Л9_гільбертові простори_2014


МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Лекція 9
Тема: " Гільбертові простори. Теорема Рісса-Фішера. Ізоморфізм гільбертових просторів."
Дисципліна : "Функціональний аналіз".

Викладач Гусарова І.Г.
Харків,2014
Тема: Гільбертові простори. Теорема Рісса-Фішера. Ізоморфізм гільбертових просторів.
1.Теорема Рісса-Фішера.
Нехай R– повний сепарабельний евклідовий простір та {φn} деяка ортогональна нормована система в R (не обов'язково повна). З нерівності Бесселя слідує, що для того щоб числа с1,…,сn ,.., були коефіцієнтами Фур'є якого-небудь елемента fєR, необхідно, щоб ряд
(1)
був збіжним. У повному метричному просторі ця умова не тільки необхідна але і достатня. Справедлива наступна теорема.
Теорема1(Рісса-Фішера): Нехай φk - довільна ортогональна нормована система у повному евклідовому просторі R і нехай числа с1,…,сn ,.., такі, що ряд

збіжний. Тоді існує такий елемент fєR, що
та
Доведення. Покладемо
(2)
Тоді fn+p – fn² = Cn+1φn+1+…+ Cn+pφn+p²= Тому що ряд (1) збігається, то звідси в силу повноти R слідує збіжність послідовності {fn} до деякого елемента
Далі
(f, φi)=(fn, φi)+(f- fn,φi) (3)
причому перший доданок справа при n≥ i дорівнює сi (з (2) та того, що φk - ортонормована система), а друге прямує до нуля при n→∞, тому що
(f-fn, φi) ≤ f- fn φi .
Ліва частина рівності (3) від n не залежить, тому, переходячи у ньому до границі при n→∞, отримаємо, що (f,φi)= сi.
Тому що, за означенням f,
f- fn →0 при n→∞,
то
Дійсно, покажемо це:

при n→∞ , отже
Теорема2. Для того, щоб ортогональна нормована система {φn} в повному сепарабельному евклідовому просторі була повною, необхідно та достатньо, щоб в R не існувало ненульового елемента, ортогонального всім елементам системи {φn} .
Доведення. 1. Нехай система {φn} - повна, та, звідси, замкнена. Якщо f ортогональний всім елементам системи {φn} , тоді всі його коефіцієнти Фур'є рівні нулю. Тоді з рівності Парсеваля отримуємо
тобто f=0.
2. Обернено, нехай {φn} - не повна. Тоді в R існує такий елемент g≠0, що де сn=(g,φn). За теоремою Рісcа - Фішера існує такий елемент fєR, що (f, φn)= cn та
тоді (f-g, φi)=(f, φi)-(g, φi)= сi-сi=0.
Елемент f-g ортогональний всім φi . Із нерівності
слідує, що f-g≠0.
Теорему доведено.
2.Гільбертовий простір. Теорема про ізоморфізм.
Означення: Повний евклідовий простір нескінченного числа вимірювань називається гільбертовим простором.
Цей простір має ім'я відомого німецького математика Д. Гільберта (1862-1943р.р.).
Означення: Таким чином, гільбертовим простором називається сукупність H елементів f,g,… будь-якої природи, яка задовольняє наступним умовам ( аксіомам ):
I. H є евклідовий простір (тобто лінійний простір з заданим скалярним добутком).II. Простір H- повний за метрикою
ρ(f,g)= f-g .
III. Простір H - нескінченновимірний, тобто в ньому для будь-якого n можна знайти n лінійно незалежних елементів.
Найчастіше розглядаються сепарабельні гільбертові простори, тобто простори, які задовольняють ще одній аксіомі.
IV. Простір H - сепарабельний, тобто в ньому існує зліченна всюди щільна множина.
Прикладом сепарабельного гільбертового простору є дійсний простір l2.
Означення: Два евклідових простора, R та R*, називаються ізоморфними, якщо між їх елементами можно встановити взаємно однозначну відповідність таку, що якщо
то
Інакше кажучи, ізоморфізм евклідових просторів - це взаємно однозначна відповідність, що зберігає як лінійні операції, визначені в цих просторах, так і скалярний добуток.
Як відомо, будь-які два n-вимірних евклідових простора ізоморфні між собою і, отже, кожний такий простір ізоморфний арифметичному простору Rn. Евклідові простори нескінченного числа вимірів не обов'язково ізоморфні один одному. Наприклад, простори l2 та C2[а,b] між собою не ізоморфні, це слідує, наприклад , з того, що перший з них повний, а другий ні. Але має місце наступна теорема.
Теорема3. Будь-які два сепарабельні гільбертові простори ізоморфні між собою.
Доведення. Покажемо, що кожен гільбертовий простір H ізоморфний простору l2. Тим самим буде доведено твердження теореми. Виберемо в H довільну повну ортогональну нормовану систему {φn} и поставимо у відповідність елементу f є H, сукупність с1,…,сn ,.., його коефіцієнтів Фур'є за цією системою.Тому що то послідовність (с1,…,сn ,…) є деякий елемент з l2. Обернено, за теоремою Рісса-Фішера будь-якому елементу (с1,…,сn ,…) з l2 відповідає деякий елемент f є H, який має числа с1,…,сn ,.., своїми коефіцієнтами Фур'є. Встановлена відповідність між елементами з H та l2 взаємно однозначна. Далі якщо


то


тобто сума переходить в суму, а добуток на число - в добуток відповідного елемента на це ж число.
Нарешті, з рівності Парсеваля слідує, що
(4)Дійсно, з того, що

та

випливає (4).
Таким чином, встановлена відповідність між елементами H та l2 дійсно є ізоморфізмом.Теорему доведено.
Доведена теорема означає, що з точністю до ізоморфізму, існує лише один сепарабельний гільбертовий простір та що простір l2 можна розглядати як його «координатну реалізацію», подібно до того, як n-вимірний арифметичний простір зі скалярним добутком представляє з себе координатну реалізацію евклідового простору n вимірів, заданого аксіоматично.

Приложенные файлы

  • docx 7265477
    Размер файла: 65 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий