Тема 1.1. Погрешности приближенных значений чис..


№2. Раздел 1. Элементы вычислительной математики.
Тема 1.1. Погрешности приближенных значений чисел. (2 часа, лекция).
План: 1) Абсолютная погрешность приближенного значения числа.
2) Граница абсолютной погрешности.
3) Верная цифра числа.
4) Запись приближенного значения числа.
5) Округление приближенных значений чисел.
6) Относительная погрешность приближенного значения числа.
В практической деятельности человеку приходится измерять различные величины, производить различные вычисления. Числа, полученные в результате измерения, лишь приблизительно, с некоторой точностью, характеризуют искомые величины. Точные измерения невозможны ввиду неточности измерительных приборов.
Пусть результат измерения величины x с некоторой точностью равен a. Тогда a называют приближенным значением величины x.
Разность между точным и приближенным значениями величины называется погрешностью приближения,( x-a).
Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения, т.е.
∝=x-a, где ∝-абсолютная погрешность, x- точное значение,
а- приближенное.
Пример: Известно, что - 0,333 является приближенным значением числа - 13. Найти абсолютную погрешность этого приближения.
Решение: x=-13; a =- 0,333;
∝=x-a=-13+0,333=-13+3331000=-13000=13000;
Абсолютная погрешность приближения не характеризует качества измерений. Действительно, если мы измеряем с точностью до 1см. какую- либо длину, то в том случае, когда речь идет об определении длины карандаша, это будет плохая точность. Если же с точностью до 1см. определить длину или ширину волейбольной площадки, то это будет высокая точность. Для характеристики качества измерения вводится понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью δ приближенного значения а числа x называется отношение абсолютной погрешности ∝ этого приближения к числу a:
δ=∝a ; Чем меньше относительная погрешность, тем выше качество измерений и вычислений. Относительную погрешность часто выражают в % . На практике результаты измерений и вычислений обычно выражаются в виде конечных десятичных дробей. Операция округления десятичной дроби состоит в отбрасывании единиц младших разрядов начиная с некоторого. Полученное число принимается за приближенное значение этой дроби.
Абсолютная погрешность , допускаемая при округлении, называется погрешностью округления.
Существует три способа округления положительных десятичных дробей:
Округление с недостатком:
54,376 ≈ 54 ( до единиц),
54,376 ≈ 54,3 (до десятых),
54,376 ≈ 54,37 (до сотых),
Погрешности округления: 0,376; 0,076; 0,006.
Округление с избытком:
54,376 ≈ 55 ( до единиц),
54,376 ≈ 54,4 (до десятых),
54,376 ≈ 54,38 (до сотых),
Погрешности округления: 0,624; 0,024; 0,004.
Самым распространенным округлением является округление с наименьшей погрешностью.
Правило:
единицы младших разрядов отбрасываются или заменяются нулями;
число единиц данного разряда не меняется, если следующая цифра данной дроби меньше 5, и увеличивается на единицу, если следующая цифра больше или равна 5.
Пример: 54,376 ≈ 54 погрешности: 0,376
54,376 ≈ 54,4 0,024
54,376 ≈ 54,38 0,004.
Граница абсолютной погрешности.
Любое положительное число ∆а, удовлетворяющее неравенству х-а≤∆а,
называется границей абсолютной погрешности.
Существует бесконечное множество чисел ∆а, удовлетворяющих неравенству
∝≤∆а; поэтому на практике стараются подобрать, возможно, меньшее и простое по записи число ∆а.По известной границе абсолютной погрешности ∆а, находятся границы, в которых заключено точное значение числа х.
( х = a ± ∆а.)⟺ а-∆а≤х≤а+∆а.Пример: Граница абсолютной погрешности приближенного значения 386 числа х равна 0,5. Укажите границы, в которых заключено число х.
Решение: а = 386, ∆а=0,5
х = 386±0,5 или 386 – 0,5≤х≤386+0,5 385,5≤х≤386,5.
Верные и значащие цифры числа.
Цифра m приближенного числа а называется верной в широком смысле,
если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит единицы того разряда, в котором записывается цифра m.
Пример: Указать верные цифры следующих чисел: 2,73±0,056; 4,627±0,0008; 3,732±0,06; 562274±500.Решение: 1) ∆а=0,056<0,1 ⟹ верные цифры 2 и 7.
∆а = 0,0008<0,001 ⟹ все цифры числа 4,6,2,7 – верные.
∆а=0,06 <0,1 ⟹ верные цифры 3 и 7.
∆а=500 <1000 ⟹ верные цифры 5,6,2.
Цифра m приближенного числа а называется верной в строгом смысле, если граница абсолютной погрешности числа а не превосходит половины единицы того разряда, в котором записана цифра m.
Пример: а = 1976, все цифры верные в строгом смысле если , ∆а ≤0,5, т.е.равна половине последнего разряда числа 1976.
Цифры в записи приближенного числа, о которых неизвестно, являются ли они верными, называются сомнительными.
Значащими цифрами приближенного числа называются все его верные цифры (в строгом смысле), кроме нулей, стоящих перед первой цифрой (слева направо), отличной от нуля.
Стандартным видом числа 𝒂 называют его запись в виде произведения b ∙ 10n, где 1≤ b <10 и n – целое число.
Пример: Записать в стандартном виде числа 23 100 000; 0,07635; 0,03 ∙ 10-4;
Решение: 23 100 000 = 2,31 ∙ 107;
0,07635 = 7,635 ∙ 10-2;
0,03 ∙ 10-4 = 3 ∙ 10-6.
Дома:
1) Н.В. Богомолов « Практические занятия по математике»,Стр.10 – 14(чтение), стр. 11, № 3; стр.12, № 13,19; стр. 14, № 25.
№3.Практическое занятие: « Вычисление абсолютной и относительной погрешности. Округление приближенных значений чисел». (2 часа - практика).
Проверка домашнего задания:
№3. Найти абсолютную погрешность округления до единиц следующих чисел: 1) 0,8; 2) 7,6; 3) 19,3; 4) 563,58.
Решение:
0,8 ≈1; ∝= x-α=0,8-1=-0,2=0,2;7,6 ≈8; ∝ = 7,6-8=-0,4 =0,4;19,3 ≈19; ∝= 19,3-19=0,3= 0,3;
563,58 ≈564; ∝=563,58-564=-0,42=0.42.№13. Укажите верные цифры (в широком смысле) следующих чисел:
0,028 ± 0,004; 2) 0,463 ± 0,0008; 3) 0,078 ± 0,002; 4) 12,78 ± 0,0005;
375 ± 20.
Решение:
0,028 ± 0,004; ∆a = 0,004 < 0,01 ⟹ 2 – верная цифра;
0,463 ± 0,0008; ∆a = 0,0008 < 0,001 ⟹ 4,6,3 – верные цифры;
0,078 ± 0,002; ∆a = 0,002 < 0,01 ⟹ 7 – верная цифра;
12,78 ± 0,0005; ∆a = 0,0005 < 0,001 ⟹ 1,2,7,8 – верные цифры;
375 ± 20; ∆a = 20 < 100 ⟹ 3 – верная цифра.
№19. Укажите границу погрешности приближения, если в записи приближенных значений данных чисел все цифры верные (в широком смысле).
𝑥 ≈ 0,56; ∆a = 0,01.
𝑥 ≈ 84,3; ∆a = 0,1.
𝑥 ≈ 5,10; ∆a = 0,01.
𝑥 ≈ 4,100; ∆a = 0,001.
№25. Вычислите относительную погрешность числа π≈3,14, считая π≈3,1416.Решение:
𝑥 = 3,1416 – точное значение; 𝒂 = 3,14 – приближенное.
δ=∝a ; ∝=x-α=3,1416-3,14=0,0016=0,0016; α=3,14; δ=0,00163,14≈0,000509≈0,0005=0,05%.
Повторение:
Вопросы для самоконтроля – фронтальный опрос.
Что называется абсолютной погрешностью числа?
Что называется границей абсолютной погрешности?
Какие цифры приближенного числа называются верными в широком смысле?
Какие цифры приближенного числа называются верными в строгом смысле?
Какие цифры приближенного числа называются значащими?
Что называется относительной погрешностью числа?
Что называется округлением десятичной дроби?
Что называется погрешностью округления?
Как производится округление с недостатком?
10) Как производится округление с избытком?
Как производится округление с наименьшей погрешностью?
Какая цифра приближенного числа называется сомнительной?
Самостоятельное решение:
1) Найдите погрешность и абсолютную погрешность приближенного значения α величины x , если:
а) x = 53; α=1,6. в) x=311; α=0,273. б) x=311; α=0,2727.2) Найти относительную погрешность приближенного значения αвеличины x из упр. 1.
3) Округлите с недостатком и с избытком до тысячных, сотых и десятых следующие дроби: а) 0,3253; б) 1,23789; в) 24,00391;
Найти погрешность округления.
4)Округлите с наименьшей погрешностью до тысячных, сотых и десятых дроби из упр.3.
5) Округлите до первого справа верного разряда приближенные значения данных чисел: 1) 0,3281±0,05; 2) 2,0637±0,0025; 3) 14,0367±0,8; 4) 24,734±0,06.6) Площадь квадрата равна 24,5±0,3 (см.2). Найдите границы измерения площади квадрата.
7) Найти относительную погрешность числа 6,8, если обе цифры его верные в строгом смысле.
Решение: 1)
а) х-а=53-1,6=53-1610=53-85=25-2415=115;
∝=115=115; б) х – а = 311-0,2727=311-272710000=30000-29997110000=3110000; ∝=3110000=3110000;в) х-а=311-0,273=311-2731000=3000-300311000=-311000; ∝=-311000=311000;2) а) α=1,6; ∝=115; δ=∝α=115:1,6=115:1610=115∙58=124=0,0416= =4,16%;б) α=0,2727; ∝=3110000; δ=3110000:0,2727=3110000:272710000=3110000∙ ∙100002727=111∙1909=19999=0,0001=0,01%;в) α=0,273; ∝=311000; δ=311000:0,273=311000:2731000=311000∙1000273=
=111∙191=11001=0,001=0,1%.
С недостатком: погрешность:
3) а) 0,3253 ≈ 0,325 0,3253-0,325 = 0,0003
0,3253 ≈ 0,32 0,3253-0,32 =0,0053 0,3253 ≈ 0,3 0,3253 - 0,3 =0,0253.
С избытком:
0,3253 ≈ 0,326 0,3253-0,325 = 0,0007
0,3253 ≈ 0,33 0,3253-0,32 =0,0047 0,3253 ≈ 0,4 0,3253 - 0,4 =0,0747 . С недостатком: погрешность:
б ) 1,23789 ≈ 1,237 1,23789 -1,237=0,00089 1,23789 ≈ 1,23 1,23789 - 1,23 = 0,00789
1,23789 ≈ 1,2 1,23789 - 1,2 =0,03789.
С избытком:
1,23789 ≈ 1,238 1,23789 -1,238=0,00011 1,23789 ≈ 1,24 1,23789 - 1,24 = 0,00211
1,23789 ≈ 1,3 1,23789 - 1,3 =0,06211.
С недостатком: погрешность:
в) 24,00391≈24,003 24,00391-24,003=0,00091 24,00391≈24,00 24,00391-24,00 =0,00391 24,00391≈24,0 24,00391-24,0 =0,00391. С избытком:
24,00391≈24,004 24,00391-24,004=0,00009 24,00391≈24,01 24,00391-24,01 =0,00609 24,00391≈24,1 24,00391-24,1 =0,09609.4) а) 0,3253≈0,325 б) 1,23789 ≈1,238
0,3253≈0,33 1,23789 ≈1,24
0,3253≈0,3 1,23789 ≈1,2.
в) 24,00391≈24,004
24,00391≈24,00
24,00391≈24,0.
5). 1) 0,3281±0,05; ∆а = 0,05< 0,1; ⟹ 3 – верная цифра;
0,3281≈ 0,3.
2) 2,0637±0,0025; ∆а = 0,0025< 0,01; ⟹ 2,0,6 – верные цифры;
2,0637 ≈ 2,06.
3) 14,0367±0,8; ∆а = 0,8< 1; ⟹ 1,4 – верные цифры;
14,0367 ≈ 14.
4) 24,734±0,06. ; ∆а = 0,06 < 0,1; ⟹ 2,4,7 - верные цифры;
24,734≈ 24,73
S = 24,5±0,3 (см.2). 24,5-0,3<S<24,5+0,3 24,2<S<24,8.α=6,8; ∆α=0,05.δ=∝a , ∝=x-α≤∆а, ⟹ δ=∝a = ∆аα = 0,056,8 = 0,00735 = 0,7%.
Дома: принести калькулятор.
№4. Тема 1.2. Действия над приближенными значениями чисел. (2 часа- лекция).
План:
1) Сложение, вычитание, умножение, деление приближенных значений чисел.
2) Возведение в степень и извлечение из них корня.
3) Вычисление с наперед заданной точностью.
4) Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора.
5) Решение косоугольных треугольников.
Сложение приближенных значений чисел.
Пусть x= a±∆a, 𝑦 = b±∆b , тогда 𝑥 + 𝑦 = a+ b ±∆a+b.Граница абсолютной погрешности суммы приближенных значений чисел равна сумме границ абсолютных погрешностей этих чисел:
∆a+b = ∆a+∆b Граница относительной погрешности суммы вычисляется по формуле:
εa+b = ∆a+ba+bПример 1: Найти сумму S приближенных значений следующих чисел: 6,8±0,05; 4,3±0,05; 3,575±0,0005.Решение: S = 6,8 + 4,3 + 3,575 = 14,675,
∆S = 0,05 + 0,05 + 0,0005 = 0,1005.
Граница абсолютной погрешности 0,1005 заключена в пределах 0,05< 0,1005<0,5. В приближенном значении суммы верными являются лишь две цифры (в разрядах десятков и единиц). Полученный результат округлим до единиц: S = 14,675 ≈ 15.
Пример 2: Найти сумму S = 5 + 11 , взяв приближенные значения корней с точностью до 0,001. Определить границу абсолютной погрешности ∆S и границу относительной погрешности εS.
Решение: S = 5 + 11 = 2,236 + 3,317 = 5,553 ≈5,55. ∆S = 0,0005 + 0,0005 = 0,001.
εS = ∆S S = 0,0015,55 = 0,00018.
Вычитание приближенных значений чисел.
𝑥 -𝑦 = a- b ± ∆a-b.∆a-b = ∆a+∆b.
εa-b = ∆a+∆ba-b.
Умножение приближенных значений чисел.
𝑥 ∙𝑦 = a∙ b ± ∆a∙b. εa = ∆aa, εb = ∆bb, εa∙b = εa + εb;
εa∙b = ∆a∙ba∙b, ⟹ ∆a∙b= εa∙b ∙(a∙b).
Деление приближенных значений чисел.
xy = ab ± ∆ab.εa = ∆aa, εb = ∆bb, εab = εa + εb; εab = ∆abab, ⟹ ∆ab= εab ∙ab.
Возведение в степень и извлечение корня.
Стр.16 ( таблица), рассмотреть примеры на стр.18 №19, 20, 21.
Вычисление с наперед заданной точностью.
Мы рассматривали прямые задачи, когда требовалось оценить погрешность полученного результата по данным действиям над приближенными числами и по данным границам их погрешностей. В обратной задаче требуется установить, каковы должны быть погрешности данных приближенных чисел, чтобы в результате вычислений была получена наперед заданная допустимая граница погрешности.
Пример: С какой точностью надо измерить длину стороны квадрата, чтобы при вычислении его площади граница абсолютной погрешности не превышала 1 см2? Грубое приближенное значение стороны квадрата равно 9 см.
Решение: S = a2, по формуле (2.8) , получим ∆S= 2𝒂 ∙ ∆a, откуда ∆a= ∆S2a = 12 ∙9 = = 0,0556 ≈ 0,1.
Итак, если измерить величину 𝒂 с погрешностью, не превышающей 0,1 см., то погрешность площади не превысит 1 см2.
Решение прямоугольных треугольников с применением микрокалькулятора.
Основные соотношения в прямоугольном треугольнике:
c2= a2 + b2. А
< А + < В + < С = 1800;
< А + < В = < С = 900.
𝒂 = c sinА = c cosВ;
𝒂 = b tgА = b ctgВ; b c
C = asinА= acosВ;
S = 12 𝒂b. С В
𝒂
Рассмотреть решение задач на стр.19 – 20, № 28 – 32.
Решение косоугольных треугольников.
Основные формулы, необходимые для решения косоугольных треугольников:
< А + < В + < С = 1800; В
asinА= bsinВ= csinС ;
a2= b2 + c2 -2 bc cosА, c 𝒂
b2= a2 + c2 -2 ac cosВ,
c2= a2 + b2 -2 ab cosС, А b С
R = a2sinА , R – радиус окружности, описанной около треугольника;
S∆ = 12 𝒂 ha , где ha - высота;
S∆ = 12 𝒂b sinС; S∆ = 12 𝒂c sinВ; S∆ = 12 bc sinА;
S∆= рр- aр- bр- c, где р = a+ b+ c2 ( формула Герона).
Рассмотреть решение примеров на стр. 21 – 23, № 39 – 43.
Дома:
Конспект – читать, определения и формулы – учить.
Стр.11, № 5, 6, 14, 15; стр.15, № 2, 7, 11, 16.
Стр.11, № 5. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полученных в виде неравенства 37<х<38.№ 6. Амперметр дает точность ±0,02А. При измерении силы тока получили 10,63А. Укажите границы этого числа.
№ 14.Назовите верные цифры числа π≈3,14, считая π≈ 3,1416.
№ 15.За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000.Укажите верные цифры числа 1000.
Стр.15, № 2.Найти сумму приближенных значений чисел 6,54 ±0,005; 16,022 ± 0,0005; 1,9646 ±0,00005.№ 7.Вычислите разность чисел 8,72 и 2,6532, границы абсолютной погрешности которых соответственно равны 0,005 и 0,00005.
№ 11.Найдите произведение чисел 0,456±0,0005 и 3,35± 0,005 и относительную погрешность произведения.
№16.Найти относительную погрешность частного приближенных значений чисел а =19,8±0,05 и b = 48,4±0,03.№5.Практическое занятие: « Выполнение действий над приближенными числами». (2 часа – практика)
Проверка домашнего задания: (взять тетради у 2 студентов).
№ 5. Найдите границу абсолютной погрешности измерений, полученных в виде неравенства 37<х<38.Решение: а-∆а≤х≤а+∆а. 37<х<38.
а - ∆а = 37, а = 37+∆а, а = 37+∆а, а = 37,5,
а + ∆а = 38; 37+∆а + ∆а = 38; 2∆а = 38 – 37; ∆а = 0,5.
Ответ: ∆а = 0,5.
№ 6. Амперметр дает точность ±0,02А. При измерении силы тока получили 10,63А. Укажите границы этого числа.
Решение: ∆а = 0,02; а = 10,63; 𝔁 = 10,63± 0,02.
10,63 – 0,02 < х < 10,63+0,02
10,61<х <10,65.№ 14.Назовите верные цифры числа π≈3,14, считая π≈ 3,1416.
Решение:
х = 3,1416; а = 3,14; α ≤ ∆а
∆а = 3,1416-3,14=0,0016 <0,01 ⟹ 3,1,4 – верные цифры в широком смысле.
∆а = 0,0016 <0,005 ⟹ 3,1,4 – верные цифры в строгом смысле.
№ 15.За приближенное значение числа 999,82 взято число 1000.Укажите верные цифры числа 1000.
Решение:
х =999,82; а = 1000;
∆а = 999,82- 1000= 0,18 < 1 ⟹ все цифры верные, 0,18 < 0,5 ⟹ все цифры верные в строгом смысле.
№ 2.Найти сумму приближенных значений чисел 6,54 ±0,005; 16,022 ± 0,0005; 1,9646 ±0,00005.Решение:
S = 6,54 + 16,022 + 1,9646 = 24,5266
∆s = 0,005 + 0,0005 + 0,00005 = 0,00555
∆s = 0,00555 < 0,01 ⟹ 2, 4, 5 – верные цифры.
S = 24,5266 ≈ 24,5.
№ 7.Вычислите разность чисел 8,72 и 2,6532, границы абсолютной погрешности которых соответственно равны 0,005 и 0,00005.
Решение:
𝒂 = 8,72 ± 0,005 ; b = 2,6532 ± 0,00005.
𝒂 – b = 8,72 - 2,6532 = 6,0668;
∆a-b = 0,005 + 0,00005 = 0,00505 < 0,01 ⟹ 6, 0, 6 - верные цифры.
𝒂 – b = 6,0668 ≈ 6,07.
№ 11.Найдите произведение чисел 0,456±0,0005 и 3,35± 0,005 и относительную погрешность произведения.
Решение:
𝒂 = 0,456±0,0005; b = 3,35± 0,005.
𝒂b = 0,456 ∙ 3,35 = 1,5276;
εab = ∆aa + ∆bb = 0,00050,456 + 0,0053,35 = 0,0011 + 0,0015 = 0,0026 = 0,003 = 0,3%;
∆ab = εab ∙ 𝒂b = 0,0026 ∙ 1,5276 = 0,00397 < 0,01 ⟹ 1, 5, 2 – верные цифры.
𝒂 ∙b= 1,5276 ≈ 1,53.
Погрешность округления: 1,5276 - 1,53 = 0,0024;
0,0024 + 0,00397 = 0,00637 > 0,005 ⟹ в приближенном значении 1,53 цифра 3 не является верной в строгом смысле.
𝒂 ∙b ≈ 1,5 - с точностью до десятых.
№16.Найти относительную погрешность частного приближенных значений чисел а =19,8±0,05 и b = 48,4±0,03.Решение:
ab = 19,848,4 = 0,4091;
εab = ∆aa + ∆bb = 0,0519,8 + 0,0348,4 = 0,0025 + 0,0006 = 0,0031 = 0,3%.
Проверочная работа:
Электрическая цепь состоит из трех последовательно соединенных проводников с сопротивлениями r1 = 4,8±0,05 (Ом.), r2=6,25±0,005(Ом.), r3=7,725±0,0005(Ом.). Вычислите общее сопротивление цепи по формуле R = r1+r2+r3. Найдите R, ∆R, δR.Найдите верные цифры произведения приближенных значений чисел а = 0,3862±0,00005 и b = 0,8±0,05.
Найдите верные цифры частного приближенных значений чисел
а = 68,4±0,02 и b = 72,8±0,04.Найти границу абсолютной погрешности произведения двух приближенных значений чисел а = 7,36±0,004 и b = 8,61±0,005.Дома: стр.21, № 34(1), 44(1).
№ 34(1). Решите прямоугольный треугольник по гипотенузе и острому углу: 1) c = 26,6; А = 63°,6.
№44(1). Решите треугольник по двум сторонам и углу, заключенному между ними:
𝒂 = 72,8; b = 58,4; С = 64°,8.
Ответы:
R = 4,8 +6,25+7,725 = 18,775
∆R= 0,05 + 0,005+0,0005= 0,0555≤ 0,1 => последняя верная цифра – в разряде десятых;
18,775≈ 18,8
δR = ∆RR = 0,055518,8 = 0,003 = 0,3%.
α∙b = 0,3862 ∙0,8= 0,30896
∆ (αb) = b∙∆α+α∙∆b = 0, 00004 + 0,01931 = 0,01935 ≤ 0,1 => 3 - верная цифра.
αb = 68,472,8 = 0,9396
∆ ( α b) = b∙∆α+α∙∆bb2 = 1,456+2,7365299,84 = 0,0008 ≤ 0,001 => 9,3,9 - верные цифры.
∆ (αb) = b∙∆α+α∙∆b = 0, 0344 + 0,0368 = 0,0712.

Приложенные файлы

  • docx 7116623
    Размер файла: 61 kB Загрузок: 3

Добавить комментарий