АЕ і СК і АЕС = СКА
Як довести рівність трикутників АЕС і СКА. Як довести рівність СЕ і АК
ІІІ метод. Векторний.
Метод доведень тверджень полягає в тому, що на способи і вимоги перекладені на мову векторів.
Дано:
АВС – рівнобедрений
АС – основа
АЕ і СК - медіана Довести:
АЕ = СК
Доведення:
ВА =
В С = ЕА =В – = 2 = 2 2

враховуючи, що АВС – рівнобедрений
АВ = ВС той
ЕА2 = КС2 => EA = KC
IV метод. Координатний
Дано:
АВС – рівнобедрений
АС – основа
АЕ і СК - медіана Довести:
АЕ = СК

Доведення:
Візьмемо систему координат: A (- x; 0) B (0; y)
C (x; 0)
AE і CK – медіани, то точки К і Е – середини відрізків АВ і СВ
3346459652000Тоді Е (0.5 x, 0.5 y).
325755-2540002921003746500AE = √ 2.25 x2 +0.25 y2
334645000CK = √ 2.25 x2 +0.25 y2
V метод. Від супротивного
Доцільно рекомендувати учням, письмово оформити доведене методом від супротивного у вигляді трьох кроків.
Довести, що коли пряма перетинає одну з двох паралельних, то вона перетне і другу пряму. Дано: А, В, С, - прямі
С – перетинає автА.
Довести: С перетинає В.
Доведення: Припустимо, що С і В не перетинає тобто С II В
Тоді через точку А перетину прямих а і с проходять дві прямі (різні)ю а с паралельні в. Це суперечить аксіомі про властивість паралельних прямих.
Висновок. Припущення непрвильне, а правильне те, що пряма С перетинає пряму В.
Суть способу доведення від супротивного:
робимо припущення, протилежне тому.
зясовується, що випливає із зробленого припущення на основі відомих теорем і аксіом.
встановлюється суперечність між тим, що дістали і тим, що відомо з умови теореми, аксіоми, або раніше доведеної теореми.
робиться висновок припущення неправильне, а правильне те, що треба довести.
Картка – підказка вставлена у поліетиленовій плівці, на плівці учень заповнює пропуски. Наприклад:
Дано АВ – півпряма С є АВ, АС < AB,
Доведіть, що В не лежить між А і С
Припустимо протилежне тому, що, а саме, що т. В лежить між т.А і С.
З припущення випливає, що АВ + ВС = АС тобто АВ < AC за аксіоматичний вимір відрізка.
Дістали суперечність бо за умовою АС < АВ.
Отже, вище припущення неправильне, а правильне те. Що було довести, тобто точка В не лежить між точками А і С.
Метод вичерпування, або повна індукція. Цим методом доводять теорему про вимірювання вписаного кута.
При її доведенні спираються на:
властивість паралельного переносу. Кожна фігура відображається на рівну їй фігуру.
теорему про вимірювання центр кутів.
теорему про рівність дуг кола., відповідних рівним центральним кутам.
4. теорему про рівність дуг кола, що знаходяться між паралельними прямими.
5. властивість транзитивного відношення рівності.
548640025717500“Метод венернування” – назва походить від того, що індуктивний метод розглядається кожен можливий випадок і тільки вичерпаються всі окремі випадки приходять до загального висновку.
6. синтетичний і аналітичний метод доведення.
Логічною основою синтетичного методу є те, що з правильного твердження завжди випливає правильний наслідок. Міркування йдуть від умови і вже відомо твердження , до доводжуваного. Він простий з логічного погляду. Більшість теорем у шкільному курсі математики доводять синтетичний метод. Але є недоліки, як догадатися, що доведення, треба починати з нерівності , синтетичний метод доведення зручний, тоді коли доведення уже відомі і ми хочемо пояснити іншому якщо ж шукаємо доведення то зручніше користуватись аналітичним методом – метод при якому міркування ведуть від доводжування (від тези до аргументу)
Аналітичний синтетичний

піднесемо обидві частини до квадрата
помножимо обидві частини на 4
перенесемо в одну частину
ліву частину запиши квадрат двохвисловлення істинне
Аналітичний

- висота
- рівнобедренний
— медіана
408940-94615000— висота за властивістю рівнобедренного трикутника
записати істинну нерівність
розкрити дужки
до обох частин додаємо
застосовуємо формулу квадрат двочлена
поділимо обидві частини на 4 і добудемо квадратний корінь
Дано: ABCD — ромб
Довести:
Доведення.
Синтетичний
— рівнобедренний за умовою теореми бо — ромб
— медіана за висотою рівнобедренного трикутника
— висота за висотою рівнобедренного трикутника


Психологічними та дидактичними передумовами які сприяють свідомому засвоєнню кожного методу є володіння учнями алгоритмами або правильними орієнтирами методів, які дають орієнтивну основу діяльності, спрямованої на пошук і виконання доведень.
45827959652000Аналітико-ситнтетичний метод
Цей метод полягає в тому, що пошук доведення починають аналітичним методом, але міркування не доводять до кінця, а спиняючись на певному кроці починають міркувати у зворотному напрямку, з розгортанням умови. Наприклад довести, що у чотирикутнику описаного навколо кола, суми протилежних сторін рівні. Довести: . Доведення: для доведення того, що досить довести, що . Розглянемо умову теореми. За властивостями дотичних до кола проведених з однієї точки маємо , додамо почленно ці рівності, дістанемо
Метод математичної індукції
Логічна основа цього методу є аксіома, якщо твердження в якому говориться про математичне доведення, число , правильне при , і якщо правильність цього твердження при випливаєйого правильність при , то це твердження правильне для будь-якого натурального числа.
Навчання учнів доведенню теорем.
Проблему навчання учнів доведенню теорем вчені розглядають по різному. Так А.А.Столяра під навчанням доведень розуміє навчання розумових процесів пошуку, відкриттів і побудов доведення, а не навчання відтворення і заучування готових доведень. На відміну від А.А.Столяра З.І.Слєпкань цей процес розуміє як навчання готових доведень, пропонованих учителем або підручником, і на основі цього навчання учнів самостійного пошуку доведень. На думку З.І.Слєпкань загальна методична проблема навчання доведень пояснюється тим, що готові доведення посідають значне місце у процесі навчання математики. За умови належної організації навчання готових доведень можна формувати в учнів компоненти самостійного пошуку і побудови доведення. Готові доведення мають виступати як моделі, на яких учні навчаються розумових дій і прийомів розумової діяльності, що лежать в основі уміння доводити, методів доведень і їх застосування, вчаться самостійно шукати доведення за аналогією з вивченим.
Проблему навчання доведень доцільно розчленувати на кілька навчальних задач, які розв’язуються послідовно:
І Формування потреб в логічних обґрунтуваннях.
Формування умінь виконувати дедуктивні висновки 5-6 класи
ІІ Навчання евристичним прийомам і їх використанню.
Навчання виконанню ланцюга логічних кроків 6-7 класи
ІІІ Навчання самостійному аналізу готового доведення.
Формування умінь визначати ідею доведення. 7 клас
IV Навчання використанню методів доведень.
Самостійне доведення. 7-8 клас
V Навчання вмінню спростовувати запропоновані доведення. 9-11 класи
Навчанню учнів логічному, дедуктивному міркуванню необхідно приділяти увагу починаючи з 5 класу. Це відбувається під час:
формування понять, коли даються завдання на підведення об'єкта під поняття;
виведення наслідків із належності об'єкта поняттю;
вправ на обчислення чи порівняння з використанням правила чи алгоритму;
розв'язання текстових задач.
Наприклад:
Завдання 1. Серед зображених трикутників знайти прямокутний.
Бажана відповідь учнів.
Трикутник, у якого один кут прямий, називається прямокутним (за означенням).
У АКС – кут К дорівнює 90° (визначили шляхом вимірювання).
Висновок: АКС— прямокутний.
Завдання 2. Власна швидкість катера 25,5 км/год, а швидкість течії річки 2,5 км/год. Сформулюйте декілька тверджень, які слідують із цієї умови.
Можлива відповідь учнів:
швидкість катера за течією буде становити 28 км/год;
швидкість катера проти течії буде становити 23 км/год;
за дві години за течією катер пройде 56 км/год. Тощо.
Завдання 3. Знайти довжину сторін прямокутника, якщо одна з них на 5 см довша за другу, а периметр прямокутника дорівнює 27,2 см.
Після того, як учні розв'яжуть задачу, їм доцільно запропонувати запитання - з яких тверджень слідує, що одна сторона прямокутника 4,3 см, а друга 9,3 см?
Завдання 4. Заповніть прогалини:
1) Якщо сума двох кутів трикутника 90°, то третій кут дорівнює ______. Отже,
трикутник.
2) Трикутник прямокутний. Сума всіх кутів трикутника дорівнює ______. Отже,сума гострих кутів даного трикутника дорівнює _________.
Вивчення теорем починається з її введення. При введенні теореми і як при введенні понять, використовують два методи: конкретно-індуктивний та абстрактно-дедуктивний. У першому випадку, теорема в готовому вигляді не повідомляється, а проводиться робота з підведенням учнів до теореми, виявлення певних математичних закономірностей. Результатом роботи є формулювання теореми. Абстрактно-дедуктивний метод введення теорем починається з того, що учитель сам формулює теорему, а потім проводить роботу з уточненням її змісту.
При виборі методу введення теорем слід враховувати, як часові затрати, так і прогнозовані результати навчання.
У загальному можна виділити такі 8 етапів роботи над теоремою у школі:
Мотивація вивчення.
Ознайомлення з теоремою.
Засвоєння змісту.
Запам’ятовування формулювання.
Ознайомлення зі способом доведення.
Доведення теореми.
Застосування теореми.
Встановлення зв’язків теореми з теоремами, вивченими раніше.
Щоб запобігти байдужості, поява нової теореми має відповідати природній допитливості учнів. Теорема не повинна виникати з “нічого”. Разом з учнями потрібно з’ясувати можливість її застосування, передбачити її зміст.
Важливим етапом вивчення теореми, є її мотивація. З цією метою можна використовувати такі прийоми.
Узагальнення спостережуваних у житті фактів, явищ і формулювання математичного твердження.
Показ необхідності знання теореми для розв’язання задач, зокрема практичних, доведення інших теорем.
Розв’язування задач на відшукання деяких закономірностей.
Виконання побудови, вимірювань, обчислень.
Показ розв’язання деякої проблеми в історії науки.
Наприклад: можлива мотивація вивчення теореми про три перпендикуляри. Нехай основа АВ рівнобедреного трикутника ΔАВС лежить у площині α, причому його медіана CD є похилою до цієї площини, а ΔА1В1С1 ортагональною проекцією ΔАВС на площину α. Що треба з’ясувати, щоб встановити, що ΔАВС1 – рівнобедренний?
Учитель пропонує пригадати властивості рівнобедреного трикутника, і разом з учнями отримує відповідь: треба з’ясувати, чи медіана C1D ΔАBC1 є його висотою? До цього вчителю варто додати: для з’ясування того, що CD є висотою ΔABC1 достатньо довести, що коли якась похила CD перпендикулярна до прямої АВ, що лежить в площині α, то її проекція С1D на цю площину також перпендикулярна до прямої АВ.
Після цього вчитель переходить до формулювання теореми про три перпендикуляри. З метою мотивації, учитель демонструє для розв’язування якого типу задач доцільно вивчити нову теорему.
Етап ознайомлення із теоремою можна здійснювати різними шляхами:
Розглядом наочних посібників та рисунків.
Виконання побудов.
Проведенням вимірювань.
Розв’язуванням задач на обчислення.
Розв’язуванням задач на відшукання певних залежностей.
Наприклад:
Для засвоєння змісту теорем доцільно з учнями виділити у формулюванні теореми умову та вимогу (що дано і що довести); розглянути ситуації, що задовольняють теорему і що ні.
При доведенні теорем в учнів формується логічне мислення, причому доведення теорем формує в учнів аргументацію міркування. Навчаючи доведенням треба вчити відтворювати і запам’ятовувати. Потрібно давати учням зразки доведень на дошці, доведення записувати коротко.
Етап ознайомлення зі способом доведення та доведення теореми. Доведення теорем у підручниках часто дається синтетично. Такий виклад коротко і послідовно передає ланцюжок умовиводів, які приводять від даної умови до того, що потрібно довести. Але такий виклад не показує причини, чому обраний такий шлях, не показує, які міркування призвели до його знаходження. Якщо вчитель у цей же спосіб проводить доведення у класі, то учень може лише пасивно слідкувати за ходом міркувань, оскільки не бачить доцільності в кожній наступній ланці. Тільки ретельно проведений аналіз розкриває значення кожної ланки в ланцюжку умовиводів, пояснює учню, як знайдене доведення дає можливість взяти участь у його відшуканні. Допомогу у засвоєнні доведення теореми може надати попереднє розв'язування відповідно дібраних задач на доведення. У ці задачі потрібно включити окремі ланки наступної теореми, які викликають утруднення в учнів. Наприклад, якщо доводиться теорема про зовнішній кут трикутника, попередньо можна розв'язати задачу за готовим рисунком, що зображений на плакаті, поданий на екрані комп'ютера тощо: див. рис. Д.

Слід зауважити, що основний недолік вивчення теорем - формалізм. Часто учні формально заучують формулювання теореми та її доведення. Як це можна виявити? По-перше, дати учню додаткове запитання. По-друге, це можна виявити, якщо змінити розташування рисунка, змінити позначення на рисунку тощо. Робота вчителя полягає в тому, щоб поступово виховувати в учнів прагнення логічно обґрунтовувати правильність своїх спостережень і здогадок, припущень, розвивати в них інтерес до відшукання логічного обґрунтування різноманітних залежностей, які розглядаються. Іноді учням пропонують показувати «обмани зору», щоб переконати їх в корисності доведень.

Наприклад, на рис. Б горизонтальний відрізок здається коротшим від вертикального, проте вимірювання показують, що відрізки мають однакову довжину. Такі «обмани зору» можуть зацікавити учнів, але не можуть обґрунтувати необхідність доведення теорем. У цих випадках учень звичайно звертається до дослідної перевірки. Можливість застосування доведеної в теоремі геометричної властивості фігури до розв'язування прикладної задачі переконує учнів у цінності загального висновку. Наприклад, можливість визначити недоступні відстані за допомогою подібності трикутників.
Ще одним важливим етапом є виділення головного у доведенні теореми. Попробуйте сказати одним реченням у чому суть теореми, назвіть головну думку доведення теореми.
До головного можна віднести і метод доведення, якщо він чимось важливий і може бути опорним сигналом для розгорнутого доведення. Такими є метод доведення від супротивного, метод математичної індукції. Оскільки виділити головне у доведені ідеї, схеми, принципи, підходи можуть тільки здібні до математики учні, то решту дітей треба навчити цьому з допомогою методики навчання.
У чому суть доведення теореми косинусів.
Відповідь: Для теореми косинус достатньо скористатись векторним методом знаходження довжини відрізка по спеціальному алгоритмі.
Для доведення теореми синусів достатньо опустити висоти на сторони і два рази виразити кожну із них з одержаних прямокутних трикутників, прирівняти їх значення.
Щоб теорема була засвоєна необхідно працювати з нею після її доведення за такою схемою:
сформулювати теорему,
виділити умову, висновок, до яких фігур ця теорема примінима
сформулювати теорему в іншій формі,
сформулювати твердження, обернене сформульованому (протилежне)
повторіть доведення по новому малюнку, змінивши його позначення елементів.
складіть план доведення
назвіть аргументи, які використовуються при доведенні,
доведіть теорему іншим способом,
розв’яжіть задачі по застосуванні теореми

Приложенные файлы

  • docx 520859
    Размер файла: 147 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий