Mathcad — Формула трапеций


Чтобы посмотреть этот PDF файл с форматированием и разметкой, скачайте его и откройте на своем компьютере.
I


I
0

x
sin
x





d

Точное значение интеграла
0
0.5
1.05
1.57
.09
.6
3.14
0
0.1
0.
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
sin
x


x
y
0
0
1

3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
0
0.588
0.5
0.70711
0.86603
0.96593
1
0.96593
0.86603
0.70711
0.5
0.588
0

x
0
0
1

3
4
5
6
7
8
9
10
11
1
0
0.618
0.536
0.7854
1.047
1.309
1.5708
1.836
.0944
.35619
.61799
.87979
3.14159

y
i
sin
x
i



Значения функции в узлах
x
i
a
h
i



Узлы интегрирования
Индексы узлов интегрирования
i
0
1

n
..

Длина отрезка разбиения
h
b
a

n

Расчёты выполняются при
n  1 4 36 48 60 7
j
1
4

7
..

Число отрезков разбиения
n
1

Пределы интегрирования
b


a
0

Подинтегральная функция

y
x


sin
x




Вычислить интеграл для заданной функции по формулам трапеций и

Симпсона. Исследовать зависимость погрешности от числа узлов
Строим график зависимости
абсолютной погрешности
интегрирования по методу
трапеций от числа узлов.
1

3
4
5
6
7
0
0.00
0.004
0.006
0.008
0.01
0.01

j
j

7
3.173
10
4




60
4.56947
10
4




48
7.13998
10
4




36
1.694
10
3




4
.8566
10
3




1
0.01144

Вополнив рассчёты для остальных значений числа узлов получим
таблицу значений абсолютной погрешности интегрирования

4
Вернёмся к началу текста и дадим переменний n
следующее значение равное 4. В строке *
получаем результат соответствующий n4.
Присвоим полученное значение переменной

1
0.01144

Зафиксируем этот результат ввиде значе
ния индек
сированной переменной

с индек
сом равним числу узлов интегрирования
*
I
I_tra

0.01144

Абсолютная погрешность
I_tra
1.98856

При n1 получаем
I_tra
h

0
n
1

i
y
i
y
i
1








На Mathcad'е это выглядит так
или в компактной записи позволя
ющей вычислить
I
циклически



1
0
1







n
i
i
i
y
y
h
I
Формула трапеций имеет вид
;

0
1

1
















n
y
y
y
n
y
y
h
I


Формула трапеций

Из графика видно что погрешность монотонно
убывает с увеличение числа узлов интегрирования.
Подсчитаем отношения модулей абсолютных
погрешностей при удвоении числа узлов

1

4
4.00476


4

48
4.00085


36

7
4.00038

Полученные результаты позволяют сделать следующий вывод
при увеличении числа узлов погрешность в полном соответствии
с теорией уменшается пропорционально квадрату отношения
чисел узлов. В рассматриваемых отношениях число узлов удваи
валось. При этом погрешность уменишалась в 4 раза.

Приложенные файлы

  • pdf 8224816
    Размер файла: 147 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий