отношение порядка, диаграммы Хассе. Упорядоченнфе мн-ва. Минимальные и максимальные элементы, наибольшие и наименьшие


Главным отличительным признаком отношения порядка является наличие у него свойства транзитивности. Так, если мы имеем дело с последовательностью каких-то объектов x1, х2, ..., хn, ... , упорядоченных, например, по отношению , то из того, что выполняется х1х2... хп..., должно следовать, что для любой пары хi, хjэлементов этой последовательности также выполняется xixj:

Для пары элементов xijв графе отношения мы проводим стрелку от вершины xiк вершине xj, т. е. от меньшего элемента к большему.
Граф отношения порядка можно упростить, если воспользоваться методом так называемых диаграмм Хассе. Диаграмма Хассе строится следующим образом. Меньшие по порядку элементы располагают ниже, а большие – выше. Поскольку одного такого правила недостаточно для изображения, проводят линии, показывающие, какой из двух элементов больше, а какой меньше другого. При этом достаточно нарисовать лишь линии для непосредственно следующих друг за другом элементов. Примеры диаграмм Хассе показаны на рисунке:
 


В диаграмме Хассе можно не указывать стрелки. Диаграмму Хассе можно поворачивать в плоскости, но не произвольно. При поворотах необходимо сохранять относительное положение (выше – ниже) вершин диаграммы:
Отношение R в множестве X называется отношением строгого порядка, если оно транзитивно и асимметрично.
Множество, в котором определено отношение строгого порядка, называют упорядоченным. Например, множество натуральных чисел упорядочено отношением «меньше». Но это же множество упорядочено и другим отношением – «делится на» и «больше».
Граф отношения «меньше» в множестве натуральных чисел можно изобразить в виде луча:

Отношение R в X называется отношением нестрогого (частичного)порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Всякое отношение нестрогого порядка рефлексивно.
Эпитет "частичный" выражает тот факт, что, возможно, не все элементы множества сравнимы в данном отношении.
Типичными примерами отношения частичного порядка являются отношения "не больше", "не меньше", "не старше". Частица "не" в названиях отношений служит для выражения их рефлексивности. Отношение "не больше" совпадает с отношением "меньше либо равно", а отношение "не меньше" то же самое, что и "больше либо равно". В связи с этим частичный порядок еще называют нестрогим порядком. Часто отношение частичного (нестрогого) порядка обозначают символом " ".
Отношение включения Í между подмножествами некоторого множества также является частичным порядком. Очевидно, что не любые два подмножества сравнимы по этому отношению. Ниже на рисунке показан частичный порядок по включению на множестве всех подмножеств множества {1,2,3}. Стрелки на графе, которые должны быть направлены вверх, не показаны.

Множества, на которых задан частичный порядок, называют частично упорядоченными, или просто упорядоченными множествами.
Элементы х и у частично упорядоченного множества называются сравнимыми, если х уили у х. В противном случае они не сравнимы.
Упорядоченное множество, в котором любые два элемента сравнимы, называется линейно упорядоченным, а порядок – линейным порядком. Линейный порядок еще называют совершенным порядком.
Например, множество всех действительных чисел с естественным порядком , а также все его подмножества, линейно упорядочены.
Объекты самой различной природы могут быть упорядочены иерархически. Вот несколько примеров.
Пример 1. Части книги упорядочены так, что книга содержит главы, главы содержат разделы, а разделы состоят из подразделов.
Пример 2.Папки в файловой системе компьютера вложены друг в друга, образуя ветвящуюся структуру.
Пример 3.Отношение родители – дети может быть изображено в виде так называемого генеалогического древа, которое показывает, кто чьим предком (или отпрыском) является.
Иерархический порядок называют древесным (древовидным) потому, что его граф похож на дерево. Древесный порядок является частным случаем строгого порядка.
Отношение «не длиннее» в множестве отрезков транзитивно и, как легко видеть, рефлексивно. Но оно не является отношением нестрогого порядка, так как нарушено условие антисимметричности: из того, что отрезок х не длиннее отрезка у, а отрезок у – отрезка х, еще не следует совпадение этих отрезков (они могут быть различными, но иметь одну и ту же длину). Рефлексивные и транзитивные отношения называют отношениями квазипорядка.
Пусть на множестве А задан частичный порядок . Элемент х называется максимальным (минимальным) элементом множества А, если из того, что х у (у х), следует равенство х = у .Иначе говоря, элемент х является максимальным (минимальным), если для любого элемента у или неверно, что х у (у х), или выполняется х = у . Таким образом, максимальный (минимальный) элемент больше (меньше) всех отличных от него элементов, с которыми он находится в отношении .
Элемент х называется наибольшим (наименьшим), если для любого уÎ Авыполняется у < х (х< у).
В частично упорядоченном множестве может быть несколько минимальных и/или максимальных элементов, но наименьших и наибольших элементов не может быть больше одного. Наименьший (наибольший) элемент является одновременно и минимальным (максимальным), но обратное утверждение неверно. На рисунке слева показан частичный порядок с двумя минимальными и двумя максимальными элементами, а справа – частичный порядок с наименьшим и наибольшим элементами:

В конечном частично упорядоченном множестве всегда существуют минимальный и максимальный элементы.
Упорядоченное множество, у которого есть наибольший и наименьший элементы, называется ограниченным. На рисунке показан пример бесконечного ограниченного множества. Разумеется, изобразить бесконечное множество на конечной странице нельзя, но можно показать принцип его построения. Здесь петли около вершин не показаны для упрощения рисунка. По той же причине не показаны дуги, обеспечивающие отображение свойства транзитивности. Другими словами, на рисунке представлена диаграмма Хассе отношения порядка.

 
Бесконечные множества могут не иметь максимальных, или минимальных, или тех и других элементов. Например, множество натуральных чисел (1,2, 3, ...) имеет наименьший элемент 1, но не имеет максимальных. Множество всех действительных чисел с естественным порядком не имеет ни наименьшего, ни наибольшего элемента. Однако его подмножество, состоящее из всех чисел х <5, имеет наибольший элемент (число 5), но не имеет наименьшего.
 

Приложенные файлы

  • docx 1473782
    Размер файла: 58 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий