Вопрос 34. Признаки существования предела число..


1.5. Признаки существования предела числовой последовательности
Def 7. Число а называется пределом числовой последовательности , если
   .
Используя понятие окрестности точки, это определение можно сформулировать так:
Def 8. Число  называется пределом числовой последовательности , если для любой  – окрестности точки а существует такой номер N (определяемый  – окрестностью), что все элементы последовательности, номера которых больше N, содержатся в указанной окрестности.
Данные определения означают, что какую бы точность  мы ни задали, найдется номер N, такой, что абсолютная погрешность приближения числа а элементами последовательности  меньше ,
как только номер приближения n больше N.
Символически тот факт, что последовательность  своим пределом имеет число 
 записывается так:.
Пределом бесконечно большой последовательности  считают  и обозначают .
Последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся; последовательности,
не имеющие предела и бесконечно большие последовательности – расходящимися.
Среди признаков существования предела последовательности (признаков сходимости) отметим
три наиболее важных. Критерий Коши и два достаточных признака:
Теорема 1 (критерий Коши). Для того чтобы последовательность  сходилась
необходимо и достаточно, чтобы     N .
А также два достаточных признака:
Теорема 2. Если последовательность  монотонно возрастает и ограничена сверху,
то она сходится. (Аналогичный признак для монотонно убывающей и ограниченной снизу последовательности)
Теорема 3. Пусть  и  – две последовательности, сходящиеся к одному и тому же
пределу а. Если последовательность  удовлетворяет неравенству   N, то
она тоже сходится к пределу а.
Свойства сходящихся последовательностей
1. Последовательность не может сходиться к двум различным пределам.
2. Сходящаяся последовательность ограничена.
3. Арифметические действия над сходящимися последовательностями приводят к сходящимся последовательностям:
Если  и  сходятся и пределы их соответственно равны a и b, то:
а)  сходится и  
б)  сходится и 
в)  сходится и 
г) Если , то  сходится и 
4. Если начиная с некоторого номера N элементы двух сходящихся последовательностей  и связаны неравенством , то их пределы связаны тем же неравенством .
Пределы монотонных последовательностей Теорема Вейерштрасса. (Основная теорема теории последовательностей).
Если последовательность является нестрого возрастающей (нестрого убывающей) и ограничена сверху (снизу), то является сходящейся.
Данную теорему можно сформулировать немного иначе – Любая монотонная и ограниченная последовательность имеет предел.Бесконечно малые и бесконечно большие последовательностиБесконечно малая — числовая функция или последовательность, которая стремится к нулю.Бесконечно большая — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.Бесконечно малая
Последовательность  называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел  — бесконечно малая.
Функция называется бесконечно малой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если  либо .
Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то , .
Бесконечно большая
Во всех приведённых ниже формулах бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция , неограниченная с обеих сторон, не является бесконечно большой при .
Последовательность  называется бесконечно большой, если .
Функция называется бесконечно большой в окрестности точки , если .
Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если  либо .
Свойства бесконечно малых
Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.
Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.
Если  — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то  — бесконечно большая последовательность.

Приложенные файлы

  • docx 8078525
    Размер файла: 55 kB Загрузок: 0

Добавить комментарий