Элементы вариационного исчисления

Элементы вариационного исчисления.

При решении инженерных задач, которые описываются с помощью мат. модели, состоящая из дифференциального уравнения и краевых условий, т.е.

13 EMBED Equation.3 1415 13 EMBED Equation.3 1415 (1)
{13 EMBED Equation.3 1415 (2)

Наряду с аналитическими и численными методами используются элементы вариационного исчисления. А именно мат. модели (1) – (2) ставится в соответствии некий функционал, минимум которого может быть решением краевой задачи (1) – (2). Поэтому ниже рассмотрим некоторые основные понятия элементов вариационного исчисления.
Первой задачей вариационного исчисления была задача о брахистохроне, сформулированный Бернулли в 1696 г. в этой задаче необходимо было найти кривую у(х), таким образом, чтобы минимизировать время спуска по этой кривой из одной точки в другую.
Бернулли показал, что время спуска записывается в виде:
13 EMBED Equation.3 1415(3)
Выражение 3 показывает, что Т=Т[e], т.е. может быть функцией от у, и называется функционалом, т.е. его переменная является функцией.
В общем виде выражении 3 записывают так:
13 EMBED Equation.3 1415(4)
Итак сформулируем главную цель вариационного исчисления.
Найти функцию у. которая доставляла бы max(min) функционала (4), в соответствии с этим стратегия поиска экстремума функционала (4) будет такой же как и нахождение экстремума функций в мат. анализе, т.е. сначала находим критические точки из условия у'(х)=0 и далее определяем max или min. В вариационном же исчислении подход остаётся прежним, но аргументом здесь может быть не числовая переменная, а функции. В вариационном исчислении мы вычисляем так называемую функциональную производную, т.е. производную по функции у=у(х) и далее приравниваем её к нулю и место критических точек из курса мат. анализа мы получаем обыкновенное дифференциальное уравнение (ОДУ) известное как уравнение Эйлера-Лагранжа решая которое, при соответствующих краевых условиях мы получаем функцию (решение) которое даёт минимум исходному функционалу вариационного исчисления, таким образом задача нахождения минимума функционала сводится к нахождению решения краевой задачи для ОДУ.

Минимизация функционала 4

Рассмотрим минимизацию функционала на классе гладкой функции, удовлетворяющих условию у(а)=А у(в)=В (5)

Далее рассмотрим вариацию гладкой функции у(х) равной 13 EMBED Equation.3 1415, где 13 EMBED Equation.3 1415
А функция 13 EMBED Equation.3 1415удовлетворяет краевым условиям:
13 EMBED Equation.3 1415(6)
Ясно, что функционал 13 EMBED Equation.3 1415 при всех 13 EMBED Equation.3 141513 EMBED Equation.3 1415.
Здесь функционал 13 EMBED Equation.3 1415 ведёт себя как функция 13 EMBED Equation.3 1415 следующим образом:
Если мы возьмём производную 13 EMBED Equation.3 1415по параметру 13 EMBED Equation.3 1415 и приравняем к нулю то получим выражение 13 EMBED Equation.3 1415
Далее интегрируя этот интеграл по частям получаем:
13 EMBED Equation.3 1415
Поскольку последний интеграл обращается при любой функции n(x) получаем

13 EMBED Equation.3 1415 (7)
Уравнение(7) называется уравнением Эйлера-Лагранжа
Замечание.
Хотя уравнение (7) кажется сложным, но после подставления конкретной функции оно выглядит менее сложным и превращается в обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка относительно у(х), решая уравнение(7). Мы находим функцию у(х). которая даёт min исходному функционалу, на класс гладких функций.
Замечание 1
Основную роль играет уравнение Эйлера-Лагранжа, т.к. после подставления явного вида функции F в него получаем то или иное ДУ 2-го порядка решение которое находится обыкновенными методами.
Замечание 2
В методе вариационного исчисления основной задачей является запись функционала I(y) затем из уравнения Эйлера-Лагранжа получим ОДУ 2-го порядка и его решение.



Приложенные файлы

  • doc 147952
    Размер файла: 57 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий